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7.6: Sistemas de desigualdades lineales

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Objetivos de aprendizaje

  • Construir gráficas de desigualdades lineales con dos variables.
  • Resolver sistemas de desigualdades lineales.
  • Resolver problemas de optimización.

Introducción

En el último capítulo se estudió cómo construir la gráfica de una desigualdad lineal en dos variables, para lo cual se graficó la ecuación de la línea recta en el plano coordenado. La línea fue sólida para los signos que incluían el signo igual. La línea fue punteada para el signo < o >, donde el signo igual no fue incluido. Luego, se sombreó debajo de la línea (si y > o y\geq) o por encima de la línea (si y< o y \leq).

En esta sección se estudiará cómo construir las gráficas de dos o más desigualdades lineales en el mismo plano coordenado. Las desigualdades se trazan separadamente en la misma gráfica y la solución para el sistema es la región común sombreada entre todas las desigualdades del sistema. Una desigualdad lineal en dos variables divide al plano en dos medios planos. Un sistema de dos o más desigualdades lineales puede dividir el plano en figuras más complejas. Se empezará resolviendo un sistema de dos desigualdades.

Construir la gráfica de un sistema de dos desigualdades lineales

Ejemplo 1

Resolver el siguiente sistema.

2x+3y & \leq 18\\x-4y & \leq 12

Solución

Resolver un sistema de desigualdades lineales significa graficar y encontrar las intersecciones. Por tanto, se construye la gráfica de cada desigualdad y se encuentran las regiones de intersección de la solución.

Cada ecuación debe escribirse en la forma pendiente intersecto. Esta forma es útil para construir la gráfica y decidir cuál es la región del plano que debe ser sombreada. El sistema se convierte en

 3y & \le -2x + 18 &&&& y \le \frac{-2} {3}x + 6 \\&& \Rightarrow \\-4y & \le -x + 12 &&&& y  \ge \frac{x} {4} - 3

Nota que el signo de la desigualdad en la segunda ecuación cambia porque se dividió por un número negativo.

Para este primer ejemplo se construirá la gráfica de cada desigualdad separadamente y se combinarán los resultados.

En la siguiente imagen se muestra la gráfica de la línea para la ecuación de la primera desigualdad.

La línea es sólida porque el signo de igualdad está incluido en la desigualdad. Como la desigualdad es menor o igual que, se sombrea por debajo de la línea.

En la siguiente imagen se muestra la gráfica de la línea para la ecuación de la segunda desigualdad.

La línea es sólida una vez más porque el signo de igualdad es incluido en la desigualdad. Como la desigualdad es y mayor que o igual que, se sombrea por encima de la línea.

Cuando se combinan las gráficas, se puede observar que las regiones azul y roja se superponen. Esta superposición es donde ambas desigualdades tienen soluciones iguales. Así que la región púrpura representa la solución del sistema.

El tipo de solución mostrada en este ejemplo es llamado no acotada porque se extiende por lo menos en una dirección (en este caso, hacia arriba y hacia la izquierda).

Ejemplo 2

Hay también situaciones en donde un sistema de desigualdades no tiene solución. Por ejemplo, si se resuelve el siguiente sistema.

 y & \leq 2x-4 \\y & > 2x+6

Solución: Se empezará construyendo la gráfica de la primera línea. La línea será sólida porque la desigualdad incluye el signo de igualdad. Se debe sombrear hacia abajo porque y es menor que.

Siguiente, se construye la gráfica de la segunda línea en los mismos ejes coordenados. Esta línea será punteada porque la desigualdad no incluye el signo de igualdad. Se debe sombrear hacia arriba porque y es mayor que.

Esta gráfica no muestra ninguna superposición entre las dos regiones sombreadas. Es fácil observar que las líneas nunca se intersectarán porque son paralelas. La pendiente es igual a dos para ambas líneas. Las regiones nunca se superpondrán si las líneas se extienden más.

Este es un ejemplo de un sistema de desigualdades que no tiene solución.

A pesar de que las líneas son paralelas, se puede obtener una solución para un sistema de desigualdades. Si se modifica el sistema de desigualdades del ejemplo 2 de tal forma que los signos de las desigualdades sean invertidos, se obtiene el siguiente sistema.

y & \geq 2x-4 \\y & < 2x+6

El procedimiento para resolver este sistema es casi idéntico al procedimiento previo, excepto que se debe sombrear hacia arriba para la primera desigualdad y hacia abajo para la segunda desigualdad. Aquí está el resultado.

En este caso, las regiones sombreadas se sobreponen y el sistema de desigualdades tiene solución, la cual se muestra con la región púrpura.

