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7.3: Solución de sistemas lineales por eliminación a través de adición y sustracción

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Objetivos de aprendizaje

  • Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando eliminación por adición.
  • Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando eliminación por sustracción.
  • Resolver problemas del mundo real usando sistemas lineales por eliminación.

Introducción

En esta lección, usaremos simple adición y sustracción para simplificar sistemas de ecuaciones a una sola ecuación que involucre una sola variable. Ya que vamos desde dos incógnitas (x y y) a una sola incógnita (cualquiera x o y), este método es referido como resolviendo por eliminación. Eliminamos una variable para poder construir ecuaciones fáciles de resolver. Para ilustrar esta idea, observemos el simple ejemplo de comparar manzanas y guineos.

Ejemplo 1

Si una manzana más un guineo cuestan $1.25 y una manzana más dos guineos cuestan $2.00, ¿cuánto cuesta un guineo?, ¿cuánto una manzana?

No debería ser tardado descubrir que cada guineo cuesta $0.75. Esto puede observarse notando la diferencia entre las dos situaciones. De forma algebraica, usando a y b como los costos de una manzana y un guineo respectivamente, obtenemos las siguientes ecuaciones.

a + b & = 1.25  \\a + 2b & = 2.00

Si se observa la diferencia entre las dos ecuaciones, se puede ver que la diferencia en objetos comprados es un guineo y la diferencia en dinero pagado es 75 centavos. Así que un guineo cuesta 75 centavos.

(a + 2b) - (a+b) = 2.00 - 1.25 \Rightarrow b = 0.75

Para encontrar cuánto cuesta una manzana, restamos $0.75 del costo de una manzana y un guineo. Por lo que una manzana cuesta 50 centavos.

a + 0.75 = 1.25 \Rightarrow a = 1.25 - 0.75 \Rightarrow a = 0.50

Para resolver sistemas usando adición o sustracción, usaremos exactamente esta idea. Observando la suma o la diferencia de las dos ecuaciones, podemos determinar el valor de una de las incógnitas.

Solución de sistemas lineales usando adición de ecuaciones

A menudo se considera el método más fácil y más poderoso para resolver sistemas de ecuaciones. El método de adición (o eliminación) requiere que combinemos dos ecuaciones de tal manera que la ecuación resultante tenga solamente una variable. Podemos, entonces, usar métodos simples del álgebra lineal para resolver para esa variable. Si es necesario, siempre podemos sustituir el valor que obtenemos de la variable en cualquiera de las ecuaciones originales para resolver para la incógnita faltante.

Ejemplo 2

Resolver el sistema por adición:

3x+ 2y & = 11 \\5x- 2y & = 13

Vamos a sumar todo en el lado izquierdo de los signos de igualdad de ambas ecuaciones y esto será igual a la suma de todo en el lado derecho.

(3x + 2y) + (5x- 2y) = 11 + 13\Rightarrow 8x = 24 \Rightarrow x = 3

Una forma simple de visualizar esto es mantener las ecuaciones como aparecen arriba y sumar en columnas. Sin embargo, similar a sumar decenas y centenas, se deben mantener las x' s y y' s en sus propias columnas. También se deben usar términos como “0y” como reemplazos.

& \quad \quad 3x + 2y = 11\\& \ \underline{+ (3x - 2y) = 13\;\;}\\& \qquad 8x + 0y = 24

De nuevo obtenemos 8x = 24 o x = 3.

Para encontrar el valor para y simplemente sustituimos el valor para x de regreso.

Sustituyendo x = 3 en la segunda ecuación.

5\cdot 3 - 2y & = 13 && \text{Ya que}\ 5 \times 3 = 15,\ \text{restamos}\ 15\ \text{a ambos lados.}\\-2y & = -2 && \text{Dividir por}\ 2\ \text{para obtener el valor de}\ y.\\y & = 1

El primer ejemplo tiene una solución de x = 3 y y =1. Debe observarse que el método de adición trabaja cuando los coeficientes de una de las variables son opuestos. En este caso, son los coeficientes de y que son opuestos, siendo +2 en la primera ecuación y -2 en la segunda.

Hay otros métodos similares que podemos usar cuando los coeficientes no son opuestos. Pero por ahora observemos otro ejemplo que puede ser resuelto con el método de adición.

Ejemplo 3

Andrew está remando su canoa corriente abajo en un río rápido. Remando río abajo puede viajar a 7 millas por hora, relativo a la orilla del río. Remando río arriba, se mueve a menor velocidad, viajando a 1.5 millas por hora. Si él puede remar con la misma fuerza en ambas direcciones, calcula, en millas por hora, la velocidad del río y la velocidad con que Andrew viajaría en aguas calmadas.

