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7.4: Solución de sistemas de ecuaciones por multiplicación

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Objetivos de aprendizaje

  • Resolver un sistema de ecuaciones lineales multiplicando una ecuación.
  • Resolver un sistema de ecuaciones lineales multiplicando ambas ecuaciones.
  • Comparar los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
  • Resolver problemas del mundo real usando cualquier método para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Introducción

Hasta aquí se han estudiado tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

  • Gráfico, sustitución y eliminación (a través de suma y resta).

Cada uno de estos métodos tiene sus ventajas y desventajas.

  • Gráfico es un buen método para observar qué hacen las ecuaciones y cuándo un servicio es más barato que otro, pero este método puede ser impreciso y no es muy bueno cuando lo que se quiere son soluciones numéricas exactas.
  • Sustitución es un buen método cuando uno de los coeficientes en una de las ecuaciones es +1 o -1, pero puede llevar a fórmulas más complicadas cuando no hay coeficientes enteros.
  • Suma o Resta es ideal cuando los coeficientes de x o y son iguales en ambas ecuaciones, pero cuando los coeficientes no son iguales, no es conveniente usar este método.

En esta lección se mostrará el método de eliminación que ya se estudió previamente en la lección 7.3. Sin embargo, las ecuaciones que se trabajarán acá serán más complicadas, ya que simplemente no se pueden sumar o restar para eliminar una variable. Para el caso, primero se tendrán que multiplicar las ecuaciones por algún número para garantizar que los coeficientes de una variable en ambas ecuaciones sean los mismos.

Repaso rápido: multiplicación de ecuaciones por un número

Considera las siguientes preguntas:

  1. Si 10 manzanas cuestan $5, ¿cuánto costarán 30 manzanas?
  2. Si 3 guineos más 2 zanahorias cuestan $4, ¿cuánto costarán 6 guineos más 4 zanahorias?

Observando la primera ecuación es obvio que cada manzana cuesta $0.50. 30 manzanas costarán $15.00.

Observando la segunda ecuación no está tan claro el precio individual de los guineos o el de las zanahorias. Pero se sabe que la respuesta a la pregunta es $8.00. ¿Cómo?

Volviendo a la primera pregunta, obsérvese que la ecuación puede ser escrita como 10a = 5 (a es el costo de una manzana).

Para encontrar el costo de 30 manzanas, se puede resolver para “a” y luego multiplicar por 30, o se pueden multiplicar ambos lados de la ecuación por tres.

30a & = 15 \\a & = \frac{1}{2}\ \text{or}\ 0.5

Ahora, observando la segunda pregunta. La ecuación correspondiente podría escribirse como 3b + 2c = 4.

Se puede ver que hay que resolver para (6b + 4c), lo cual es simplemente dos veces la cantidad (3b + 2c)!.

De manera algebraica, se ha multiplicado toda la ecuación por dos.

2(3b + 2c) & = 2\cdot 4 & \text{Distribuir y multiplicar.}\\6b + 4c & = 8

Así, cuando se multiplica una ecuación, lo que se está haciendo es multiplicar cada término de la ecuación por una cantidad fija.

Solución de sistemas de ecuaciones lineales multiplicando una ecuación por un número

Se puede multiplicar una ecuación por un número fijo (a escalar). Es claro que se tendrá que usar el método de adición en un nuevo sistema de ecuaciones lineales. Se pueden manipular las ecuaciones en un sistema para asegurar que los coeficientes de una de las variables son los mismos. En el caso más simple el coeficiente de una variable en una ecuación será un múltiplo del coeficiente de la misma variable en la otra ecuación.

Ejemplo 1

Resolver el sistema.

7x + 4y & = 17\\5x -2y & = 11

Aquí fácilmente se puede observar que multiplicando la segunda ecuación por 2, los coeficientes de y serán +4 y -4, permitiendo completar la solución por adición.

Multiplicar la ecuación dos por dos y sumarle la ecuación uno, luego dividir ambos lados por 17, para encontrar x.

 & \qquad 10x - 4y = 22\\& \ \ \ \underline{+ (7x + 4y) = 17\;\;}\\& \qquad \qquad \ 17y = 34\\& \qquad \qquad \quad \ x = 2

Ahora, simplemente se sustituye este valor de x en la ecuación uno.

