<meta http-equiv="refresh" content="1; url=/nojavascript/"> Segmentos y distancias | CK-12 Foundation
Dismiss
Skip Navigation

1.2: Segmentos y distancias

Created by: CK-12

Objetivos de enseñanza

  • Medir distancias usando diferentes herramientas.
  • Entender y aplicar el postulado de regla.
  • Entender y aplicar el postulado de la adición de segmentos para medir.
  • Usar los puntos extremos para identificar distancias en una cuadrícula coordenada.

Introducción

La mayor parte de tu vida has usado la medición para entender cantidades como peso, tiempo, distancia, área y volumen. Cada vez que has cocinado alguna comida, comprado algo o practicado algún deporte, la medición ha tenido un rol muy importante. Esta lección explora los postulados referentes a la medición en geometría.

Midiendo distancias

Existen diferentes maneras de identificar las medidas. Esta lección te presentará algunas que te pueden resultar conocidas y algunas que probablemente sean nuevas para ti. Antes de que comencemos a examinar distancias, es importante que identifiques el significado de distancia en el contexto de la geometría. La distancia entre dos puntos está definida por la longitud del segmento de línea que los conecta entre sí.

La manera más común de medir una distancia es usando una regla. También, una distancia puede estimarse usando la escala en un mapa. Practica esta habilidad con el ejemplo que está a continuación.

Notas sobre notación: Cuando nombramos un segmento, usamos sus extremos y una barra sin puntas de flecha en la parte superior. Por ejemplo, el "Segmento AB" se escribe \overline{AB}. La longitud de un segmento se escribe dando sus extremos sin usar la barra superior. Por ejemplo, la longitud de \overline{AB} se escribe AB. En algunos libros lo podrás encontrar como m \overline{AB}, que significa lo mismo que AB, esto es la longitud de un segmento con extremos A y B.

Ejemplo 1

Usa la escala para estimar la distancia entre las casas de Aaron y Bijal. Asume que el primer tercio de la escala coloreado en negro representa una pulgada.

Necesitas encontrar la distancia entre las dos casas del mapa. La escala es una muestra de la distancia. Usa la escala para estimar la distancia. Encontrarás que la distancia entre las dos casas equivale aproximadamente a la longitud de los tres segmentos. ¡Ten cuidado! Eso no quiere decir que la respuesta sea igual a tres. La escala muestra que cada unidad equivale a dos millas, por lo que deberás multiplicar las tres unidades por dos millas.

\mbox{3 unidades} \times \frac{\mbox{2 millas}} {\mbox{1 unidad}} = \mbox{6 millas}

La distancia entre las dos casas es casi de 6 millas.

También puedes usar la estimación para identificar las medidas en otras figuras geométricas. Recuerda incluir palabras como aproximadamente, casi o estimado, cada vez que encuentres una respuesta de forma estimada.

Postulado de la regla

Probablemente ya has usado reglas para medir distancias desde hace mucho tiempo y ya sabes que una regla es una herramienta con marcas en las medidas.

Postulado de la regla: Si usas una regla para encontrar la distancia entre dos puntos, la distancia será el valor absoluto de la diferencia entre ambos números mostrados en la regla.

El postulado de la regla hace suponer que no es necesario comenzar a medir a partir de cero, siempre y cuando uses la resta para encontrar la distancia. Nota que aquí decimos “valor absoluto”, ya que las distancias en geometría siempre son positivas, y la sustracción o resta puede llevarnos a un resultado negativo.

Ejemplo 2

¿Qué distancia marca la regla en el diagrama de abajo? Asume que la escala es de un centímetro entre las marcas grandes.

Usamos la regla para encontrar la medida mediante el valor absoluto de la diferencia entre los números mostrados. El segmento de línea va desde 3 \;\mathrm{cm} hasta 8 \;\mathrm{cm}.

|3 - 8| = |-5| = 5

El valor absoluto de la diferencia entre ambos puntos mostrados en la regla es 5 \;\mathrm{cm}. Así, la longitud del segmento de línea es 5 \;\mathrm{cm}.

Ejemplo 3

Usa una regla para encontrar la longitud del segmento de línea mostrado continuación.

Alinea los extremos de la línea con los números de tu regla para encontrar el valor absoluto mediante la diferencia entre los números leídos. Si lo haces correctamente, encontrarás que este segmento mide 2.5\;\mathrm{pulgadas} o 6.35\;\mathrm{centímetros}.

Postulado de la adición de segmentos

Postulado de la adición de segmentos: La medida de cualquier segmento de línea puede encontrarse sumando las medidas de segmentos más pequeños que lo comprenden.

Esto puede parecer confuso, pero la lógica es muy simple. Si sumas la longitud de \overline{AB} y \overline{BC} del diagrama de abajo, encontrarás la longitud total de \overline{AC}. Simbólicamente, AB+BC=AC.

Usa el postulado de la adición de segmento para unir las distancias.

Ejemplo 4

El mapa de abajo muestra las distancias entre tres pueblos colineales entre sí. Asume que el primer tercio de la escala de color negro representa una pulgada.

¿Cuál es la distancia entre el pueblo 1 y el pueblo 3?

Puedes ver que la distancia entre el pueblo 1 y el pueblo 2 es de ocho millas. También puedes ver que la distancia entre el pueblo 2 y el pueblo 3 es de cinco millas. Usando el postulado de la adición de segmentos, puedes sumar estos valores para encontrar la distancia total entre el pueblo 1 y el pueblo 3.

