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1.7: Clasificando polígonos

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Objetivos de aprendizaje

  • Definir polígonos.
  • Entender la diferencia entre polígonos cóncavos y convexos.
  • Clasificar los polígonos según su número de lados.
  • Usar la fórmula de la distancia para encontrar las longitudes de los lados en un plano cartesiano.

Introducción

A medida que progreses en tus estudios de geometría, puedes examinar diferentes tipos de formas. En la lección pasada, estudiaste el triángulo y las diferentes maneras de clasificarlo. Esta lección presenta otras formas llamadas polígonos. Hay varias formas diferentes de clasificar y analizar estas figuras. Si practicas frecuentemente los procedimientos de clasificación, cada vez se te hará más fácil.

Definiendo polígonos

Ahora que ya sabes lo que es un triángulo, puedes aprender sobre otros tipos de figuras. Los triángulos pertenecen a un grupo mayor de figuras llamadas polígonos. Un polígono es cualquier figura plana cerrada que está compuesta completamente por segmentos de líneas que se intersectan en sus extremos. Los polígonos puede tener cualquier cantidad de lados y ángulos, pero sus lados nunca pueden ser curvos.

Los segmentos son llamados lados del polígono, y los puntos donde los segmentos se intersectan se llaman vértices. El singular de la palabra "vértices" es "vértice".

La manera más fácil de identificar un polígono es viendo si es una figura cerrada sin lados curvos. Si existe alguna curvatura en la figura, no puede ser un polígono. Además, los puntos de un polígono deben pertenecer al mismo plano (de lo contrario, no sería bidimensional).

Ejemplo 1

¿Cuáles de las figuras presentadas a continuación son polígonos?

La manera más fácil de identificar un polígono es ubicando cuáles formas no lo son. Las figuras de los literales B y C tienen por lo menos un lado curvo, por lo que no pueden ser un polígono. El literal D tiene todos sus lados formados por líneas rectas, pero uno de sus vértices no es el extremo de los dos lados adyacentes, por lo que tampoco es un polígono. El literal A está compuesto completamente por segmentos de recta que se intersectan en sus extremos. A es, por lo tanto, un polígono. La respuesta correcta es A.

Ejemplo 2

¿Cuáles de las figuras presentadas a continuación no son polígonos?

Las cuatro figuras están compuestas por segmentos de línea, por lo que no puedes eliminar ninguna alternativa basado en este criterio únicamente. Fíjate que los literales A, B y D tienen todos sus puntos en el mismo plano. El literal C es una figura tridimensional y no se ubica en un solo plano y, por lo tanto, no es un polígono. La respuesta correcta es C.

Polígonos convexos y cóncavos

Ahora que ya sabes identificar polígonos, ya puedes comenzar a practicar clasificándolos. El primer tipo de clasificación es diciendo si un polígono es convexo o cóncavo. Piensa en el término cóncavo como en una cueva, cavidad o un espacio interior. Un polígono cóncavo tiene una sección que apunta hacia el interior de la figura. En cualquier polígono cóncavo hay por lo menos dos vértices de segmentos adyacentes que pueden conectarse con una línea sin que ésta pase por el interior de la figura. El polígono de la siguiente figura ilustra esta propiedad.

Un polígono convexo no comparte esta propiedad. Siempre que dos vértices se conecten con una línea, pasarán por el interior de la figura. Estos segmentos que conectan los vértices y pasan por el interior se llaman diagonales.

Ejemplo 3

Identifica cuáles de las siguientes figuras son convexas o cóncavas.

Para resolver este problema, conecta los vértices para ver si los segmentos pasan a través del interior o del exterior de la figura.

A. Los segmentos recorren el interior.

Entonces, el polígono es convexo.

B. Los segmentos pasan por el exterior.

Entonces, el polígono es cóncavo.

C. Uno de los segmentos pasa por el exterior.

Entonces, el polígono es cóncavo.

Clasificando polígonos

La manera más común de clasificar un polígono es según su número de lados. Independientemente de si el polígono es convexo o cóncavo, éste puede ser nombrado según su cantidad de lados. El prefijo de cada nombre indica el número de lados. La tabla que aparece a continuación muestra los nombres y ejemplos de polígonos.

Nombre del polígono Número de lados Dibujo de ejemplo
Triángulo 3
Cuadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octógono 8
Nonágono 9
Decágono 10
Endecágono 11
Dodecágono 12
n-gono n (where n>12)

Practica usar los nombres de los polígonos con su prefijo apropiado. Entre más practiques, más los recordarás.

Ejemplo 4

Nombra las siguientes tres figuras según la cantidad de lados.