7 \cdot 2 + 4y & = 17 && \text{Since}\ 7 \times 2 = 14,\ \text{subtract}\ 14\ \text{from both sides.}\\4y & = 3 && \text{Divide by}\ 4.\\y & = 0.75

Ejemplo 2

Anne está remando su bote a lo largo de un río. Remando río abajo le tomó dos minutos recorrer 400 yardas. Remando río arriba le toma 8 minutos recorrer la misma distancia de 400 yardas. Si ella estuvo remando con la misma intensidad en ambas direcciones, calcula, en yardas por minuto, la velocidad del río y la velocidad con que Anne remaría en aguas calmadas.

Paso uno: Plantear las ecuaciones correspondientes al problema. Se sabe que la distancia recorrida es igual a la velocidad x el tiempo. Se tienen dos incógnitas: la velocidad del río se llamará x y la velocidad a la que Anne rema se llamará y. Cuando Anne rema río abajo, su velocidad total es la velocidad del bote más la velocidad del río (x + y). Río arriba su velocidad es retardada por la velocidad del río, por lo que su velocidad río arriba es (x-y).

& \text{Ecuacion rio abajo} && 2(x+y) = 400 \\& \text{Ecuacion rio arriba} && 8(x-y) = 400

Distribuyendo se obtiene el siguiente sistema:

2x + 2y & = 400 \\8x - 8y & = 400

Hasta acá no se puede usar el método de eliminación porque ninguno de los coeficientes es el mismo. Pero si se multiplica la primera ecuación por cuatro, entonces los coeficientes de y serían +8 y -8. Si se hace esto, se tiene:

& \qquad 8x - 8y = 1,600\\& \ \underline{+ (8x - 8y) = 400\;\;\;\;}\\& \qquad \quad \ \ 16x = 2,000

Dividiendo por 16 se obtiene que x = 125.

Sustituyendo este valor en la primera ecuación se tiene:

2(125 + y) & = 400 && \text{dividir ambos lados por}\ 2.\\125 + y & = 200 && \text{restar}\ 125\ \text{a ambos lados.}\\y & = 75

Solución

Anne rema a una velocidad de 125 yardas por minuto y la velocidad del río es 75 yardas por minuto.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales multiplicando ambas ecuaciones por un número

Es un salto directo observar qué pasaría si no tuviésemos coeficientes iguales y coeficientes que no son múltiplos el uno del otro. Analiza la siguiente suma de fracciones.

 \frac {1}{2} + \frac {1}{3} = \frac {3}{6} + \frac {2}{6} = \frac {5}{6}

Este es un ejemplo de cómo encontrar el mínimo común denominador. De manera similar, se puede encontrar el mínimo común múltiplo de dos números (el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6). De esta forma siempre se puede encontrar una manera de multiplicar las ecuaciones para que dos coeficientes sean iguales.

Ejemplo 3

Andrew y Anne usan la compañía de renta-autos I-Haul para trasladar sus pertenencias desde su casa hasta el campus universitario de Chicago. I-Haul tiene una tarifa por día y una tarifa adicional por milla. Andrew viaja desde San Diego, California, una distancia de 2,060 millas en cinco días. Anne viaja 880 millas desde Norfolk, Virginia, y le toma tres días. Si Anne paga $840 y Andrew paga $1,845, ¿cuál es la tarifa que I-Haul cobra?

a) ¿por día?

b) ¿por milla viajada?

Primero se plantean las ecuaciones. Una vez más se tienen dos incógnitas: la tarifa diaria (que se llamará x), y la tarifa por milla (que se llamará y).

& \text{Ecuacion para Anne} && 3x + 880y = 840 \\& \text{Ecuacion para Andrew} && 5x + 2060y = 1845

Simplemente, no se puede multiplicar una de las ecuaciones por un número entero para obtener coeficientes iguales. Pero si se observan los coeficientes de las x (los cuales son más fáciles de trabajar que los coeficientes de las y), se puede ver que ambos tienen como común múltiplo 15 (en efecto, 15 es el mínimo común múltiplo). Entonces, esta vez multiplicamos ambas ecuaciones.

Multiplicar la ecuación de Anne por cinco:

15x + 4400y = 4200

Multiplicar la ecuación de Andrew por tres:

15x + 6180y = 5535

Restar:

& \qquad 15x + 4400y = 4200\\& \ \ \underline{-(15x + 6180y) = 5535\;\;\;}\\& \qquad \quad \ \ -1780y = -1335

Dividir ambos lados por -1780

y=0.75

Sustituir este valor en la ecuación de Anne.

3x + 880(0.75) & = 840 && \text{Ya que}\ 880 \times 0.75 = 660,\ \text{Restar}\ 660\ \text{a ambos lados.}\\3x & = 180 && \text{Dividir ambos lados por}\ 3.\\x & =60

Solución

I-Haul cobra $60 por día más $0.75 por milla.

