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Objetivos de aprendizaje

  • Encontrar el área de superficie de los cilindros.
  • Encontrar el volumen de los cilindros.
  • Encontrar el volumen de figuras tridimensionales compuestas.

Introducción

Un cilindro es una figura tridimensional con un par de terminaciones circulares congruentes paralelas, o bases. Un cilindro tiene un lado curvo que forma un rectángulo cuando se presenta acostado.

Como con los prismas, los cilindros pueden ser rectos u oblicuos. El lado de un cilindro recto es perpendicular a sus bases circulares. El lado de un cilindro oblicuo no es perpendicular a sus bases.

Area de Superficie de un Cilindro usando Redes

Tú puedes deconstruir un cilindro en una red.

El área de cada base está dada por el área de un círculo:

A &= \pi r^2 \\&=\pi (5)^2 \\&=25 \pi \\&\approx (25)(3.14) = 78.5

El área de un área lateral rectangular L está dada por el producto de un ancho y alto. La altura está dada como 24. Tú puedes ver que el ancho del área es igual a la circunferencia de la base circular.

Para encontrar el ancho, imagina recortar con tijeras una lata en forma de cilindro. Cuando cortas el área lateral, tu ves que es igual a la circunferencia de la parte superior de la lata. La circunferencia de un círculo está dado por C = 2 \pi r,

el área lateral, L, es

L &= 2 \pi r h \\&=2 \pi (5) (24)\\&=240 \pi \\&\approx (240)(3.14) = 753.6

Ahora podemos encontrar el área del cilindro completo usando A =\text{(\'{a}rea de dos bases)} + \text{(\'{a}rea del lado)}.

A &= 2 (75.36) + 753.6\\&= 904.32

Tú puedes ver que la fórmula que usamos para encontrar el área total de la superficie puede ser usada para cualquier cilindro recto.

Area de un Cilindro Recto

El área de la superficie de un cilindro recto, con radio r y altura h está dado por A=2 B +L, donde B es el área de cada base del cilindro y L es el área lateral del cilindro.

Ejemplo 1

Usar una red para encontrar el área de la superficie del cilindro.

Primero dibujar y etiquetar una red para la figura.

Calcular el área de cada base.

A &= \pi r^2 \\&=\pi (8)^2 \\&=64 \pi \\&\approx (64)(3.14) = 200.96

Calcular L.

L &= 2 \pi r h \\&=2 \pi (8) (9)\\&=144 \pi \\&\approx (240)(3.14) = 452.16

Encontrar el área de todo el círculo .

A &= 2 (200.96) + 452.16\\&= 854.08

Así que, el área total de la superficie es aproximadamente 854.08\;\mathrm{unidades \ cuadradas}

Area de Superficie de un Cilindro Usando una Fórmula

Tú has visto como usar redes para encontrar el área total de la superficie de un cilindro. El postulado puede ser roto para crear una fórmula general para todos los cilindros rectos.

A = 2B + L

Nota que la base, B, de cualquier circulo es:

B= \pi r^2

El área lateral, L, para cualquier cilindro es:

L &= \text{ancho del area lateral}\cdot \text{altura del cilindro}\\  &= \text{circunferencia de la base}\cdot \text{altura del cilindro}\\ &= 2\pi r \cdot h

Colocando las dos ecuaciones juntas obtenemos:

A &= 2B + L\\         &= 2(\pi r^2) + 2 \pi r \cdot h

factorización de 2\pi r a partir de la ecuación da como resultado:

A = 2\pi r(r + h)

El Area de Superficie de un Cilindro Recto

Un cilindro recto con radio r y altura h puede ser expresado como:

A=2 \pi r^2 + 2\pi r h

o:

A = 2 \pi r(r+h)

Tú puedes usar las fórmulas para encontrar el área de cualquier cilindro.

Ejemplo 2

Usar la fórmula para encontrar el área de la superficie del cilindro.

Escribir la fórmula y sustituir en los valores y resolver.

A &= 2(\pi r^2) + 2 \pi r h\\ &= 2(3.14)(15)(15) + 2(3.14)(15)(48)\\ &= 1413 + 4521.6\\&= 5934.6 \ \text{pulgadas cuadradas}

Ejemplo 3

Encontrar el área de la superficie del cilindro.

Escribir la fórmula y sustituir en los valores y resolver.