Paso uno. Convirtamos nuestro problema en ecuaciones. Tenemos que encontrar dos incógnitas, así que llamaremos a la velocidad con que Andrew rema x y la velocidad del río y. Cuando viaja río abajo, la velocidad de Andrew se ve incrementada por la corriente del río, por consiguiente su velocidad total es la velocidad de la canoa más la velocidad del río (x+y). Río arriba, su velocidad es reducida por la velocidad del río. Su velocidad río arriba es (x-y).

& \text{Ecuacion rio abajo} && x+y =7 \\& \text{Ecuacion rio arriba} && x-y =1.5

Paso dos. Siguiente, eliminaremos una de las variables. Si se observan las dos ecuaciones, se puede ver que el coeficiente de y es +1 en la primera ecuación y -1 en la segunda. Claramente (+1) + (-1) = 0, por consiguiente esta es la variable que eliminaremos. Para lograr esto sumamos la ecuación 1 con la ecuación 2. Debemos tener cuidado de agrupar términos semejantes y que todo a la izquierda de los signos de igualdad se quede a la izquierda y todo a la derecha se quede a la derecha:

(x + y) + (x - y) = 7 + 1.5 \Rightarrow 2x = 8.5 \Rightarrow x = 4.25

O usando el método de la columna mostrado en el ejemplo uno.

& \qquad x + y   = 7\\& \ \underline{+ (x - y)   = 1.5\;\;}\\& \quad 2x + 0y  = 8.5

Una vez más se puede observar que obtenemos 2x = 8.5 o x = 4.25. Para encontrar el valor correspondiente a y, sustituimos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones y despejamos la incógnita. En este ejemplo, sustituiremos esta en la primera ecuación.

Sustituyendo x = 3 en la primera ecuación:

4.25 + y & = 7 && \text{Restar}\ 4.25\ \text{a ambos lados.}\\y & = 2.75

Solución

Andrew rema a 4.25 millas por hora. El río se mueve a 2.75 millas por hora.

Solución de sistemas lineales usando resta de ecuaciones

Otro método muy similar para resolver sistemas es la resta. En este método, se busca tener dos coeficientes idénticos para x o y (incluyendo el signo), y entonces restar una ecuación de la otra. Si se observa el ejemplo, se puede ver que el coeficiente para x en ambas ecuaciones es +1. Se pudo haber usado también el método de la resta.

(x+y)-(x-y)=200 - 80 \Rightarrow 2y = 120 \Rightarrow y=60

o

& \qquad x + y   = 200\\& \ \underline{+ (x - y)   = -80\;\;}\\& \quad 0x + 2y  = 120

De nuevo se obtiene que y = 60, con lo cual se puede determinar x. El método de la resta es también directo y fácil de aplicar mientras se tenga en consideración lo siguiente:

  1. Siempre escribir entre paréntesis la ecuación que se está restando y distribuir el signo negativo.
  2. No olvidar restar los números en el lado derecho.
  3. Siempre recordar que restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.

Ejemplo 4

Peter examina las monedas que hay dentro de una fuente en un centro comercial. Él cuenta 107 monedas, dentro de las cuales hay monedas de un centavo y monedas de 5 centavos. El valor total de las monedas es $3.47. ¿Cuántas monedas de cada una vio él?

Se tienen dos tipos de monedas. Si se llama al número de monedas de un centavo x y el número de monedas de 5 centavos y, el valor total de las monedas de un centavo es justamente x, ya que cada moneda vale un centavo. El valor total de las monedas de 5 centavos es 5y. Se han dado dos puntos clave de información para construir las ecuaciones. El número de monedas y su valor.

& \text{Ecuacion del numero de monedas} && x + y = 107 && \text{(numero de centavos)} + \text{(numero de cincos)}\\& \text{La ecuacion del valor:} && x + 5y = 347 && \text{centavos que valen}\ 1c, \text{cincos que valen}\ 5c.

Saltándose directamente a la resta de las ecuaciones.

 & \qquad \ x + y  \ = \ 107\\& \ \ \underline{+ (x + 5y)  = -347\;\;}\\& \qquad \qquad 4y  = -240

Si se sustituye este valor en la primera ecuación,

x+60 & = 107 && \text{Sustrae}\ 60\ \text{de ambos lados.}\\x & = 47

Entonces, Peter vio 47 monedas de un centavo (con un valor de 47 centavos) y 60 monedas de 5 centavos (con un valor de $3.00) para un total de $3.47.

