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Objetivos de aprendizaje

  • Usar redes para representar prismas.
  • Encontrar el área de la superficie de un prisma.
  • Encontrar el volúmen de un prisma.

Introducción

Un prisma es una figura tridimensional con un par de extremos paralelos y congruentes, o bases. Los lados de un prisma son paralelogramos. Los prismas son identificados por sus bases.

Area de superficie de un prisma usando redes

Los prismas de arriba son prismas rectos. En un prisma recto, los lados laterales son perpendiculares a las bases del prisma. Comparar un prisma recto con un prisma oblicuo, en el cual los lados y bases no son perpendiculares .

Dos postulados que aplican al área son el Postulado de Congruencia de Areas y el Postulado de Adición de Areas.

Postulado de Congruencia de Areas :

Si dos polígonos (o figuras planas ) son congruentes, entonces sus áreas son congruentes.

Postulado de Adición de Areas:

El área de la superficie de una figura tridimensional es la suma de las áreas de todas sus partes que no se superponen .

Tú puedes usar una red y el Postulado de Adición de Areas para encontrar el área de la superficie de un prisma recto.

Desde la red, puedes ver que el área de la superficie de todo el prisma es igual a la suma de las figuras que componen la red:

\text{Area total de la superficie} = \text{\'{a}rea} \ A + \text{\'{a}rea} \ B + \text{\'{a}rea} \ C + \text{\'{a}rea} \ D + \text{\'{a}rea} \ E + \text{\'{a}rea} \ F

Usando la fórmula para el área de un rectángulo, puedes ver que el área de un rectángulo A es:

A & = l \cdot w\\A & = 10 \cdot 5 = 50 \ \text{unidades cuadradas}

Del mismo modo, las áreas de los otros rectángulos son insertadas de nuevo en la ecuación de arriba .

\text{Area total de la superficie} & = \text{\'{a}rea} \ A + \text{\'{a}rea} \ B + \text{\'{a}rea} \ C + \text{\'{a}rea} \ D + \text{\'{a}rea} \ E + \text{\'{a}rea} \ F\\ \text{Area total de la superficie} & = (10 \cdot 5) + (10 \cdot 3) + (10 \cdot 5) + (10 \cdot 3) + (5 \cdot 3) + (5 \cdot 3)\\\text{Area total de la superficie} & = 50 + 30 + 50 + 30 + 15 + 15\\\text{Area total de la superficie} & = 190 \ \text{unidades cuadradas}

Ejemplo 9

Usar una red para encontrar el área de la superficie de un prisma.

El área de la red es igual al área de la superficie de la figura. Para encontrar el área del triángulo, usamos la fórmula:

A = 1/2 \;\mathrm{hb} donde h es la altura del triángulo y b es su base.

Nota que los triángulos A y E son congruentes entonces podemos multiplicar el área del triángulo A por 2.

\text{\'{a}rea} &= \text{\'{a}rea }A +\text{\'{a}rea }B+\text{\'{a}rea }C+\text{\'{a}rea }D+\text{\'{a}rea }E \\&=2(\text{\'{a}rea }A) + \text{\'{a}rea }B+\text{\'{a}rea }C+\text{\'{a}rea }D \\&=2\left [\frac{1}{2}(9 \cdot 12)\right ]+(6 \cdot 9) +(6 \cdot 12) + (6 \cdot 15) \\&= 108 + 54 + 72 + 90 \\&= 324

Así, el área de la superficie es 324 \;\mathrm{unidades\ cuadradas} .

Area de la superficie de un prisma usando un perímetro

Este prisma hexagonal tiene dos hexágonos regulares por bases y seis lados. Ya que todos los lados del hexágono son congruentes, todos los rectángulos que forman los lados de la figura tridimensional también son congruentes. Puedes descomponer la figura así:

El área de la superficie de los lados rectangulares de la figura es llamada el área lateral de la figura. Para encontrar el área lateral, tú podrías sumar todas las áreas de los rectángulos.

\text{\'{a}rea lateral} &= 6 \ \text{(\'{a}rea de un rect\'{a}ngulo)} \\&=6 \ (s \cdot h) \\&= 6sh

Nota que 6s es el perímetro de la base. Entonces otra forma de encontrar el área lateral de la figura es multiplicar el perímetro de la base por h, la altura de la figura.

