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Objetivos de Aprendizaje

  • Resolver desigualdades con valor absoluto.
  • Reescribir y resolver desigualdades con valor absoluto como desigualdades compuestas.
  • Resolver problemas del mundo real usando desigualdades con valor absoluto.

Introducción

Las desigualdades con valor absoluto se resuelven en forma similar a las ecuaciones con valor absoluto. En ambos casos, tú debes considerar las dos opciones.

  1. La expresión dentro del valor absoluto no es negativa.
  2. La expresion dentro del valor absoluto es negativa.

Luego resolvemos cada desigualdad separadamente.

Resolver Desigualdades con Valor Absoluto

Considera la desigualdad

 \mid x \mid \leq 3

Ya que el valor absoluto de x representa la distancia a partir de cero, las soluciones a esta desigualdad son aquellos números cuya distancia desde cero es menor o igual que 3. El siguiente gráfico muestra esta solución:

Nota que este también es el gráfico para la desigualdad -3 \leq x \leq 3.

Ahora considera la desigualdad

 \mid x \mid > 2

Ya que el valor absoluto de x representa la distancia a partir de cero, las soluciones a esta desigualdad son aquellos números cuya distancia desde cero es mayor que 2. El siguiente gráfico muestra esta solución.

Nota que este también es el gráfico para la desigualdad compuesta  x<-2 o x > 2.

Ejemplo 1

Resolver las siguientes desigualdades y mostrar el gráfico de solución.

a)  \mid x \mid <6

b)  \mid x \mid \geq 2.5

Solución

a)  \mid x \mid <5 representa todos los números cuyas distancias desde cero son menores que 5.

Respuesta -5 <x< 5

b) \mid x \mid \geq 2.5 representa todos los números cuya distancia desde cero es mayor o igual que 2.5.

Respuesta  x \leq -2.5 o  x \geq 2.5

Reescribir y Resolver Desigualdades con Valor Absoluto como Desigualdades Compuestas

En la sección anterior tú observaste que las desigualdades con valor absoluto son desigualdades compuestas.

Desigualdades del tipo  \mid x \mid <a pueden reescribirse como  -a < x <a

Desigualdades del tipo  \mid x \mid <b pueden reescribirse como  x <-b o  x> b

Para resolver una desigualdad con valor absoluto, separamos la expresión en dos desigualdades y resolvemos cada una de ellas individualmente.

Ejemplo 2

Resolver la desigualdad  \mid x-3\mid <7 y mostrar la solución gráfica.

Solución

Reescribir como una desigualdad compuesta.

Escribir como dos desigualdades separadas.

 x-3 <7 and  x-3 <7

Resolver cada desigualdad

 x <10 y  x >-4

La solución gráfica es

Ejemplo 3

Resolver la desigualdad  \mid 4x +6 \mid \leq 13 y mostrar la solución gráfica.

Solución

Reescribir como desigualdad compuesta.

Escribir como dos desigualdades separadas

4x + 5 \leq 13 and 4x+5 \geq -13

Resolver cada desigualdad:

4x \leq 8 y  4x \geq -18

 x \leq 2 y  x \geq -\frac{9}{2}

La solución gráfica es

Ejemplo 4

Resolver la desigualdad  \mid x +12 \mid >2 y mostrar la solución gráfica.

Solución

Reescribir como una desigualdad compuesta.

Escribir como dos desigualdades separadas.

 x +12 <-2 o  x+12>2

Resolver cada desigualdad

 x <-14 o x >-10

La solución gráfica es

Ejemplo 5

Resolver la desigualdad  \mid 8x -15 \mid \geq 9 y mostrar la solución gráfica.

Reescribir como una desigualdad compuesta.

Escribir como dos desigualdades separadas.

8x-15 \leq -9 o 8x-15 \geq 9

Resolver cada desigualdad

 8x \leq 6 o 8x \geq 24

 x \leq \frac{3}{4} o x \geq 3

La solución gráfica es

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Desigualdades con Valor Absoluto

Las desigualdades con valor absoluto son útiles en problemas donde estamos tratando con un rango de valores.

