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7.5: Sistemas especiales de ecuaciones lineales

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Objetivos de aprendizaje

  • Identificar y entender lo que significa un sistema de ecuaciones lineales inconsistente.
  • Identificar y entender lo que significa un sistema de ecuaciones lineales consistente.
  • Identificar y entender lo que significa un sistema de ecuaciones lineales dependiente.

Introducción

Como se estudió en la sección 7.1, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que debe resolverse conjuntamente. Las gráficas correspondientes a las líneas del sistema pueden construirse en el mismo sistema de coordenadas y la solución del sistema es el punto de intersección de las dos líneas.

Determinación del tipo de sistema de forma gráfica

Si se construyen las gráficas de las dos líneas en el mismo plano coordenado, pueden ocurrir tres situaciones.

Caso 1: Las dos líneas tienen un único punto de intersección, por lo que las líneas no son paralelas.

Si estas líneas representaran un sistema de ecuaciones lineales, el sistema tendría exactamente una única solución en el punto de intersección.

Un sistema con exactamente una solución es llamado sistema consistente.

Caso 2: Las dos líneas no se intersectan. Las líneas son paralelas.

Si las líneas representaran un sistema de ecuaciones lineales, entonces el sistema no tiene solución.

Un sistema que no tiene solución es llamado sistema inconsistente.

Caso 3: Las dos líneas son idénticas. Se intersectan en todos los puntos sobre la línea.

Si este fuese un sistema de ecuaciones lineales, tendría un número infinito de soluciones. Razón por la cual las dos ecuaciones son realmente la misma.

Un sistema como este es llamado sistema dependiente.

Para identificar un sistema como consistente, inconsistente o dependiente, se pueden construir las gráficas de las dos líneas en el mismo plano coordenado y verificar cuál de los casos discutidos anteriormente corresponde a la situación dada.

Otra opción es escribir cada línea en la forma pendiente-intersecto y comparar las pendientes y los intersectos en y- de las dos líneas. Para hacer esto debe recordarse que:

  • Las líneas que se intersectan tienen diferentes pendientes.
  • Las líneas que son paralelas tienen la misma pendiente por diferentes intersectos en y-.
  • Las líneas que tienen las mismas pendientes e intersectos en y- son idénticas.

Ejemplo 1

Determina si el siguiente sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones.

& y  = 3x + 2 \\& y = -2x + 1

Solución

Las ecuaciones ya se encuentran en la forma pendiente-intersecto. La pendiente de la primera ecuación es 3 y la pendiente de la segunda ecuación es -2. Ya que las pendientes son diferentes, las líneas tienen un único punto de intersección. Por consiguiente, el sistema tiene exactamente una solución. Así que el sistema es consistente.

Ejemplo 2

Determina si el siguiente sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones.

2x-5y & = 2 \\4x+y & = 5

Solución

Las ecuaciones deben ser escritas en la forma pendiente-intersecto.

 2x - 5y = 2 &&&&  -5y = -2x + 2 &&&& y = \frac {2}{5}x - \frac {2}{5} \\&& \Rightarrow && && \Rightarrow \\4x + y = 5 &&&& y = -4x + 5 &&&& y = -4x + 5

Las pendientes de las dos ecuaciones son diferentes. Por consiguiente, las líneas se intersectan en un único punto y el sistema tiene exactamente una solución. Así que el sistema es consistente.

Ejemplo 3

Determina si el siguiente sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones.

3x &= 5 - 4y \\6x + 8y &= 7

Solución

Las ecuaciones deben ser escritas en la forma pendiente-intersecto.

 3x = 5 - 4y &&&& 4y = -3x + 5 &&&& y = \frac {-3}{4}x - \frac {5}{4} \\&& \Rightarrow &&  && \Rightarrow \\6x + 8y = 7 &&&& 8y = -6x + 7 &&&& y = \frac{-3}{4}x + \frac {7}{8}

Las pendientes de las dos ecuaciones son las mismas, pero los intersectos en y- son diferentes. Por consiguiente, las líneas nunca se intersectan y el sistema no tiene solución. Así que es un sistema inconsistente.

Ejemplo 4

Determina si el siguiente sistema tiene exactamente una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones.

x + y & = 3 \\3x + 3y & = 9

Solución

Las ecuaciones deben ser escritas en la forma pendiente-intersecto.

 x + y = 3 &&&& y = -x + 3 &&&& y = -x + 3 \\&& \Rightarrow  &&&& \Rightarrow \\3x + 3y = 9 &&&& 3y = -3x + 9 &&&& y = -x + 3

Las líneas son idénticas. Por consiguiente, el sistema tiene infinito número de soluciones. Así que el sistema es dependiente.