Construcción de la gráfica de un sistema de más de dos desigualdades lineales

En la sección previa se estudió cómo encontrar la solución de un sistema de dos desigualdades lineales. Las soluciones de este tipo de sistemas son siempre no acotadas. En otras palabras, la región donde las sombras se sobreponen continúa indefinidamente por lo menos en una dirección. Se pueden obtener soluciones acotadas resolviendo sistemas que contienen más de dos desigualdades. Es estos casos, la región de solución será acotada en los cuatro lados.

A continuación, se examinará una solución de este tipo resolviendo el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

Encontrar la solución del siguiente sistema de desigualdades.

3x-y & < 4 \\4y+9x & < 8 \\x & \geq 0 \\y & \geq 0

Solución

Se empezará escribiendo las ecuaciones en la forma pendiente-intersecto.

y & > 3x-4 \\y & < -\frac{9}{4}x+2 \\x & \geq 0 \\y & \geq 0

Ahora, se puede construir la gráfica de cada línea y sombrear apropiadamente. Primero, se construirá la gráfica de y>3x-4.

Siguiente, se construirá la gráfica de y<-\frac{9}{4}x+2

Finalmente, se construirán las gráficas de  x \geq 0 y  y \geq 0. La región de intersección se muestra en la siguiente figura.

La solución es acotada porque hay líneas en todos los lados de la región de solución. En otras palabras, la región de solución es una figura geométrica acotada, para este caso es un triángulo.

Escribir un sistema de desigualdades lineales

Hay muchos problemas de aplicación interesantes que involucran el uso de sistemas de desigualdades lineales. Sin embargo, antes de resolver completamente problemas de aplicación, observa cómo se pueden convertir algunos problemas de palabras simples a ecuaciones algebraicas.

Por ejemplo, tú vas a tu restaurante favorito y deseas ser atendido por tu mejor amigo, quien casualmente trabaja ahí. Sin embargo, tu amigo trabaja en cierta región del restaurante. El restaurante también es reconocido por sus magníficas vistas, las cuales están localizadas en ciertas áreas. Resolver un sistema de desigualdades lineales puede ayudarte a encontrar el área en el restaurante donde te puedes sentar para tener la mejor vista y, además, ser servido por tu amigo.

Típicamente, un sistema de desigualdades lineales trata con problemas en los cuales se trata de encontrar la mejor solución posible dado un conjunto de restricciones.

Ejemplo 4

Escribir un sistema de desigualdades lineales que represente las siguientes condiciones.

La suma de dos veces un número x y tres veces otro número y es mayor que 6 y y es menor que tres veces x.

Solución

Tomando cada planteamiento y escribiéndolo de de forma algebraica, se tiene:

1. La suma de dos veces un número x y tres veces otro número y es mayor que 6.

Esto puede ser escrito como

2. y es menor que tres veces x.

Esto puede ser escrito como

& \ y< \qquad \qquad \qquad 3x\\& \nearrow \qquad \qquad \qquad \quad \nwarrow\\& y\ \text{es menor que} \qquad \ 3\ \text{veces}\ x

El sistema de desigualdades que surge de estos planteamientos es

2x+3y & > 6 \\y & < 3x

Este sistema de desigualdades puede ser resuelto usando el método planteado al inicio de esta sección. Este sistema no será resuelto, ya que lo que se pretende es concentrarse en el aprendizaje de cómo escribir un sistema de desigualdades lineales a partir de problema planteado con palabras.

Resolver problemas del mundo real usando sistemas de desigualdades lineales

Como se menciona anteriormente, hay muchos problemas de aplicación interesantes que requieren el uso de sistemas de desigualdades lineales. La mayoría de estos problemas de aplicación caen en una categoría llamada problemas de programación lineal.

Programación lineal es el proceso de tomar varias desigualdades lineales relacionadas a alguna situación y encontrar el mejor valor posible bajo estas condiciones. Un ejemplo típico es el de tomar las limitaciones de materiales y mano de obra y determinar el mejor nivel de producción para maximizar los ingresos bajo estas condiciones. Estos tipos de problemas son usados cada día en la organización y asignación de recursos. Estos sistemas de la vida real pueden tener docenas o cientos de variables o más. En esta sección, se trabajará solo con las casos simples de dos variables lineales.

El proceso general es:

  • Construir la gráfica de las desigualdades (llamadas restricciones) para formar un área acotada en plano x, y- (llamada la región factible).
  • Encontrar las coordenadas de las esquinas (o vértices) de esta región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones que dan las soluciones de cada uno de los puntos de intersección.
  • Probar estos puntos de esquina en la fórmula (llamada función de optimización), para la cual se está tratando de encontrar el valor máximo o mínimo.