Ejemplo 6:

La velocidad de un objeto está dada por la fórmula v = 25t - 80 donde el tiempo es expresado en segundos y la velocidad es expresada en pies por segundos. Encontrar los tiempos cuando la magnitud de la velocidad es mayor o igual que 60 pies por segundo.

Solución

Paso 1

Deseamos encontrar los tiempos cuando la velocidad es mayor o igual que 60 pies por segundo

Paso 2

Se nos ha dado la fórmula para la velocidad v = 25t - 80

Escribir la desigualdad con valor absoluto \mid 25t-80\mid \geq 60

Paso 3

Resolver la desigualdad

25t-80 \geq 60 o 25t-80 \leq -60

25t\geq 140 o 25t \leq 20

t \geq 5.6 o  t \leq 0.8

Respuesta: La magnitud de la velocidad es mayor que 60 pies/seg para tiempos menores que 0.8 segundos y para tiempos mayores que 5.6 segundos.

Paso 4 Cuando t= 0.8 segundos, v= 25(0.8) -80 = -60 pies/seg. La magnitud de la velocidad es 60 pies/seg. El signo negativo en la respuesta significa que el objeto está moviéndose hacia atrás.

Cuando t= 5.6 segundos, v = 25(0.8) - 80 = -60 pies/seg.

Para encontrar donde la magnitud de la velocidad es mayor que 60 pies/seg, revisa los valores en cada uno de los siguientes intervalos de tiempo: t \leq 0.8, 0.8 \leq t \leq 5.6 y t \geq 5.6.

t = 0.5: v = 25(0.5) - 80 = -67.5 pies/seg

Verificar t = 2: v = 25(2)- 80 = -30 pies/seg

Verificar t = 6: v = 25(6)-80 = 70 pies/seg

Tú puedes observar que la magnitud de la velocidad es mayor que 60 pies/seg para t \geq 5.6 o t\leq 0.8.

La respuesta es correcta.

Resumen de la Lección

  • Así como las ecuaciones con valor absoluto, las desigualdades con valor absoluto se separan en dos desigualdades. Una donde la expresión dentro del valor absoluto es negativa y otra donde es positiva.
  • Desigualdades del tipo  \mid x \mid <a pueden reescribirse como  -a <x<a.
  • Desigualdades del tipo  \mid x \mid >b pueden reescribirse como -x<-b o  x>b.

Ejercicios de Repaso

Resolver las siguientes desigualdades y mostrar el gráfico de solución.

  1.  |x|\leq6
  2.  |x|>3.5
  3.  |x|<12
  4.  |\frac{x} {5}| \leq 6
  5.  |7x|\geq21
  6.  |x-5|>8
  7.  |x+7|<3
  8.  |x-\frac{3} {4}| \leq \frac{1} {2}
  9.  |2x-5|\geq13
  10.  |5x+3|<7
  11.  |\frac{x} {3}-4| \leq 2
  12.  |\frac{2x} {7}+9|>\frac{5} {7}
  13. Un bebé de tres meses pesa un promedio de 13 libras. El es considerado saludable si tiene 2.5 lbs más o menos que el peso promedio. Encontrar el rango de peso que es considerado saludable para niños de tres meses de edad.

Respuestas

  1. -6 \leq x \leq 6
  2. x < -3.5 o x > 3.5
  3. -12 < x < 12
  4. x < -10 o x > 10
  5. x \leq -3 o x \geq 3
  6. x < -3 o x > 13
  7. -10< x < -4
  8. \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{5}{4}
  9. x \leq -4 o x \geq 9
  10. -2< x < \frac{4}{5}
  11. 6 \leq x \leq 18
  12. x < -34 o x > -29
  13. Un peso saludable es 10.5 \ lb \leq x \leq 15.5 \ lb.

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