A &= 2 \pi r(r+h)\\   &= 2(3.14)(0.75)[0.75 + 6]\\   &= 31.7925 \ \text{pulgadas cuadradas}

Ejemplo 4

Encontrar la altura de un cilindro que tiene radio 4 \;\mathrm{cm} y área de superficie def 226.08 \;\text{cent\'{i}metros \ cuadrados}.

Escribir la fórmula con la información dada y resolver para h.

A &= 2 \pi r(r+h)\\ 226.08  &= 2(3.14)(4)[4 + h]\\ 226.08  &= 25.12 [4 + h]\\ 226.08  &= 100.48 + 25.12h\\5       &= h

Volumen de un cilindro recto

Tú has visto como encontrar el volumen de cualquier prisma recto.

V = Bh

Donde B es el área de la base del prisma y h es la altura del prisma.

Como podrías adivinar, prismas rectos y cilindros rectos son muy similares con respecto al volumen. En un sentido, un cilindro es solo un “prisma con bases redondas .” Una forma para desarrollar una fórmula para el volumen de un cilindro es compararlo a un prisma. Vamos a suponer que tu has dividido el prisma de arriba en rebanadas que tenían 1\;\mathrm{unidad} de espesor.

El volumen de cada rebanada individual estaría dada por el producto del área de la base y la altura. Ya que la altura para cada rebanada es 1, el volumen de una sola rebanada sería:

V \ \text{(rebanada individual)} &= \text{\'{a}rea de la base}\cdot \text{altura}\\         &= B \cdot 1\\         &= B

Ahora sigue que el volumen de todo el prisma es igual al área de la base multiplicada por el número de rebanadas. Si hay h rebanadas, entonces:

V \ \text{(todo el prisma)} &= B \cdot \text{n\'{u}mero de rebanadas}\\         &= B h

Por supuesto, tú ya sabes esta fórmula de prismas. Pero ahora tú puedes usar la misma idea para obtener una fórmula para el volumen de un cilindro.

Ya que la altura de cada rebanada del cilindro es 1, cada rebanada tiene un volumen de B \cdot (1), o B. Ya que la base tiene un área de \pi r^2, cada rebanada tiene un volumen de \pi r^2 y:

V \ \text{(todo el cilindro)} &= B\cdot \text{n\'{u}mero de rebanadas}\\         &= B h\\        &= \pi r^2 h

Esto conduce a un postulado para el volumen de cualquier cilindro recto.

Volumen de un Cilindro Recto

El volumen de un cilindro recto con radio r y altura h puede ser expresado como:

\text{Volumen}=\pi r^2 h

Ejemplo 5

Usar el postulado para encontrar el volumen del cilindro.

Escribe la fórmula desde el postulado. Luego sustituye en los valores y resuelve.

V  &= \pi r^2 h\\    &= (3.14)(6.5)(6.5) (14)\\   &= 1857.31 \ \text{pulgadas c\'{u}bicas}

Ejemplo 6

Cual es el radio del cilindro con altura 10 \;\mathrm{cm} y un volumen de 250\pi?

Escribir la fórmula. Resolver para r.

V  &= \pi r^2 h\\ 250\pi   &= \pi r^2 (10)\\250\pi / 10\pi   &= r^2\\25 &= r^2\\5 &= r

Sólidos Compuestos

Vamos a suponer que este tubo está hecho de metal. Cómo puedes encontrar el volumen del metal del que está hecho el tubo?

El proceso básico toma tres pasos.

Paso 1: Encontrar el volumen de todo el cilindro como si no tuviera un agujero.

Paso 2: Encontrar el volumen del agujero.

Step 3: Sustraer el volumen del agujero desde el volumen del cilindro completo.

Aquí están los pasos llevados a cabo. Primero usa la fórmula para encontrar el volumen del cilindro completo. Ya que d, el diámetro del tubo, es 6 \;\mathrm{cm}, el radio es la mitad del diámetro, o 3 \;\mathrm{cm}.

V  &= \pi r^2 h\\    &= (3.14)(3)(3) (5)\\   &= 141.3 \ \text{pulgadas c\'{u}bicas}

Ahora encuentra el volumen del “agujero” interior en el tubo. Ya que el tubo tiene 1\;\mathrm{pulgadas} de espesor, el diámetro del agujero es 2\;\mathrm{pulgadas} menos que el diámetro de la parte exterior del tubo.

d \ \text{(tubo interior)} &=  d \ \text{(tubo exterior )} - 2\\    &= 6 - 2\\   &= 4

El radio del agujero es la mitad de 4 o 2.