Determinación del tipo de sistema de forma algebraica

Una tercera opción para identificar si un sistema es consistente, inconsistente o dependiente es resolver el sistema de forma algebraica usando cualquier método y usar el resultado como guía.

Ejemplo 5

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales e identifica si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente.

10x - 3y & = 3\\  2x+y & = 9

Solución

El sistema se resolverá usando el método de sustitución.

Resolver la segunda ecuación para la variable y.

 2x + y = 9 \Rightarrow  y = -2x + 9

Sustituir y en la primera ecuación.

10x- 3y & = 3 \\10x- 3(-2x + 9) & = 3 \\10x + 6x - 27 & = 3\\16x & = 30 \\x & = \frac{15}{8}

Sustituir el valor de x en la segunda ecuación y resolver para y.

 2x + y = 9 \Rightarrow y = -2x + 9 \Rightarrow y = -2 \cdot \frac {15}{8} + 9 \Rightarrow y = \frac {21}{4}

Respuesta: La solución al sistema es  \left( \frac {15}{8},\frac {21}{4} \right). El sistema es consistente, ya que sólo tiene una solución.

Otro método para determinar si el sistema de ecuaciones es un sistema inconsistente, consistente o dependiente es resolverlo de forma algebraica usando el método de eliminación o sustitución.

Ejemplo 6

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales e identifica si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente.

3x-2y & = 4\\ 9x-6y & = 1

Solución

El sistema se resolverá usando el método de multiplicación.

Multiplicar la primera ecuación por 3.

 3(3x - 2y = 4) &&&& 9x -6y = 12 \\&& \Rightarrow \\9x - 6y = 1 &&&& 9x  - 6y = 1

Sumar las dos ecuaciones.

& 9x - 6y = 12\\& \underline{9x - 6y  = 1\;\;}\\& \quad \quad \ \ 0 = 13 \quad \text{This Statement is not true}

Respuesta: Si al tratar de resolver un sistema se llega a una afirmación que no es verdadera, el sistema es inconsistente.

Ejemplo 7

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales e identifica si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente.

4x+y & = 3 \\12x+3y & = 9

Solución

El sistema se resolverá usando el método de sustitución.

Resolver la primera ecuación para y.

 4x + y = 3 \Rightarrow y = -4x + 3

Sustituir esta expresión para y en la segunda ecuación.

12x + 3y & = 9 \\12x + 3(-4x + 3) & = 9 \\12x - 12x + 9 & = 9 \\9 & = 9

Esta es siempre una afirmación verdadera.

Respuesta: Si al tratar de obtener la solución de un sistema se llega a una afirmación que es siempre verdadera, el sistema es dependiente.

Un segundo vistazo al sistema de este ejemplo revela que la segunda ecuación es tres veces a la primera ecuación, por lo que las dos líneas son idénticas. El sistema tiene un número infinito de soluciones porque las ecuaciones son prácticamente la misma y el trazado de sus líneas es el mismo.

Haciendo más claro lo anterior: un número infinito de soluciones no significa que cualquier para ordenado (x,y) satisface el sistema de ecuaciones. Solamente los pares ordenados que resuelven las ecuaciones del sistema son soluciones.

Por ejemplo, el par ordenado (1, 2) no es una solución para el sistema porque cuando se sustituye en las ecuaciones estas no son satisfechas.

4x + y & = 3 \\4(1) + 2 & \neq 3

Para encontrar cuál par ordenado satisface este sistema, se puede tomar cualquier valor de x y encontrar el correspondiente valor de y.

Para x=1, 4(1) + y= 3 \Rightarrow y = -1

Para x = 2, 4(2) + y = 3  \Rightarrow y = -3

Resumiendo lo encontrado anteriormente para determinar el tipo de sistema de forma algebraica, tenemos:

  • Un sistema consistente siempre dará exactamente una solución.
  • Un sistema inconsistente siempre dará una afirmación FALSA (por ejemplo, 9 = 0).
  • Un sistema dependiente siempre dará una afirmación VERDADERA (tal como 9 = 9 ó 0 = 0).

Aplicaciones

En esta sección se estudiarán algunos problemas de aplicación y se observará en la práctica cómo surgen los sistemas consistentes, inconsistentes y dependientes.

