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1.4: Segmentos y ángulos

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Objetivos de aprendizaje

  • Entender e identificar segmentos de línea congruentes.
  • Identificar el centro del segmento de línea.
  • Identificar el bisector de un segmento de línea.
  • Entender e identificar ángulos congruentes.
  • Entender y aplicar el postulado del ángulo bisector.

Introducción

Ahora que ya tienes un mayor conocimiento sobre segmentos, ángulos, rayos y otras formas básicas de geometría, podemos estudiar las maneras en las que se dividen. Para cada caso de segmento o ángulo, tendrás diferentes maneras de separarlo en partes.

Segmentos de línea congruentes

Una de las palabras más importantes en geometría es congruente. En geometría, este término se refiere a aquellos objetos que tienen exactamente el mismo tamaño y forma. Dos segmentos serán congruentes si ambos tienen la misma longitud.

Notas sobre notación:

  1. Cuando dos cosas son congruentes usamos el símbolo \cong. Por ejemplo, si \overline{AB} es congruente con \overline{CD}, entonces lo deberíamos escribir \overline{AB} \cong \overline{CD}.
  2. Cuando dibujamos segmentos congruentes, usamos un apóstrofo para denotar que los dos segmentos son congruentes.
  3. Si en una misma imagen hay varios pares de segmentos congruentes (pero que no todos son congruentes entre sí), usa comillas (dos apóstrofos seguidos) para el segundo par de segmentos congruentes; tres apóstrofos para el tercero y así sucesivamente. Mira las dos ilustraciones siguientes.

Recuerda que la longitud del segmento \overline{AB} puede ser escrita de dos maneras diferentes:

m\overline{AB} o simplemente AB. Al principio, esto puede ser un poco confuso, pero te irá haciendo más sentido a medida que vayas usando esta notación. Digamos que usamos una regla para medir \overline{AB} y vemos que tiene una longitud de 5 \;\mathrm{cm}. Entonces, podríamos escribir m\overline{AB} = 5 \;\mathrm{cm} o AB = 5 \;\mathrm{cm}.

Si sabes que \overline{AB} \cong \overline{CD}, entonces podemos escribir m\overline{AB} = m\overline{CD} o simplemente AB = CD.

Puedes probar que dos segmentos son congruentes de varias formas. Puedes medirlos para encontrar sus longitudes usando cualquier unidad de medida. Las unidades no importan siempre y cuando uses las mismas para ambas medidas. También, si estos segmentos están dibujados en el plano x-y, puedes encontrar sus longitudes en la cuadrícula coordenada. Más adelante en el curso, aprenderás otras formas de probar que dos segmentos son congruentes.

Ejemplo 1

Henrietta dibujó un segmento de línea como se muestra en el plano cartesiano de abajo.

Ella quiere dibujar otro segmento que sea congruente al primero, que comience en (-1,1) y se dirija verticalmente hacia arriba (es decir, en la dirección +y). ¿Cuáles serán las coordenadas del otro extremo?

Tendrás que resolver este problema por etapas. El primer paso consiste en identificar la longitud del primer segmento dibujado en la cuadrícula. Este comienza en (2,3) y termina en (6,3). Entonces, su longitud es de 4\;\mathrm{unidades}.

El siguiente paso es dibujar el segundo segmento. Usa un lápiz para hacerlo, de acuerdo a las especificaciones que pide el problema. Sabes que el segundo segmento necesita ser congruente con el primero, por eso será 4\;\mathrm{unidades} de largo. El problema también establece que el segundo segmento debe ir verticalmente hacia arriba comenzando a partir del punto (-1,1). Dibuja el punto en (-1,1) y haz una línea vertical de 4\;\mathrm{unidades} de longitud.

Ahora que ya dibujaste el segmento nuevo, usa la cuadrícula para encontrar el nuevo extremo. Este tiene una coordenada en x- de -1 y una coordenada y- de 5. Entonces, sus coordenadas son (-1,5).

Centro de segmento

Ahora que entiendes los segmentos congruentes, hay varios términos nuevos y tipos de figuras que puedes explorar. Un centro de segmento es un punto contenido en un segmento de línea que lo divide en dos segmentos congruentes. De esta manera, cada segmento entre el centro y un extremo tiene la misma longitud que el otro. En el diagrama presentado a continuación, el punto B es el centro del segmento \overline{AC}, ya que \overline{AB} es congruente con \overline{BC}.

Hay un postulado especial dedicado a los centros.

Postulado de centro del segmento: Cualquier segmento de línea tiene exactamente un centro. Ni uno más, ni uno menos.

Ejemplo 2

Nandi y Arshad miden la distancia entre sus casas y se dan cuenta de que están separadas por 10\;\mathrm{millas}. Si se ponen de acuerdo en encontrarse en el centro de la distancia entre ambas casas, ¿qué longitud deberán viajar?

La manera más fácil de encontrar el centro del segmento imaginario que separa ambas casas es dividiendo su longitud entre 2.

10 \div 2 = 5

De esta manera, cada persona deberá viajar cinco millas para poder encontrarse en el centro, entre las casas de Nandi y Arshad.

Segmento bisector

Ahora que ya sabes cómo encontrar centros de segmentos de línea, puedes explorar los segmentos bisectores. Un bisector es una línea, segmento o rayo que pasa a través del centro de otro segmento. Probablemente sabes ya que el prefijo "bi" significa dos (piensa, por ejemplo, en las ruedas de una bicicleta. Así, un bisector corta un segmento de línea en dos partes congruentes.

Ejemplo 3

Usa una regla para dibujar un bisector del segmento a continuación.

El primer paso para identificar un bisector es encontrar el centro. Midiendo el segmento de línea encontramos que es de 4 \;\mathrm{cm} de largo. Para encontrar el centro, dividimos esa distancia entre 2.