8+5=13

La distancia total entre el pueblo 1 y el pueblo 3 es de 13\;\mathrm{millas} .

Distancias en el plano cartesiano

Muy seguramente ya has trabajado en álgebra graficando líneas en el plano cartesiano x-y. Algunas veces puedes encontrar ahí la distancia entre puntos usando los valores de las coordenadas. Si dos puntos están alineados verticalmente, fíjate el cambio en los valores de las coordenadas en y-. Este cambio te mostrará el valor de la distancia entre puntos. Recuerda usar el valor absoluto, tal como lo hiciste con la regla. Después, aprenderemos a calcular la distancia entre puntos que no están alineados horizontal ni verticalmente.

Ejemplo 5

¿Cuál es la distancia entre los dos puntos mostrados abajo?

Los dos puntos mostrados en la cuadrícula están en (2,9) y (2,3). Como los tres puntos se alinean verticalmente, mira la diferencia entre los valores de las coordenadas en y-.

|9-3|=|6|=6

De esta manera, la distancia entre los dos puntos es 6 \;\mathrm{unidades}.

Ejemplo 6

¿Cuál es la distancia entre los dos puntos mostrados abajo?

Los dos puntos mostrados en la cuadrícula están en (-4, 4) y (3, 4). Estos puntos se alinean horizontalmente, así que fíjate en la diferencia entre los valores de x-. Recuerda tomar el valor absoluto de la diferencia entre ambos valores para encontrar la distancia.

|(-4)-3|=|-7|=7

La distancia entre los dos puntos es de 7\;\mathrm{unidades}.

Resumen de la lección

En esta sección exploramos los segmentos y distancias. Específicamente, aprendimos:

  • Cómo medir distancias utilizando diferentes herramientas.
  • A entender y aplicar el postulado de la regla para la medición.
  • A entender y aplicar el postulado de la adición de segmentos para la medición.
  • Cómo usar los extremos para identificar las distancias en un plano cartesiano.

Estas habilidades son muy útiles cuando tomamos medidas o calculamos usando diagramas. Asegúrate de que comprendes completamente todos los conceptos presentados aquí para poder continuar con tu estudio.

Preguntas de repaso

  1. Usa una regla para medir la longitud de U \overline{AB} abajo.
  2. De acuerdo a la regla que aparece en la imagen, ¿qué tan larga es la cucaracha?

  3. El postulado de la regla dice que la cucaracha puede medirse a partir del 2 sin usar el 0 \;\mathrm{cm} de referencia para comenzar a medir. Si la misma cucaracha, como la del numeral 2, tiene su cabeza en 6.5 \;\mathrm{cm}, ¿dónde estaría su cola en la regla?
  4. Suppose  M is exactly in the middle of \overline{PQ} and PM = 8 \;\mathrm{cm}. What is PQ?
  5. ¿Qué es CE en el diagrama de abajo?
  6. Encuentra a  x en el diagrama de abajo.
  7. ¿Cuál es la longitud del segmento que conecta a los puntos (-2,3) y (-2, -7) en el plano cartesiano? Justifica tu respuesta.
  8. Verdadero o falso: Si AB = 5\;\mathrm{cm} y BC = 12\;\mathrm{cm}, entonces AC = 17\;\mathrm{cm}.
  9. Verdadero o falso:  |a-b| = |b-a|.
  10. Una de las proposiciones de los numerales 8 y 9 es falsa. Di cuál de las dos es falsa y reescríbela para hacerla verdadera.

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. Las respuesta pueden variar dependiendo de la escala a la que imprimas el documento y de las unidades que uses.
  2. 4.5 \;\mathrm{cm} (¡Guácala!)
  3. La cola podría estar en 11 \;\mathrm{cm} o 2 \;\mathrm{cm}, dependiendo de hacia dónde apunte la cucaracha.
  4. PQ = 2 \;\mathrm{(PM)} = 16 \;\mathrm{cm}.
  5. CE = 3 \;\mathrm{ft} + 9 \;\mathrm{ft} = 12 \;\mathrm{ft}.
  6. x = 36 \;\mathrm{km} - 7 \;\mathrm{km} = 29 \;\mathrm{km}.
  7. Como los puntos tienen la misma coordenada  x-, encontraremos el valor absoluto de la diferencia en las coordenadas en y-.  |-7-3|=|-10|=10
  8. Falso.
  9. Verdadero. a - b = - (b - a), aunque el signo del valor absoluto en ambos casos es positivo.
  10. El numeral 8 es falso. Mira en contraposición el diagrama de abajo. Para convertir el numeral 8 en verdadero, necesitamos agregar algo como lo siguiente: “Si los puntos A, B y C son colineales y B está entre A y C, entonces AB = 5 \;\mathrm{cm} y  BC = 12 \;\mathrm{cm}, por lo que  AC = 17 \;\mathrm{cm}”.

Image Attributions

You can only attach files to None which belong to you
If you would like to associate files with this None, please make a copy first.

Reviews

Please wait...
You need to be signed in to perform this action. Please sign-in and try again.
Please wait...
Image Detail
Sizes: Medium | Original
 
CK.MAT.SPA.SE.1.Geometry.1.2

Original text