Comparación de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Hasta aquí se han planteado los métodos más importantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Hagamos un repaso. Por simplicidad vamos a observar los cuatro métodos (Suma y resta se considerarán un método) en forma de una tabla. Esto ayudará a decidir cuál método es el mejor para ser usado en una situación dada.

Método: Mejor usar cuando... Ventajas: Comentarios:
Gráfico ...no se necesita una respuesta precisa. Fácil de ver números y calidad de intersecciones en una gráfica. Con una calculadora graficadora este puede ser el método más rápido, ya que no hay que efectuar ningún cálculo. Lleva a respuestas imprecisas con soluciones no enteras.
Sustitución ...se tiene una ecuación explícita para una variable (por ejemplo, y = 14x +2) Puede ser usado en todos los sistemas. Reduce el sistema a una variable haciéndolo fácil de resolver. No siempre se tienen problemas con funciones explícitas, por lo que este método puede generar fórmulas más complicadas.
Eliminación por adición o sustracción ...se tienen coeficientes iguales de una variable en ambas ecuaciones. Fácil para combinar ecuaciones y eliminar una variable. No es muy cotidiano que un sistema dado tenga iguales coeficientes.
Eliminación por multiplicación y adición y sustracción ...no se tienen variables definidas explícitamente o coeficientes iguales. Puede ser usado en todos los sistemas. Hace posible combinar ecuaciones para eliminar una variable. Regularmente, se necesita más manipulación algebraica para preparar las ecuaciones.

La tabla de arriba es solamente una guía. El método gráfico podría ser usado para todo sistema para tener una mejor comprensión de lo que está ocurriendo, o el método de multiplicación puede ser usado aun cuando el método de sustitución funcionaría igualmente bien.

Ejemplo 4

Dos ángulos son complementarios cuando su suma es 90^{\circ}. Los ángulos A y B son ángulos complementarios y el doble de la medida del angulo A es 9^{\circ} más que tres veces la medida del ángulo B. Encuentra la medida de cada ángulo.

Primero, se escriben las dos ecuaciones. Se usará x como la medida del ángulo A y y como la medida del ángulo B. Se obtiene el siguiente sistema.

x + y & = 90 \\2x & = 3y + 9

El primer método que se usará para resolver este sistema será el gráfico. Para esto es necesario convertir las dos ecuaciones a la forma y = mx +b

& x + y = 90 \qquad \ \Rightarrow \qquad y = -x + 90 \\& 2x = 3y + 9 \qquad \Rightarrow \qquad y = \frac {2}{3}x - 3

La primera línea tiene una pendiente de -1 e intercepta el eje de las y- en 90.

La segunda línea tiene una pendiente de \frac{2}{3} e intercepta el eje de las y- en -3.

En la gráfica, las líneas se intersectan aproximadamente en x = 55 y y =35, pero es difícil establecer con exactitud el punto de intersección. ¡El método gráfico no es el mejor si se necesita conocer con exactitud la respuesta!

A continuación, se tratará de resolver el sistema usando sustitución. Obsérvese de nuevo el sistema:

x + y & = 90 \\2x & = 3y + 9

Ya se observó que se puede resolver para y en cualquier ecuación, cuando se trató de resolver el sistema gráficamente.

Resolviendo la primera ecuación para y, se tiene:

y = 90 -x

Sustituyendo en la segunda ecuación se tiene:

2x & = 3(90 -x) + 9 && \text{Distribuir el}\ 3.\\2x  & = 270 -3x + 9 && \text{sumar}\ 3x\ \text{a ambos lados.}\\5x & = 270 + 9 = 279 && \text{Dividiendo por}\ 5.\\x & = 55.8^{\circ}

Si se sustituye este valor encontrado en la expresión para y, se tiene:

y = 90 - 55.8 = 34.2^{\circ}

Solución

El ángulo A mide 55.8^{\circ} y el ángulo B mide 34.2^{\circ}

Finalmente, se examinará el método de eliminación por multiplicación.

Reescribiendo la ecuación uno en la forma estándar se tiene:

 x + y = 90  \Rightarrow 2x +  2y = 180

Reescribiendo la ecuación dos en la forma estándar se tiene:

 2x = 3y + 9 \Rightarrow 2x - 3y = 9

Restando:

& \qquad 2x + 2y = 180\\& \ \ \underline{- (2x - 3y) = -9\;\;}\\& \qquad \qquad \ 5y = 171

Dividiendo ambos lados por 5, se obtiene que:

y=34.2

Sustituyendo este valor en la primera ecuación se tiene:

x+ 34.2 & = 90 && \text{restar}\ 34.2\ \text{a ambos lados.}\\x & = 55.8^\circ

Solución

El ángulo A mide 55.8^{\circ} y el ángulo B mide 34.2^{\circ}.

