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10.1: Triángulos y Paralelogramos

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Objetivos de aprendizaje

  • Entender conceptos básicos del significado de áreas.
  • Usar fórmulas para encontrar el área de tipos específicos de polígonos.

Introducción

La medición no es un tema nuevo. Tú has estado midiendo cosas cercanas toda tu vida. Algunas veces tú usas unidades estándar (libra, centímetro), algunas veces unidades no estándar (tu paso o envergadura de tu brazo). El espacio es medido de acuerdo a su dimensión.

  • Espacio en una dimensión: medir la longitud de un segmento en una línea.
  • Espacio en dos dimensiones: medir el área que una figura ocupa en un plano (superficie plana).
  • Espacio en tres dimensiones: medir el volumen que un objeto sólido ocupa en el “espacio.”

En esta lección, nos enfocaremos en ideas básicas sobre áreas en espacios en dos dimensiones. Una vez que estas ideas básicas son establecidas observaremos las fórmulas de las áreas para algunas de las figuras más familiares en dos dimensiones.

Ideas básicas de área

El área de Medición es justamente como medir cualquier cosa; antes que podamos hacerlo, necesitamos establecer las unidades estándar. La gente necesita decir, “Estas son las unidades básicas de área.” Esto es una cuestión de historia. Vamos a recrear algunos de los pensamientos que entraron en las decisiones sobre unidades de área estándar.

Ejemplo 1

Cuál es el área del rectángulo de abajo?

Qué deberíamos usar para una unidad de área básica?

Como una posibilidad, supongamos que decidimos usar el espacio dentro de este círculo como la unidad de área.

Para encontrar el área, tú necesitas contar cuantos de estos círculos caben en el rectángulo, incluyendo partes de círculos.

Tú puedes ver que el espacio del rectángulo está ocupado por 8 círculos enteros. Determinar las fracciones de círculos que cubrirían los espacios en blanco restantes dentro del rectángulo no sería un trabajo fácil! Y esto es solamente para un simple rectángulo. El reto es aún más difícil para figuras más complejas.

En vez de llenar espacios con círculos, las personas hace mucho tiempo se dieron cuenta que es mucho más simple usar una figura cuadrada como una unidad de área. Los cuadrados encajan juntos muy bien y llenan espacios sin brechas . El cuadrado de abajo mide 1 \;\mathrm{pie} en cada lado, y es llamado 1 \;\mathrm{pie} \  {cuadrado}.

Ahora es un trabajo fácil encontrar el área de nuestro rectángulo.

El área es 8 \;\mathrm{pies \ cuadrados}, porque 8 es el número de unidades de área (pies cuadrados) que llenarán exactamente, o cubrirán el rectángulo.

El principio que usamos en el Ejemplo 1 es más general.

El área de una figura en dos dimensiones es el número de unidades cuadradas que llenarán, o cubrirán la figura.

Postulados de dos areas

Areas Congruentes

Si dos figuras son congruentes, ellas tienen la misma área.

Esto es obvio porque figuras congruentes tienen la misma cantidad de espacio dentro de ellas. De cualquier forma, dos figuras con la misma área no son necesariamente congruentes.

El área de un Todo es la Suma de las Partes

Si una figura está compuesta de dos o más partes que no se traslapan entre sí , entonces el área de la figura es la suma de las áreas de las partes .

Esta es la idea familiar que un todo es la suma de sus partes. En problemas prácticos tú podrías encontrar útil romper una figura en partes .

Ejemplo 2

Encontrar el área de la figura de abajo.

Afortunadamente, no tienes que aprender una fórmula especial para un pentágono irregular, lo que es esta figura. En cambio, tú puedes romper la figura en un trapezoide y un triángulo, y usar las fórmulas de área para esas figuras.

Fórmulas básicas de área

Observa de nuevo el Ejemplo 1 y la forma en que fue llenado con unidades de área cuadradas.

Nota que las dimensiones son:

base (o longitud) 4 \;\mathrm{pies}

altura (o ancho) 2 \;\mathrm{pies}

Pero nota, también, que la base es el número de pies en una fila de unidades cuadradas, y la altura es es número de filas. Un principio de cálculo nos dice que el número total de pies cuadrados es el número en una fila multiplicado por el número de filas.

\text{Area} = 8 = 4 \times 2 = \text{base} \times \text{altura}

Area de un Rectángulo

Si un rectángulo tiene una base con b unidades y una altura con h unidades, el área , A, es bh unidades cuadradas.

A = bh

Ejemplo 3

Cuál es el área de la figura mostrada abajo?

Rompe la figura en dos rectángulos.

\text{Area} = 22 \times 45 + 8 \times 20 = 990 + 160 = 1150 \;\text{cm}^2

Ahora podemos construir en la fórmula del rectángulo para encontrar áreas de otras figuras.

