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Objetivos de Aprendizaje

  • Identificar pirámides.
  • Encontrar el área de la superficie de una pirámide usando una red o una fórmula.
  • encontrar el volumen de una pirámide.

Introducción

Una pirámide es una figura tridimensional con una sola base y tres o más lados que no son paralelos que se reúnen en un solo punto sobre la base. Los lados de una pirámide son triángulos .

Una pirámide regular es una pirámide que tiene un polígono regular por base y cuyos lados son todos triángulos congruentes.

Area de la Superficie de una Pirámide Usando Redes

Tú puedes deconstruir una pirámide en una red.

Para encontrar el área de la superficie de una figura usando la red, primero encuentra el área de la base :

A &= s^2\\   &= (12)(12)\\   &= 144 \ \text{unidades\ cuadradas}

Ahora encuentra el área de cada triángulo Isósceles. Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la altura de los triángulos. Esta altura de cada triángulo es llamada la altura inclinada de la pirámide. La altura inclinada de la pirámide es la altitud de uno de los triángulos. Nota que la altura inclinada es más larga que la altitud del triángulo .

Llamaremos a la altura inclinada n para este problema. Usando el Teorema de Pitágoras:

(11.66)^2 &= 6^2 + n^2\\ 136 &= 36 + n^2\\ 100 &= n^2\\10 &= n

Ahora encuentra el área de cada triángulo:

A &= \frac{1}{2} hb\\  &= \frac{1}{2} (10)(12)\\  &= 60 \ \text{unidades \ cuadradas}

Así como hay 4 triángulos:

A \text{(tri\'{a}ngulos)} &= 4(60)\\&= 240 \ \mathrm{unidades \ cuadradas}

Finalmente, sumar el área total de los triángulos al área de la base.

A \text{(total)} &= A\text{(tri\'{a}ngulos)} + A\text{(base)}\\&= 240 + 144\\&= 384 \ \mathrm{unidades\ cuadradas}

Ejemplo 1

Usar la red para encontrar el área total de una pirámide hexagonal regular con un apotema de 5.19. Las dimensiones son dadas en centímetros.

El área de la base hexagonal está dada por la fórmula para el área de un polígono regular. Ya que cada lado del hexágono mide 6 \;\mathrm{cm}, el perímetro es 6 \cdot 6 o 36\;\mathrm{cm}. El apotema, o distancia perpendicular al centro del hexágono es 5.19\;\mathrm{cm}.

A &= \frac{1}{2} \text{(apotema)}\text{(per\'{i}metro)}\\  &= \frac{1}{2} (5.19)(36)\\  &= 93.42 \ \text{cm cuadrado}

Usando el Teorema de Pitágoras para encontrar la altura inclinada de cada triángulo lateral.

(14)^2 &= 3^2 + n^2\\196    &= 9 + n^2\\187    &= n^2\\13.67  &= n

Ahora encontrar el área de cada triángulo:

A &= \frac{1}{2} hb\\  &= \frac{1}{2} (13.67)(6)\\  &= 41 \ \text{cm cuadrado}

Juntos, el área de los seis triángulos que forman los laterales de la pirámide son

A &= 6 \text{(\'{a}rea de cada tri\'{a}ngulo)}\\  &= 6 \cdot 41\\  &= 246 \ \text{cm cuadrado}

Sumar el área de los lados al área de la base hexagonal.

A \text{(total)} &= A\text{(tri\'{a}ngulos)} + A\text{(base)}\\                 &= 246 + 93.42\\                 &= 339.42 \ \text{cm cuadrado}

Area de superficie de una pirámide Regular

Para obtener una fórmula general para el área de una pirámide regular, observa a la red para esta pirámide cuadrada.

La altura inclinada de cada triángulo lateral tiene la etiqueta l (la letra minúscula de la letra L), y el lado del polígono regular tiene la etiqueta s. Para cada triángulo lateral, el área es:

A = \frac{1}{2} l s

Existen n triángulos en un polígono regular —e.g., n = 3 para una pirámide triángular, n = 4 para una pirámide cuadrada, n = 5 para una pirámide pentagonal. Entonces el ára total, L, del triángulo lateral es:

L &= n \cdot \text{(\'{a}rea de cada tri\'{a}ngulo lateral)}\\  &= n\left(\frac{1}{2}ls \right)

Si reorganizamos la ecuación de arriba, obtenemos:

 L = \left(\frac{1}{2}ln \cdot s \right)

Nota que n \cdot s es sólo el perímetro, P, del polígono regular. Entonces podemos sustituir P en la ecuación para obtener el siguiente postulado.