V  &= \pi r^2 h\\    &= (3.14)(2)(2) (5)\\   &= 62.8 \ \text{pulgadas c\'{u}bicas}

Ahora sustrae el agujero de todo el cilindro.

V \text{(tubo)} &= V \ \text{(cilindro)} - V \ \text{(agujero)}\\    &= 141.3 - 62.8\\   &= 78.5 \ \text{pulgadas c\'{u}bicas}

Ejemplo 7

Encontrar el volumen del solido de este bloque de hormigón. Sus bordes tienen 3 \;\mathrm{cm} de grosor alrededor. Los dos agujeros cuadrados son idénticos en tamaño.

Encontrar el volumen de la figura de todo el bloque sólido. Sustrae el volumen de los dos agujeros.

Para encontrar el volumen de la figura tridimensional:

V &= l \cdot w \cdot h\\  &= 21 \cdot 21 \cdot 26\\  &= 11,466 \ \text{cm c\'{u}bicos}

Ahora encontrar la longitud de los lados de los dos agujeros. El ancho de todo el bloque es 21 \;\mathrm{cm}. Esto es igual a:

\text{ancho del bloque} &= \text{3 bordes} + \text{2 agujeros}\\21                    &= 3 (3 \ \text{cm}) + 2n\\21                    &= 9 + 2n\\12                    &= 2n\\6                     &= n

Entonces los lados de los agujeros cuadrados son 6 \;\mathrm{cm} por 6 \;\mathrm{cm}.

Ahora el volumen de cada agujero cuadrado es:

V &= l \cdot w \cdot h\\  &= 6 \cdot 6 \cdot 26\\  &= 936 \ \text{cm c\'{u}bico}

Finalmente, sustrayendo el volumen de los dos agujeros desde el volumen de todo el ladrillo.

V \text{(bloque)} &= V \text{(s\'{o}lido)} - V \text{(agujeros)}\\                 &= 11,466 - 2(936)\\                 &= 9,594 \ \text{ cm c\'{u}bicos}

Ejercicios de Repaso

Completar las siguientes oraciones. Ellas se refieren a la figura de arriba.

  1. La figura de arriba es un _________________________
  2. La forma de la cara lateral de la figura es _____________________________
  3. La forma de la base es _____________________________
  4. El segmento LV es el ___________________________
  5. Dibujar la red para este cilindro y usar la red para encontrar el área de la superficie del cilindro.
  6. Usar la fórmula para encontrar el volumen de este cilindro.
  7. La taza favorita de Matthew es un cilindro que tiene una área en la base de 9\;\mathrm{pulgadas\ cuadradas} y una altura de 5\;\mathrm{pulgadas}. Cuanto café puede colocar en su taza?
  8. Dados los siguientes dos cilindros , cual de los siguientes enunciados es verdadero:
    1. \;\mathrm{Volumen\ de} \ A < \;\mathrm{Volumen\ de} \ B
    2. \;\mathrm{Volumen\ de}  \ A > \;\mathrm{Volumen\ de} \ B
    3. \;\mathrm{Volumen\ de}  \ A = \;\mathrm{Volumen\ de} \ B
  9. Vamos a suponer que tú trabajas para una compañía que hace tanques cilíndricos para agua. Un cliente quiere un tanque que mida 9\;\mathrm{metros} en altura y 2\;\mathrm{metros} en diámetro. Cuánto metal deberías ordenar para hacer este tanque?
  10. si el radio de un cilindro se duplica, que efecto tiene esto en el volumen del cilindro? Explica tu respuesta.

Respuestas

  1. Cilindro
  2. Rectángulo
  3. Círculo
  4. Altura
  5. \;\text{Area de la superficie} = 266 \pi \;\mathrm{pulg}^2
  6. 250 \pi \;\mathrm{cm}^2
  7. \;\mathrm{Volumen} = 45 \;\mathrm{in}^3
  8. \;\mathrm{Volumen\ de} \ A < \;\mathrm{volumen\ de} \ B
  9. 18 \pi \;\mathrm{m}^2
  10. El volumen será cuadruplicado

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Feb 23, 2012

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Apr 29, 2014
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