Hasta aquí, se han aprendido tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

  1. Gráfico
  2. Sustitución
  3. Eliminación

Se debería empezar a tener un mejor entendimiento de cuál método usar para un problema particular. Por ejemplo, el método gráfico es una buena técnica para ver el comportamiento de las ecuaciones y cuándo un servicio es más barato que otro. El método gráfico no es ideal cuando se necesitan soluciones numéricas exactas.

De manera similar, el método de sustitución es una buena técnica cuando uno de los coeficientes de las ecuaciones es +1 o -1.

Suma o resta es ideal cuando los coeficientes de una de las variables es el mismo en ambas ecuaciones. En la siguiente lección, se aprenderá la última técnica para resolver sistemas de ecuaciones de forma exacta cuando ninguno de los coeficientes es el mismo o ninguno de los coeficientes es uno.

Enlace multimedia: el siguiente video contiene tres ejemplos de soluciones de sistemas de ecuaciones usando multiplicación, suma y resta, así como también multiplicación (lo cual es el siguiente tema): Khan Academy Systems of Equations (9:57)

. Nótese que el narrador no es siempre cuidadoso para mostrar su trabajo, y se debería tratar de ser más claro en la escritura matemática.

Ejercicios de repaso

  1. Resolver el sistema: 3x + 4y = 2.5\!\\5x-4y  = 25.5
  2. Resolver el sistema 5x + 7y = -31\!\\5x-9y = 17
  3. Resolver el sistema 3y-4x  = -33\!\\5x-3y = 40.5
  4. Nadia y Peter visitan una tienda de dulces. Nadia compra tres barras de dulce y cuatro enrollados de fruta por $2.84. Peter también compra tres barras de dulce, pero sólo puede comprar un enrollado de fruta adicional. Su compra fue por $1.79. ¿Cuál es el costo de cada barra de dulce y de cada enrollado de fruta?
  5. Un pequeño avión vuela de Los Ángeles a Denver con el viento a su favor (el viento sopla en la misma dirección que el avión), y un controlador de trafico aéreo lee que su velocidad terrestre (velocidad relativa medida desde tierra) es 275 millas por hora. Otro avión idéntico moviéndose en dirección opuesta tiene una velocidad terrestre de 227 millas por hora. Asumiendo que ambos aviones están volando con velocidades aéreas idénticas, calcula la velocidad del viento.
  6. Una compañía de taxis en el aeropuerto cobra una tarifa básica más una tarifa adicional por cada milla recorrida. Si un viaje de 12 millas tiene un costo de $14.29 y un viaje de 17 millas tiene un costo de $19.91, calcula:
    1. el cargo básico.
    2. el cargo por milla.
    3. el costo de un viaje de 7 millas.
  7. Las llamadas desde una cabina telefónica tienen una tarifa por minuto durante los primeros cinco minutos, y una tarifa diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de 7 minutos cuesta $4.25 y una llamada de 12 minutos cuesta $5.50, encuentra cada tarifa.
  8. Un plomero y un albañil fueron contratados para instalar un baño nuevo por un número de horas de trabajo diferentes. El plomero gana $35 por hora y el albañil gana $28 por hora. $330.75 les fueron pagados a ambos, pero el plomero ganó $106.75 más que el albañil. ¿Cuántas horas/trabajo hizo cada uno?
  9. Paul tiene un trabajo parcial vendiendo computadoras en una tienda de electrónicos local. Gana un salario fijo por hora, pero puede ganar un bono por vender garantías de las computadores que él vende. Trabaja 20 horas por semana. En su primera semana, vendió 8 garantías y ganó $220. En su segunda semana, vendió 13 garantías y ganó $280. ¿Cuál es el salario por hora de Paul y de cuánto es el bono extra que gana por vender cada garantía?

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. x = 3.5 y = -2.
  2. x= -2 y = -3.
  3. x = 7.5 y = -1 .
  4. El costo de una barra de dulce es 48 centavos y el costo de cada enrollado de fruta es 35 centavos.
  5. La velocidad del viento es de 24 mph.
    1. $.80.
    2. $1.12.
    3. $8.64.
  6. 75 centavos el minute, los primeros 5 minutos; 25 centavos el minuto adicional.
  7. El plomero trabaja 6.25 horas, el albañil trabaja 4 horas.
  8. Paul gana un sueldo base de $7.00 por hora.

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