 L = \left(\frac{1}{2}lP \right)

Para obtener el área total de la pirámide, sumar el área de la base, B, a la ecuación anterior.

 A = \frac{1}{2}lP + B

Area de una Pirámide Regular

El área de la superficie de una pirámide regular es

A =\frac{1}{2} l P + B

Donde l es la altura inclinada de la pirámide y P es el perímetro del polígono regular que forma la base de la pirámide, y B es el área de la base.

Ejemplo 2

Una tienda de campaña sin fondo tiene la forma de una pirámide hexagonal con una altura inclinada l de 30\;\mathrm{pies}. Los lados del perímetro hexagonal de la figura miden cada uno 8\;\mathrm{pies}. Encontrar el área de la superficie de la tienda de campaña que existe sobre el suelo.

Para este problema, B es cero porque la tienda no tiene fondo. Entonces simplemente calcula el área lateral de la figura.

A &= \frac{1}{2} l P + B\\   &= \frac{1}{2} l P + 0\\   &= \frac{1}{2} l P\\  &= \frac{1}{2} (30) (6 \cdot 8)\\  &= 720 \ \text{pies cuadrados}

Ejemplo 3

Una pirámide pentagonal tiene una altura inclinada l de 12\;\mathrm{cm}. Los lados del perímetro pentagonal de la figura miden cada uno 9\;\mathrm{cm}. El apotema de la figura es 6.19\;\mathrm{cm}. Encontrar el área de la superficie de la figura.

Primero encontrar el área lateral de la figura.

L &= \frac{1}{2} l P\\    &= \frac{1}{2} (12) (5 \cdot 9)\\  &= 270 \ \text{cm cuadrados}

Ahora usa la fórmula para el área de un polígono regular para encontrar el área de la base.

A &= \frac{1}{2} \text{(apotema)} \text{(per\'{i}metro)}\\\    &= \frac{1}{2} (6.19) (5 \cdot 9)\\  &= 139.3605 \ \text{cm cuadrado}

Finalmente, sumarlos para encontrar el área total de la superficie.

139.3605 + 270 \approx 409.36\; \text{cent\'{i}metros cuadrados}

Estimar el Volumen de una Pirámide y un Prisma

Qué tiene un mayor volumen, un prisma o una pirámide, si los dos tienen la misma base y altura? Para encontrarlo, compara los prismas y las pirámides que tienen bases congruentes y la misma altura.

Aquí hay una base para un prisma triangular y una pirámide triangular. Ambas figuras tienen la misma altura. Compara las dos figuras. Cuál parece que tiene el mayor volumen?

El prisma puede parecer mayor en volumen. Pero cómo puedes probar que el volumen del prisma es mayor que el volumen de la pirámide? Coloca una figura dentro de la otra. La figura que es más pequeña quedará dentro de la otra figura.

Esto se muestra en el diagrama de arriba. Ambas figuras tienen bases congruentes y la misma altura. La pirámide claramente queda dentro del prisma. Entonces el volumen de la pirámide debe ser más pequeño.

Ejemplo 4

Muestra que el volumen de un prisma cuadrado es mayor que el volumen de una pirámide cuadrada .

Dibujar o hacer un prisma cuadrado y una pirámide cuadrada que tengan bases congruentes y la misma altura.

Ahora colocar una figura dentro de la otra. La pirámide queda dentro del prisma. La pirámide queda dentro del prisma. Entonces cuando dos figuras tienen la misma altura y la misma base, el volumen del prisma es mayor.

En general, cuando tú comparas dos figuras que tienen bases congruentes y son iguales en altura, el prisma tendrá un volumen mayor que la pirámide.