\text{\'{a}rea lateral } &= 6sh \\&=(6s )\cdot h \\&= (\text{per\'{i}metro})h \\&= Ph

Sustituyendo P, el perímetro, por 6s, obtenemos la fórmula para cualquier área lateral de un prisma recto:

\text{\'{a}rea lateral de un prisma} = Ph

Ahora podemos usar la fórmula para calcular el área total de la superficie del prisma. Usando P para el perímetro y B para el área de una base:

\text{\'{a}rea  total  de la superficie} & = \text{\'{a}rea lateral} + \text{\'{a}rea de 2 bases}\\& = \text{(per\'{i}metro de la base} \cdot \text{altura)} + 2 \ \text{(\'{a}rea de la base)}\\& = \text{Ph} + 2 \ B

Para encontrar el área de la superficie de la figura de arriba, primero encontrar el área de las bases. El hexágono regular está formado por seis pequeños triángulos congruentes. La altitud de cada triángulo es el apotema del polígono. Nota: se cuidadoso aquí —estamos hablando de la altitud de los triángulos, no la altura del prisma. Encontramos la longitud de la altitud del triángulo usando el Teorema de Pitágoras, a = \sqrt{4^{2}-2^{2}} \approx 3.46

Entonces el área de cada pequeño triángulo es:

A \ \text{(tri\'{a}ngulo)} &= \frac{1}{2} ab\\&= \frac{1}{2} (3.46)(4)\\&= 6.92

El área del hexágono completo es por lo tanto:

A \ \text{(base)} &= 6 \ \text{(\'{a}rea del tri\'{a}ngulo)}\\&= 6 \cdot 6.92\\&= 41.52

Tú también puedes usar la fórmula para el área de un polígono regular para encontrar el área de cada base:

A \ \text{(pol\'{i}gono)} &= \frac{1}{2} aP\\&= \frac{1}{2} (3.46)(24)\\&= 41.52

Ahora sólo sustituye valores para encontrar el área de la superficie de la figura completa de arriba.

\text{(\'{a}rea total de la superficie)} &= Ph + 2B\\&= [(6 \cdot 4) \cdot 10] + 2 (41.52)\\&= (24 \cdot 10) + 83.04\\&= 240 + 83.04\\&= 323.04 \ \text{unidades cuadradas}

Puedes usar la fórmula A = Ph + 2B para encontrar el área de la superficie de cualquier prisma recto.

Ejemplo 10

Usar la fórmula para encontrar el área total de la superficie del prisma trapezoidal.

Las dimensiones del la base trapezoidal son mostradas. Establecer la fórmula. Llamaremos a la altura de todo el prisma H para evitar confusión con h, la altura de cada base trapezoidal.

\text{Area total de la superficie} = PH + 2B

Ahora encuentra el área de cada base trapezoidal. Tú puedes hacer esto usando la fórmula para el área de un trapezoide. (Nota que la altura del trapezoide, 2.46 es pequeña h.)

A &= \frac{1}{2} h(b_1 + b_2)\\&= \frac{1}{2} (2.64)[10 + 4]\\&= 18.48 \ \text{unidades cuadradas}

Ahora encuentra el perímetro de la base.

P &= 10 + 4 + 4 + 4\\  &= 22

Ahora encuentra el área total de la superficie del sólido.

\text{(\'{a}rea total de la superficie)} &= Ph + 2B\\&= (22)(21) + 2(18.48)\\&= 462 + 36.96\\&= 498.96 \ \text{unidades cuadradas}

Volumen de un prisma rectangular

El Volumen es una medida de cuanto espacio ocupa una figura tridimensional. En el lenguaje diario, el volumen te dice cuanto puede contener una figura tridimensional. La unidad de volumen básica es la unidad cúbica —centímetro cúbico, pulgada cúbica, metro cúbico, pie cúbico, etc. Cada unidad cúbica básica tiene una medida de 1 para su longitud, ancho, y altura.

Dos postulados que aplican al volúmen son el Postulado de congruencia de volumen y Postulado de Adición de Volumen.

Postulado de congruencia de volumen

Si dos poliedros (o sólidos) son congruentes, entonces sus volúmenes son congruentes.

Postulado de Adición de Volumen

El volumen de un sólido es la suma de los volúmenes de todas sus partes que no se superponen.

Un prisma rectangular recto es un prisma con bases rectangulares y el ángulo entre cada base y su lado rectangular también es un ángulo recto. Tú puedes reconocer un prisma rectangular recto por su forma de “caja”.

Tú puedes usar el Postulado de Adición de Volumen para encontrar el volumen de un prisma rectangular recto contando cajas. La caja de abajo mide 2\;\mathrm{unidades} en altura , 4\;\mathrm{unidades} en ancho, y 3\;\mathrm{unidades} en profundidad. Cada capa tiene 2 \times 4 \;\mathrm{cubos} o 8\;\mathrm{cubos}.

Juntos, tú obtienes tres grupos de 2\cdot4 entonces el volumen total es:

V &= 2 \cdot 4 \cdot 3\\&= 24

El volumen es 24 \;\text{unidades \ c\'{u}bicas}.

Este mismo patrón se mantiene para cualquier prisma rectangular recto. El volumen está dado por la fórmula:

\text{Volumen} = l \cdot w \cdot h

Ejemplo 11

Encontrar el volumen de esta caja.

Usar la fórmula para volumen de un prisma rectangular recto.

V &= l \cdot w \cdot h \\V &= 8 \cdot 10 \cdot 7  \\V &=560

Entonces el volumen de este prisma rectangular recto es 560\;\text{unidades\ c\'{u}bicas}.