A. Esta figura tiene siete lados. Es un heptágono.

B. Esta figura tiene cinco lados. Es un pentágono.

C. Esta figura tiene diez lados. Es un decágono.

Usando la fórmula de distancia en polígonos

Tú ya puedes usar la fórmula de distancia para encontrar las longitudes de los lados de los polígonos que estén en un plano cartesiano. Recuerda asignar cuidadosamente los valores a las variables para asegurarte de una respuesta correcta. Recuerda de álgebra que puedes encontrar la distancia entre los puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2) usando la siguiente fórmula:

\mbox{Distancia} = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}

Ejemplo 5

Ha sido dibujado un cuadrilátero en el siguiente plano cartesiano.

¿Cuál es la longitud del segmento BC?

Usa la fórmula de la distancia para resolver este problema. Los extremos de \overline{BC} son (-3,9) y (4,1). Sustituye -3 por x_1, 9 por y_1, 4 por x_2 y 1 por y_2. Entonces, tenemos:

D & = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\\D & = \sqrt{{(4 - (-3))}^2 + {(1 - 9)}^2}\\D & = \sqrt{(7)^2 + (-8)^2}\\D & = \sqrt{49 + 64}\\D & = \sqrt{113}

De aquí que la distancia entre los puntos B y C es \sqrt{113}, o aproximadamente 10.63\;\mathrm{unidades}.

Resumen de la lección

En esta lección examinamos los polígonos. Específicamente, aprendimos:

  • Cómo definir polígono.
  • Cómo entender la diferencia entre polígonos cóncavos y convexos.
  • Cómo clasificar polígonos según el número de sus lados.
  • Cómo usar la fórmula de la distancia para encontrar la longitud de un lado en un plano cartesiano.

Los polígonos son figuras geométricas importantes y hay muchos tipos de preguntas que los involucran. Los polígonos son importantes en aspectos de arquitectura y diseño, apareciendo constantemente en la naturaleza. Fíjate en los polígonos que ves en tu vida cotidiana cuando miras edificios, vegetales partidos o hasta libreras. Asegúrate de practicar la clasificación de los diferentes polígonos para que los puedas nombrar fácilmente.

Preguntas de repaso

Para los ejercicios del 1-5, nombra cada polígono lo más detalladamente posible.

  1. Explica por qué las siguientes figuras NO son polígonos:
  2. ¿Cuántas diagonales se pueden dibujar a partir de un mismo vértice de un pentágono? Dibuja un boceto de tu respuesta.
  3. ¿Cuántas diagonales se pueden dibujar a partir de un mismo vértice de un octógono? Dibuja un boceto de tu respuesta.
  4. ¿Cuántas diagonales se pueden dibujar a partir de un mismo vértice de un dodecágono? Dibuja un boceto de tu respuesta?
  5. Usa las respuestas que obtuviste de las preguntas 7, 8 y 9, y trata de hacer más ejemplos si es necesario para contestar la siguiente pregunta: ¿cuántas diagonales puedes dibujar a partir de un mismo vértice de un  n-gono?

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. Este es un pentágono convexo.
  2. Octógono cóncavo.
  3. 17-gono cóncavo (Fíjate que el número de lados es igual al número de vértices, así que es más fácil contar los puntos (vértices) en lugar de los lados).
  4. Decágono cóncavo.
  5. Cuadrilátero convexo.
  6. A no es un polígono porque no se juntan los lados en un vértice, B no es un polígono porque uno de sus lados es curvo, C no es un polígono porque no es cerrado.
  7. La respuesta es 2.
  8. La respuesta es 5.
  9. Un dodecágono tiene doce lados, así que puedes dibujar nueve diagonales a partir de un mismo vértice.
  10. Usa la siguiente tabla para responder a la pregunta 1.
  11. Lados Diagonales a partir de un mismo vértice
    3 0
    4 1
    5 2
    6 3
    7 4
    8 5
    9 6
    10 7
    11 8
    12 9
    \ldots \ldots
     n  n-3
  12. Para ver mejor el patrón a seguir, prueba agregar una columna de "proceso" en la que pongas una operación que dé como resultado el número de la columna de la derecha a operarlo con el de la izquierda.
  13. Lados Proceso Diagonales a partir de un vértice
    3 (3) - 3 = 0 0
    4 (4) - 3 = 1 1
    5 (5) - 3 = 2 2
    6 (6) - 3 = 3 3
    7 (7) - 3 = 4 4
    8 (8) - 3 = 5 5
    \ldots \ldots
     n  (n) - 3 =  n - 3
  14. Fíjate que cuando restamos
  15. 3
  16. de cada número de la columna izquierda, obtenemos el número de la columna derecha. Así, si el número de la izquierda es
  17.  n
  18. (entendiendo "n" como cualquier número desconocido), entonces el número de la columna derecha es
  19.  n - 3
  20. .

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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