Ejemplo 5

Encontrar el valor máximo y mínimo de z=2x+5y dadas las restricciones.

2x-y & \leq 12 \\4x+3y & \geq 0 \\x-y & \leq 6

Solución

Paso 1: Encontrarás la solución del sistema de desigualdades lineales construyendo las gráficas y sombreando apropiadamente. Para construir las gráficas, las ecuaciones deben ser escritas en la forma pendiente-intersecto.

y & \geq 2x-12 \\y & \geq -\frac{4}{3}x \\y & \geq x-6

Estas tres desigualdades lineales son llamadas las restricciones.

La solución es la región sombreada en la gráfica. Esta es llamada la región factible. Esto significa que todas las posibles soluciones se encuentran en esta región. Sin embargo, para encontrar la solución óptima se debe pasar a los siguientes pasos.

Paso 2

Siguiente, se encuentran los puntos de esquina. Para encontrarlos exactamente se deben formar tres sistemas de ecuaciones lineales y resolverlos de forma algebraica.

Sistema 1

 y & = 2x - 12 \\y & = -\frac{4} {3} x

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda ecuación:

- \frac{4} {3}x &= 2x - 12 \Rightarrow -4x = 6x -36 \Rightarrow -10x = -36 \Rightarrow x = 3.6\\y &= 2x - 12 \Rightarrow y - 2(3.6) - 12 \Rightarrow y = -4.8

El punto de intersección de las líneas es (3.6, -4.8).

Sistema 2

y & = 2x-12 \\y & = x-6

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda ecuación:

x - 6 &= 2x -12 \Rightarrow 6 = x \Rightarrow x = 6\\y &= x - 6 \Rightarrow y = 6 - 6 \Rightarrow y = 0

El punto de intersección de las líneas es (6, 0).

Sistema 3

 y & = - \frac{4} {3}x \\y & = x - 6

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda ecuación:

x - 6 &= - \frac{4} {3}x \Rightarrow 3x - 18 = -4x \Rightarrow 7x = 18 \Rightarrow x = 2.57\\y &= x - 6 \Rightarrow y = 2.57 - 6 \Rightarrow y = -3.43

El punto de intersección de las líneas es (2.57, -3.43).

Así, los puntos de esquina son (3.6, -4.8), (6, 0) y (2.57, -3.43).

Paso 3

Alguien realmente inteligente demostró que para un sistema lineal como este, los valores máximo y mínimo de la ecuación de optimización siempre se encontrarán en los puntos de esquina de la región factible. Así que para encontrar la solución de este ejercicio se deben sustituir los tres puntos de esquina en la ecuación z=2x+5y.

& (3.6, -4.8) &&  z = 2(3.6) + 5(-4.8) = -16.8 \\& (6, 0) && z = 2(6) + 5(0) = 12 \\& (2.57, -3.43) && z = 2(2.57) + 5(-3.43) = -12.01

El máximo valor de 12 se encuentra en el punto (6, 0) y el menor valor de -16.8 se encuentra en el punto (3.6, -4.8).

En el ejemplo anterior se mostró cómo aplicar el método de programación lineal sin el contexto de un problema de aplicación. En el siguiente ejemplo se resolverá una aplicación de la vida real.

Ejemplo 6

Se tienen $10,000 para invertir y tres diferentes formas de inversión para escoger. Los bonos municipales al 5%, las cuentas a plazo del banco local al 7% y una cuenta de alto riesgo al 10%. Para minimizar riegos se decide invertir no más de $1,000 en la cuenta de alto riesgo. Por razones de impuestos se deben invertir por lo menos tres veces más en los bonos municipales que en la cuenta a plazo del banco. Asumiendo que los intereses se colectarán al final del año, ¿cuáles son las cantidades óptimas de inversión?

Solución

Definir las variables.

x es la cantidad de dinero invertida en los bonos municipales al 5%.

y es la cantidad de dinero invertida en la cuenta a plazo del banco al 7%.

10,000 -x-y es la cantidad de dinero invertida en la cuenta de alto riesgo al 10%.

z es el total de intereses recibidos de todas las inversiones o z = .05x + .07y + .1(10,000 -x-y) o z = 1,000 -0.05x- 0.03y. Esta es la cantidad que se está tratando de maximizar. El objetivo es encontrar valores de x y y que maximicen el valor de z.

Ahora, se escribirán desigualdades para las restricciones.

Se decidió invertir no más de $1,000 en la cuenta de alto riesgo.

10,000 -x-y \leq 1,000

Se necesita invertir por lo menos tres veces más en los bonos municipales que en la cuenta a plazo del banco.