Ejemplo 8

La rentavídeo CineStar ofrece a sus clientes dos opciones. Pueden pagar una membrecía anual de $45 y rentar cada película por $2 o pueden escoger no pagar la membrecía y rentar cada película por $3.50. ¿Cuántas películas deberán ser rentadas antes de que la membrecía se convierta en la opción más barata?

Solución

Habrá que trasladar este problema al lenguaje algebraico. Ya que hay dos opciones para considerar, se escribirán dos ecuaciones diferentes y se formará un sistema.

Las dos alternativas son membrecía o no membrecía.

Las variables son:

El número de películas a rentar, la cual será llamada x.

El costo total de rentar películas, la cual será llamada y.

Valor Renta Total
Membrecía $45 2x y=45 + 2x
No membrecía $0 3.50x y= 3.5x

El valor corresponde a lo que se debe pagar por la membrecía anual y la renta es la cantidad de dólares que se debe pagar por rentar películas. Para la opción de membrecía la renta es 2x, ya que se deben pagar $2 por cada película rentada. Para la opción de no membrecía la renta es 3.50x, ya que se deben pagar $3.50 por cada película rentada.

El sistema de ecuaciones es:

y & = 45 + 2x \\y & = 3.50x

La grafica correspondiente al sistema es mostrada a la derecha.

Este sistema puede ser resuelto fácilmente con el método de sustitución, ya que cada ecuación está resuelta para y. Sustituyendo la segunda ecuación en la primera

y & = 45 + 2x \\&& && \Rightarrow 3.50x = 45 + 2x \Rightarrow  1.50x = 45 \Rightarrow x = 30\ \text{movies}\\y & = 3.50x

Respuesta: Se tienen que rentar 30 películas al año antes de que la membrecía se convierta en mejor opción.

Este ejemplo muestra una situación real donde un sistema consistente de ecuaciones lineales es usado para encontrar la solución. Debe recordarse que para un sistema consistente las líneas correspondientes al sistema se intersectan en único punto. En otras palabras, las líneas no son paralelas o las pendientes son diferentes.

En este caso las pendientes de las líneas representan los precios para rentar una película. Las líneas se intersectan porque los precios de renta por película son diferentes para las dos opciones del problema.

A continuación, se examinará una situación en la cual se tendrá un sistema inconsistente. De la explicación anterior se puede concluir que las líneas no se intersectarán si las pendientes fuesen las mismas (pero los intersectos en y- son diferentes). Se cambiará el problema previo para obtener este caso.

Ejemplo 9

Dos rentavídeos están en competencia. Movie House cobra una membrecía anual de $30 y cobra $3 por película rentada. Flicks for Cheap cobra una membrecía anual de $15 y cobra $3 por película rentada. ¿Después de cuántas películas rentadas Movie House se vuelve la mejor opción?

Solución

Debería estar claro que Movie House nunca será la mejor opción, ya que su membrecía es más cara y cobra la misma cantidad por película que Flicks for Cheap.

Las líneas que describen cada opción tienen diferentes intersectos en y- 30, para Movie House, y 15, para Flicks for Cheap. Ambas tienen la misma pendiente, tres dólares por película. Esto significa que las líneas son paralelas y el sistema es inconsistente.

Veamos cómo funciona esto de forma algebraica:

Las variables son:

El número de películas a rentar, que será llamada x.

El costo total de rentar películas, que será llamada y.

Valor Renta Total
Movie House $30 3x y = 30 + 3x
Flicks for Cheap $15 3x y = 15+3x

El sistema de ecuaciones que describe este problema es:

y & = 30 + 3x \\y & = 15 + 3x

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera ecuación, para resolver el sistema se tiene que:

y & = 30 + 3x \\&&& \Rightarrow 15 + 3x = 30 + 3x \Rightarrow 15=30 \\y & = 15 + 3x

Esta afirmación es siempre verdadera.

Respuesta: Esto significa que el sistema es inconsistente.

Ejemplo 10

Peter compra dos manzanas y tres guineos por $4. Nadia compra cuatro manzanas y seis guineos por $8 en la misma tienda. ¿Cuánto cuesta un guineo y cuánto una manzana?

Solución

Se deben escribir dos ecuaciones, una para la compra de Peter y otra para la compra de Nadia.

Definiendo las variables como:

a el costo de una manzana.

b el costo de un guineo.

Costo de las manzanas Costo de los guineos Costo total
Peter 2a 3b 2a+3b=4
Nadia 4a 6b 4a+6b=8

El sistema de ecuaciones que describe este problema es:

2a + 3b & = 4 \\4a + 6b & = 8

Este sistema se resolverá multiplicando la primera ecuación por -2 y sumando las dos ecuaciones.