4 \div 2 = 2

Así, el centro estará a 2 \;\mathrm{cm} medido a partir de cualquiera de los dos extremos. Mide, entonces, 2 \;\mathrm{cm} desde un extremo del segmento y dibuja el centro.

Para completar el problema, dibuja un segmento de línea que pase a través del centro. No importa el ángulo de inclinación que tenga el segmento, con solo que pase por el centro será suficiente para ser un bisector.

Ángulos congruentes

Ya sabes que dos segmentos de línea congruentes son los que tienen exactamente la misma longitud. También puedes aplicar el concepto de congruencia a otras figuras geométricas. Cuando los ángulos son congruentes, es porque tienen exactamente la misma medida. Es posible que apunten a diferentes direcciones, que sus lados tengan diferente longitud, tengan diferentes nombres o atributos, pero sus medidas serán las mismas.

Notas sobre notación:

  1. Al escribir, para denotar que dos ángulos son congruentes, usamos el símbolo de congruencia: \angle{ABC} \cong \angle{ZYX}. Alternativamente, el símbolo m\angle{ABC} se refiere a la medida de \angle{ABC}, así que también podemos escribir que m\angle{ABC} = m \angle{ZYX} y estamos teniendo el mismo significado que \angle{ABC} \cong \angle{ZYX}. Notarás entonces que los "números" (como las medidas), al igual que los "objetos" (como ángulos y segmentos), también son congruentes.
  2. Cuando dibujamos ángulos congruentes, usa un arco en el interior del ángulo para mostrar que dos ángulos son congruentes. Si dos diferentes pares de ángulos son congruentes, usa un solo arco para el par de ángulos, dos para el segundo y así sucesivamente.

Usa álgebra para encontrar una manera de resolver el problema presentado a continuación usando esta información.

Ejemplo 4

Los ángulos mostrados abajo son congruentes.

¿Cuánto mide cada ángulo?

Este problema combina tanto álgebra como geometría, así que asegúrate de plantearlo correctamente. En el enunciado está dado que dos ángulos son congruentes, así que deben tener la misma medida. De esta manera, puedes plantear una ecuación en la que la expresión que representa un ángulo es igual a la que representa al otro.

5x+7=3x+23

Ahora, ya tienes una ecuación de una variable, y despejar x.

5x+7 & = 3x+23\\5x-3x & = 23-7\\2x & = 16\\x & = 8

Así, el valor de x es 8. Usa este valor de xpara encontrar la medida de uno de los ángulos del problema.

m\angle{ABC} &=5x+7\\&=5(8)+7\\&=40+7\\&=47

Finalmente, sabemos que m\angle{ABC}=m\angle{XYZ}, así que ambos ángulos miden 47^\circ.

Ángulos bisectores

Si un segmento bisector divide un segmento en dos partes congruentes, probablemente adivinarás lo que es un "ángulo bisector". Un ángulo bisector divide un ángulo en dos ángulos congruentes, cada uno midiendo exactamente la mitad el ángulo original.

Postulado del ángulo bisector: Cada ángulo tiene exactamente un bisector.

Ejemplo 5

El ángulo a continuación mide  136^\circ.

Si se dibuja un ángulo bisector en este ángulo, ¿cuánto medirán los nuevos ángulos formados?

Este problema es similar al del ejemplo donde se encontraba el centro entre dos casas. Para encontrar las medidas de los ángulos más pequeños una vez que ya esté dibujado el bisector, divide la medida del ángulo original entre 2:

136 \div 2 = 68

Así, cada ángulo nuevo formado debería medir  68^\circ, cuando el ángulo de  136^\circ se ha bisectado (partido en dos).

Resumen de la lección

En esta lección exploramos segmentos y ángulos. Específicamente, aprendimos:

  • Cómo entender e identificar segmentos de línea congruentes.
  • Cómo identificar el centro de un segmento de línea.
  • Cómo identificar el bisector de un segmento de línea.
  • Cómo entender e identificar ángulos congruentes.
  • Cómo entender y aplicar el postulado del ángulo bisector.

Estas habilidades son útiles cuando hacemos medidas o cálculos en diagramas. Asegúrate de que comprendes todos los conceptos presentados aquí antes de continuar con tu estudio.

Preguntas de repaso

  1. Copia la figura que está a continuación y escribe en ella la siguiente información:
    1.  \angle{A} \cong \angle{C}
    2.  \angle{B} \cong \angle{D}
    3.  \overline{AB} \cong \overline{AD}

  2. Haz un boceto de un ángulo bisector y rotula un ángulo bisector  \overrightarrow{RU} del ángulo  \angle{SRT} mostrado abajo.
  3. Si sabemos que  m\angle{SRT} = 64^\circ, ¿cuál es  m\angle{SRU}?

Usa el siguiente rectángulo ACEF de la figura para resolver las preguntas de la 4 a la 10 (para estos problemas puedes asumir que los lados opuestos de un rectángulo son congruentes, más adelante probaremos esto).

Dado que  H es el centro de  \overline{AE} y  \overline{DG}, encuentra las siguientes longitudes:

  1.  GH =
  2.  AB =
  3.  AC =
  4.  HE =
  5.  AE =
  6.  CE =
  7.  GF =
  8. How many copies of  \triangle ABH can fit inside rectangle ACEF?

Respuestas de las preguntas de repaso

  1.  32^\circ
  2.  GH = 12 \;\mathrm{in}
  3.  AB = 12 \;\mathrm{in}
  4.  AC = 24 \;\mathrm{in}
  5.  HE = 12 \;\mathrm{in}
  6.  AE = 26 \;\mathrm{in}
  7.  CE = 10 \;\mathrm{in}
  8.  GF = 5 \;\mathrm{in}
  9. 8

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