3y \leq x

Como se invierten más de cero dólares en cada cuenta, se escriben las siguientes restricciones.

x & \geq 0 \\y & \geq 0 \\10,000-x-y & \geq 0

Resumiendo: se tiene que maximizar la expresión z= 1000- .05x- .03y.

Usando las restricciones:

& 10,000 - x - y \le 1,000 &&&&  y  \ge 9,000 - x \\& 3y \le x &&&& y  \le \frac{x} {3} \\& x \ge 0 && \text{Let’s rewrite each in slope-intercept form.} && x  \ge 0 \\& y \ge 0 &&&& y  \ge 0 \\& 10,000 - x - y \ge 0 &&&& y  \le 10,000 - x

Paso 1: Encontrar la región de solución para el conjunto de desigualdades y construir la gráfica de cada línea y sombrear apropiadamente.

La siguiente figura muestra la región de intersección.

La región púrpura es la región factible donde se encuentran todas las posibles soluciones.

Paso 2: Siguiente, se necesitan encontrar lo puntos de esquina de la región de solución sombreada. Nota que hay cuatro puntos de intersección. Para encontrar los puntos se deben aparear las ecuaciones relevantes y resolver los sistemas que resulten.

Sistema 1

 y & = - \frac{x} {3}x \\y & = 10000 - x

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda ecuación:

\frac{x} {3} & = 10000 - x \Rightarrow x = 30000 - 3x \Rightarrow x = 7500 \\y & = \frac{x} {3} \Rightarrow y =\frac{7500} {3} \Rightarrow y = 2500

El punto de intersección es (7500, 2500).

Sistema 2

 y & = - \frac{x} {3}x \\y & = 9000 - x

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda ecuación:

\frac{x} {3} &= 9000 - x \Rightarrow x = 27000 -3x \Rightarrow 4x = 27000 \Rightarrow x = 6750\\\frac{x} {3} & \Rightarrow y = \frac{6750} {3} \Rightarrow y = 2250

El punto de intersección es (6750, 2250).

Sistema 3

y & = 0 \\y & = 10000-x

El punto de intersección es (10000,0).

Sistema 4

y & = 0 \\y & = 9000-x

El punto de intersección es (9000,0).

Paso 3: Para encontrar el valor máximo de z se necesitan sustituir los puntos de intersección en z y tomar el mayor valor.

& (7500, 2500) && z = 1000 - 0.05(7500) - 0.03(2500) = 550  \\& (6750, 2250) && z= 1000- 0.05(6750) - 0.03(2250) = 595  \\& (10000, 0) && z= 1000 -0.05(10000) - 0.03(0) = 500  \\& (9000, 0) && z = 1000 -0.05(9000)- 0.03(0) = 550

Respuesta

El máximo interés de la inversión es $595, el cual se obtiene en el punto (6750, 2250). Esto significa que:

$6,750 son invertidos en los bonos municipales.

$2,250 son invertidos en la cuenta a plazo del banco.

$1,000 son invertidos en la cuenta de alto riesgo.

Ejercicios de repaso

Encontrar la región de solución de los siguientes sistemas de desigualdades lineales.

  1. x-y<-6\!\\2y \geq  3x + 17
  2. 4y- 5x< 8\!\\-5x \geq 16-8y
  3. 5x-y \geq 5\!\\2y-x \geq -10
  4. 5x+2y \geq -25\!\\3x-2y \leq 17\!\\x -6y \geq 27
  5. 2x -3y \leq 21\!\\x +4y \leq 6\!\\3x + y \geq -4
  6. 12x-7y < 120\!\\7x-8y \geq 36\!\\5x+y \geq 12

Resolver los siguientes problemas de programación lineal:

  1. Dadas las siguientes restricciones, encontrar los valores máximo y mínimo de & z=-x+5y \\& x+3y \leq 0 \\& x-y \geq 0 \\& 3x-7y \leq 16
  2. En su tienda de muebles, Andrew ensambla libreras y cabinas para televisores. Cada tipo de mueble le toma alrededor del mismo tiempo para ensamblarlo. Él ha descubierto que sólo tiene tiempo para ensamblar a lo mucho 18 muebles para este sábado. Los materiales para cada librera le cuestan $20 y los materiales para cada cabina le cuestan $45. Él tiene $600 para materiales. Andrew obtiene ganancias de $60 por cada librera y $100 por cada cabina. Encontrar cuántos muebles de cada tipo debe ensamblar Andrew para maximizar sus ganancias.

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. Máximo de z=0 en el punto (0, 0), mínimo de z=-16 en el punto (-4, -4).
  2. Máxima ganancia, $1,440, ensamblando 9 libreras y 9 cabinas.

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