Paralelogramo

Ejemplo 4

Cómo podríamos encontrar el área de este paralelogramo?

Hazlo un rectángulo

El rectángulo está hecho de las mismas partes que el paralelogramo, entonces sus áreas son las mismas. El área del rectángulo es bh, entonces el área del paralelogramo es también bh.

Advertencia: Nota que la altura h del paralelogramo es la distancia perpendicular entre dos lados paralelos del paralelogramo , no un lado del paralelogramo (a menos que el paralelogramo sea también un rectángulo por supuesto).

Area de un Paralelogramo

Si un paralelogramo tiene una base de b unidades y una altura de h unidades, entonces el área, A, es bh unidades cuadradas.

A = bh

Triángulo

Ejemplo 5

Como podríamos encontrar el área de este triángulo?

Hazlo un paralelogramo. Esto puede ser hecho elaborando una copia del triángulo original y colocándola junto al original .

El área del paralelogramo es bh, entonces el área del triángulo es \frac{bh}{2} o \frac{1}{2}bh.

Advertencia: Nota que la altura h (también llamada con frecuencia la altitud) del triángulo es la distancia perpendicular entre un vértice y el lado opuesto del triángulo.

Area de un Triángulo

Si un triángulo tiene una base con b unidades y una altitud con h unidades, entonces el área, A, es \frac{bh}{2} o \frac{1}{2} bh unidades cuadradas.

A = \frac{bh}{2} o A = \frac{1}{2} bh

Resumen de la lección

Una vez que entendimos el significado de las medidas del espacio en dos dimensiones— en otras palabras, el área— observamos la ventaja de usar unidades cuadradas. Con las unidades cuadradas establecidas, la fórmula para el área de un rectángulo es simplemente una cuestión de sentido común. A partir de ese punto en adelante, la fórmula para el área de cada nueva figura se construye en la figura previa. Para un paralelogramo, convertirlo en un rectángulo. Para un triángulo, doblarlo para hacerlo un paralelogramo.

Puntos a considerar

A medida que estudiamos otras figuras, frecuentemente retornamos a las bases de esta lección— el beneficio de las unidades cuadradas, y la fórmula fundamental para el área de un rectángulo.

Podría ser interesante notar que la palabra geometría se deriva de las raíces del Griego antiguo que significan Tierra (geo-) medida (-metría). En tiempos antiguos la geometria era muy similar a lo que hoy es la topografía de la tierra. Tu puedes ver que la topografía se hizo fácil posiblemente una vez que se desarrollo el conocimiento de cómo encontrar el área de figuras planas.

Ejercicios de repaso

Completar el Cuadro. Base y Altura son dados en unidades; el área está en unidades cuadradas.

  1. Base Altura 'Area
    1a. 5 8 ?
    1b. 10 ? 40
    1c. 1 1 ?
    1d. 7 ? 49
    1e. 225 \frac{1}{3} ?
    1f. 100 ? 1
  2. La alfombra para una habitación de 12 \mathrm{pies} por 20 \mathrm{pies} cuesta \$360. El mismo tipo de alfombra cuesta \$225 para una habitación con un piso cuadrado. Cuáles son las dimensiones de la habitación?
  3. Explica como una altitud de un triángulo puede estar fuera del triángulo.
  4. La línea k y la línea m son paralelas. Explica cómo tú sabes que \triangle ABX , \triangle ABY, y \triangle ABZ tienen todos la misma área.
  5. Lin compró un tramo de tierra para un nuevo complejo de apartamentos. El dibujo a continuación muestra las medidas de los lados del tramo. Aproximadamente cuántos acres de tierra compró Lin? (1\;\mathrm{acre} \approx 40,000\;\mathrm{pies\ cuadrados}.)
  6. Un hexágono está dibujado en una cuadrícula de coordenadas. Los vértices del hexágono son A(1, 4), B(3, 7), C(8, 7), D(6, 4), E(6, -4), y F(1, -8). Cuál es el área de ABDCEF?

Ejercicios de repaso

  1. 1a. 40 1b. 4 1c. 1 1d. 7 1e. 75 1f. 0.01
  2. 15 \;\mathrm{pies} por 15 \;\mathrm{pies}
  3. Esto sucede en un triángulo con un ángulo obtuso. Cada altitud hacia un lado del ángulo obtuso está fuera del triángulo.
  4. Todos los triángulos tienen la misma base y altitud, así que en cada triángulo \frac{bh}{2} es la misma como en cada uno de los otros triángulos.
  5. 160,000  + 420,000 + 280,000 = 860,000\;\mathrm{pies \ cuadrados} \approx 21.5\;\mathrm{acres}
  6. 65

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