& -2(2a + 3b = 4) &&&& \ -4a -6b \ = -8\\& \qquad 4a + 6b = 8 && \Rightarrow && \underline{\qquad 4a + 6b = 8\;\;\;\;}\\&&&&& \qquad \ \ 0 + 0 \ = 0

Esta afirmación es siempre verdadera. Esto significa que el sistema es dependiente.

Revisando el problema una vez más, se puede observar que exactamente la misma información fue proporcionada en ambas afirmaciones. Si Peter compra dos manzanas y tres guineos por $4, hace sentido que si Nadia compra el doble de manzanas (cuatro manzanas) y el doble de guineos (seis guineos), ella va a pagar dos veces el precio ($8). Como la segunda ecuación no da ninguna información nueva, no es posible encontrar el precio de cada fruta.

Respuesta: Las dos ecuaciones describen la misma línea. Esto significa que el sistema es dependiente.

Ejercicios de repaso

  1. Expresa cada ecuación en la forma pendiente-intersecto. Sin construir gráficas, establece si el sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente.
    1. 3x-4y = 13\!\\y = -3x- 7
    2. \frac{3x}{5}+y = 3\!\\1.2x + 2y = 6
    3. 3x- 4y = 13\!\\y = -3x- 7
    4. 3x-3y=3\!\\x-y=1
    5. 0.5x-y = 30\!\\0.5x-y = -30
    6. 4x-2y = -2\!\\3x+2y = -12
  2. Encuentra la solución de cada sistema de ecuaciones usando el método de tu selección. Por favor establece si el sistema es inconsistente o dependiente.
    1. 3x+2y = 4\!\\-2x + 2y= 24
    2. 5x-2y=3\!\\2x-3y= 10
    3. 3x-4y= 13\!\\y= -3x-y
    4. 5x-4y=1\!\\-10x + 8y = -30
    5. 4x + 5y = 0\!\\3x = 6y + 4.5
    6. -2y+ 4x = 8\!\\y-2x = -4
    7. x-\frac{y}{2}=\frac{3}{2}\!\\3x+y = 6
    8. 0.05x + 0.25y = 6\!\\x + y = 24
    9. x + \frac{2y}{3}= 6\!\\3x + 2y = 2
  3. Un casa de vídeo cobra $4.50 por niños y $8.00 por adultos. Cierto día 1,200 personas entran a la casa de vídeo y $8,375 son colectados. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron?
  4. Andrew hizo dos órdenes a una tienda de ropa en Internet. La primera orden fue de trece corbatas y cuatro pares de suspensores, por un total de $487. La segunda orden fue por seis corbatas y dos pares de suspensores, por un total de $232. El recibo no detallada el precio por unidad, pero todas las corbatas tienen el mismo precio y todos los suspensores también. ¿Cuál es el costo de una corbata y cuál el de un par de suspensores?
  5. Un avión se tardó cuatro horas en volar 2,400 millas en la dirección de una corriente de aire. El viaje de regreso en contra de la corriente de aire le tomó cinco horas. ¿Cuáles fueron la velocidad del avión en aire favorable y la velocidad de la corriente de aire?
  6. Nadia le dijo a Peter que había ido al mercado de agricultores y que compró dos manzanas y un guineo que le costaron $2.50. Ella pensó que Peter gustaría algunas frutas, así que regresó donde el vendedor y compró cuatro manzanas más y dos guineos más. Peter agradeció a Nadia, pero le dijo que no le gustaban los guineos y que sólo le pagaría las cuatro manzanas. Nadia le dijo que la segunda vez había pagado $6.00 de frutas. Ayuda a Peter a descubrir cuánto le debe pagar a Nadia por las cuatro manzanas.

Respuestas a los ejercicios de repaso

    1. Consistente.
    2. Dependiente.
    3. Consistente.
    4. Dependiente.
    5. Inconsistente.
    6. Consistente.
    1. x=-4, y= 8
    2. x=-1, y = -4
    3. x=-1, y=-4
    4. Inconsistente.
    5. x = -2.5, y = 2
    6. Dependiente.
    7. x = \frac{9}{5}, y= \frac{3}{5}
    8. x=0, y=24
    9. Dependiente.
  1. 350 niños, 850 adultos.
  2. Corbatas = $23, suspensores = $47
  3. Velocidad del avion = 540 mph, velocidad de la corriente de aire = 60 mph
  4. Este representa un sistema inconsistente. Alguien está tratando de pasarse de listo. No es posible determinar el precio de las manzanas.

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