Volumen de un prisma recto

Observando al volumen de prismas rectos con la misma altura y diferentes bases, puedes observar un patrón. El área calculada de cada base es dada abajo. La altura de los tres sólidos es la misma, 10.

Colocando los datos para cada sólido en una tabla, obtenemos:

Sólido Altura Area de base Volumen
Caja 10 300 3000
Trapezoide 10 140 1400
Triángulo 10 170 1700

La relación en cada caso es clara. Esta relación puede ser probada para establecer la fórmula siguiente para cualquier prisma recto:

Volumen de un prisma recto

El volumen de un prisma recto es V = Bh.

donde B es el área de la base de la figura tridimensional, y h es la altura del prisma (también llamada altitud).

Ejemplo 12

Encontrar el volumen del prisma con una base en forma de triángulo equilátero y con las dimensiones mostradas en centímetros.

Para encontrar el volumen, primero encontrar el área de la base. Está dada por:

A = \frac{1}{2} bh

La altura (altitud) del triángulo es 10.38 \;\mathrm{cm}. Cada lado del triángulo mide 12 \;\mathrm{cm}. Entonces el triángulo tiene la siguiente área.

A &= \frac{1}{2} bh \\&= \frac{1}{2} (10.38)(12) \\&= 62.28

Ahora usa la fórmula para el volumen del prisma, V=Bh, donde B es el área de la base (i.e., el área del triángulo) y h es la altura del prisma. Recuerda que la "altura" del prisma es la distancia entre las bases, entonces en este caso la altura del prisma es 15 \;\mathrm{cm}. Tú puedes imaginar que el prisma is lying on its side.

V &= Bh \\&= (62.28)(15) \\&= 934.2

Así que, el volumen del prisma es 934.2 \;\mathrm{cm}^3.

Ejemplo 13

Encontrar el volumen del prisma de base hexagonal regular y 9-\mathrm{pulgadas} de lado.

Tú no sabes el apotema de la base de la figura. De cualquier forma, tú sabes que un hexágono regular está dividido en seis triángulos equiláteros congruentes.

Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el apotema. El triángulo recto mide 9 por 4.5 por a, el apotema.

9^2 &= 4.5^2 + n^2\\81 &= 20.25 + n^2\\60.75 &= n^2\\7.785 &= n

A &= \frac{1}{2} \text{(apotema)}\ \text{(per\'{i}metro)}\\&= \frac{1}{2} (7.785)(6 \cdot 9) \\&= 210.195 \ \text{pulgada cuadrada}

Así que el volumen de este prisma está dado por :

V &=  Bh \\&= 210.195 \cdot 24 \\&= 5044.7 \ \text{pie c\'{u}bico}

Ejercicios de repaso

Para cada una de las siguientes figuras encontrar el área de la superficie usando

a. el método de red y

b. el perímetro.

  1. La base de un prisma es un triángulo rectángulo cuyos lados son 3 y 4 y la altura mostrada es 20. Cuál es el área total del prisma?
  2. Un prisma hexagonal recto tiene 24\;\mathrm{pulgadas} de alto y tiene bases que son hexágonos regulares que miden 8\;\mathrm{pulgadas} en un lado. Cual es el área total de superficie?
  3. Cual es el volumen del prisma en el problema #4?

Para los problemas 6 y 7:

Un establo tiene la forma de un prisma pentagonal con las dimensiones en pies mostradas:

  1. Cuantos pies cuadrados (excluyendo el techo) hay en la superficie del establo que serán pintados?
  2. Si un galón de pintura cubre 250\;\mathrm{pies\ cuadrados } , cuantos galones de pintura se necesitan para pintar el establo?
  3. Una caja de cartón es un cubo perfecto con un borde que mide 17\;\mathrm{pulgadas}. Cuantos pies cúbicos puede contener?
  4. Una piscina tiene 16\;\mathrm{pies} de ancho, 32\;\mathrm{pies} de largo y tiene uniformemente 4\;\mathrm{pies} de profundidad. Cuantos pies cúbicos de agua puede contener?
  5. Una caja de cereal tiene una longitud 25 \;\mathrm{cm}, ancho 9 \;\mathrm{cm} y altura 30 \;\mathrm{cm}. Cuanto cereal puede contener?

Respuesta

  1.  40.5 \;\mathrm{pulg}^2
  2. 838 \;\mathrm{cm}^2
  3. 252\;\mathrm{unidades\ cuadradas}
  4. 1484.6\;\mathrm{unidades\ cuadradas}
  5. 7981.3\;\text{unidades\ c\'{u}bicas}
  6. 2450\;\mathrm{pies\ cuadrados}
  7. 10\;\mathrm{galones} de pintura
  8. 2.85\;\text{pies\ c\'{u}bicos} (se cuidadoso aquí. Las unidades en el problema son dadas en pulgadas pero la pregunta es en pies.)
  9. 2048\;\text{pies\ c\'{u}bicos}
  10. 6750 \;\mathrm{cm}^3

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