A pesar de que este sistema era ideal para usar el método de sustitución, el método de multiplicación también funcionó bien. Una vez se hicieron las manipulaciones algebraicas necesarias, la solución se obtuvo de forma rápida. De aquí en adelante el usuario tendrá que decidir qué método usar en cada caso. Debe tratarse de aprender a usar todos los métodos y reconocer cuál es el más eficiente para cada sistema que tenga que resolverse.

Enlace multimedia: Para más práctica, se tiene este vídeo. Un tipo de problemas común que involucran sistemas de ecuaciones lineales (especialmente, en exámenes estándares) son “problemas de edades”. En el siguiente vídeo, el narrador muestra dos ejemplos de problemas de edad; uno que involucra a una única persona y otro que involucra a dos personas. Khan Academy Age Problems (7:13).

Ejercicios de repaso

  1. Resuelve los siguientes sistemas usando multiplicación.
    1. 5x-10y = 15\!\\3x- 2y = 3
    2. 5x - y = 10\!\\3x- 2y = -1
    3. 5x + 7y = 15\!\\7x - 3y = 5
    4. 9x + 5y = 9\!\\12x + 8y = 12.8
    5. 4x - 3y = 1\!\\3x - 4y = 4
    6. 7x-3y = -3\!\\6x + 4y =3
  2. Resuelve los siguientes sistemas usando cualquier método.
    1. x= 3y\!\\x-2y = -3
    2. y = 3x + 2\!\\y = -2x + 7
    3. 5x-5y = 5\!\\5x + 5y = 35
    4. y = -3x-3\!\\3x-2y + 12 = 0
    5. 3x-4y = 3\!\\4y + 5x = 10
    6. 9x-2y = -4\!\\2x- 6y = 1
  3. Ángulos suplementarios son dos ángulos cuya suma es 180^{\circ}. Los ángulos A y B son ángulos suplementarios. La medida del ángulo A es 18^{\circ} menos que el doble de la medida del ángulo B. Encuentra la medida de cada ángulo.
  4. Un agricultor tiene soluciones de fertilizante al 5% y 15%. ¿Cuánta solución de cada tipo debe mezclar para obtener 100 litros de solución de fertilizante al 12%?
  5. Una tubería de 150 yardas es cortada para proveer alcantarillado a dos campos. Si la longitud de una pieza es tres yardas menor que el doble de la longitud de la segunda pieza, ¿cuáles son las longitudes de las dos piezas?
  6. El Sr. Stein invirtió un total de $100,000 en dos compañías por un año. Las acciones de la compañía A muestran una ganancia del 13%, mientras que las de la compañía B muestran una pérdida del 3% anual. El Sr. Stein recibió una ganancia del 8% de su inversión durante el año. ¿Cuánto dinero invirtió en cada compañía?
  7. Un panadero vende pasteles sencillos a $7, o pasteles decorados a $11. En un sábado ocupado el panadero empezó con 120 pasteles, y los vendió todos excepto tres. Sus ganancias de ese día fueron $991. ¿Cuántos pasteles sencillos y cuántos pasteles decorados vendió ese día?
  8. Dos veces la edad de John más cinco veces la edad de Claire es 204. También, nueve veces la edad de John menos tres veces la edad de Claire es 204. ¿Cuál es la edad de John y cuál es la de Claire?

Respuestas a los ejercicios de repaso

    1. x=0, y = -1.5
    2. x=3, y=5
    3. x=1.25, y=1.25
    4. x=\frac{2}{3}, y=\frac{3}{5}
    5. x=-\frac{8}{7}, y=-\frac{13}{7}
    6. x=-\frac{3}{46}, y=\frac{39}{46}
    1. x = -9, y= -3
    2. x=1, y=5
    3. x=4, y=3
    4. x=-2, y=3
    5. x=\frac{13}{8}, y=\frac{15}{32}
    6. x=-\frac{13}{25}, y=-\frac{17}{50}
  1. A = 114^{\circ}, B = 66^{\circ}.
  2. 30 litros de solución al 5%, 70 litros de solución al 15%.
  3. 51 yardas y 99 yardas
  4. $68,750 en la compañía A, y $31,250 en la compañía B.
  5. 74 sencillos, 43 decorados.
  6. John tiene 32 y Claire tiene 28.

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CK.MAT.SPA.SE.1.Algebra-I.7.4

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