La razón debería ser obvia. En el “fondo,” ambas figuras empiezan igual —con una base cuadrada. Pero la pirámide rápidamente se inclina hacia adentro, “cortando” grandes cantidades de material mientras que el prisma no se inclina.

Encontrar el Volumen de una Pirámide y un Prisma

Dada la figura de arriba, en la cual una pirámide cuadrada es colocada dentro de un prisma cuadrado, ahora preguntamos: cuantas de estas pirámides podrían caber dentro del prisma?

Para encontrarlo, debes obtener un prisma cuadrado y una pirámide cuadrada que son ambos huecos, ambos no tienen fondo, y ambos tienen la misma altura y bases congruentes.

Ahora voltea las figuras de cabeza. Llena la pirámide con líquido. Cuantas pirámides llenas con líquido llenarán el prisma hasta el tope?

De hecho, toma exactamente tres pirámides llenas para llenar el prisma. Ya que el volumen del prisma es:

V= Bh

donde B es el área de la base y h es la altura del prisma, podemos escribir:

3 \cdot \text{(volumen de la pir\'{a}mide cuadrada)} = \text{(volumen del prisma cuadrado)}

o:

\text{(volumen de la pir\'{a}mide cuadrada)} = \frac{1}{3} \text{(vol\'{u}men del prisma cuadrado)}

Y, ya que el volumen de un prisma cuadrado es Bh, podemos escribir:

V = \frac{1}{3} Bh

Esto puede ser escrito como el Postulado del Volumen para pirámides.

Volumen de una Pirámide

Dada una pirámide recta, con una base que tiene un área B y altura h:

V = \frac{1}{3} Bh

Ejemplo 5

Encontrar el volumen de una pirámide con un triángulo recto por base y con lados que miden 5\;\mathrm{cm}, 8\;\mathrm{cm}, y 9.43\;\mathrm{cm}. La altura de la pirámide es 15\;\mathrm{cm}.

Primero encuentra el área de la base. El más largo de los tres lados que miden 5\;\mathrm{cm}, 8\;\mathrm{cm}, y 9.43\;\mathrm{cm} debe ser la hipotenusa, entonces los otros lados más cortos son los lados del triángulo recto.

A &= \frac{1}{2} h b\\    &= \frac{1}{2} (5) (8)\\  &= 20 \ \text{cm cuadrado}

Ahora usa el postulado para el volumen de la pirámide.

V \text{(pir\'{a}mide)} &= \frac{1}{3} B h\\    &= \frac{1}{3} (20) (15)\\  &= 100 \ \text{cm c\'{u}bico}

Ejemplo 6

Encontrar la altitud de una pirámide con una base pentagonal regular. La figura tiene un apotema de 10.38\;\mathrm{cm}, 12\;\mathrm{cm} lados, y un volumen de 2802.6 \;\text{cent\'{i}metro  c\'{u}bico}.

Primero encontrar el área de la base.

A \text{(base)} &= \frac{1}{2} a P\\    &= \frac{1}{2} (10.38) (5 \cdot 12)\\  &= 311.4 \ \text{cm cuadrado}

Ahora usa el valor para el área de la base y el postulado para resolver h.

V \text{(pir\'{a}mide)} &= \frac{1}{3} B h\\  2802.6  &= \frac{1}{3} (311.4) h\\27        &= h

Ejercicios de Repaso

Considerar la siguiente figura para responder las preguntas 1 – 4.

  1. Qué tipo de pirámide es esta?
  2. Qué parte de la figura es el triángulo ABE ?
  3. El segmento AE es un(a) _______________ de la figura.
  4. El punto E es el ________________________
  5. Cuantas caras hay en una pirámide cuya base tiene 16 \;\mathrm{lados}?

Una pirámide recta tiene un hexágono regular por base. Cada borde mide 2 \sqrt{22}. Encontrar

  1. El área de la superficie lateral de la pirámide
  2. El área total de la superficie de la pirámide
  3. el volumen de la pirámide
  4. El edificio Transamerica en San Francisco es una pirámide. La longitud de cada borde de la base cuadrada es 149\;\mathrm{pies} y la altura inclinada de la pirámide es 800\;\mathrm{pies}. Cuál es el área lateral de la pirámide? Qué tan alto es el edificio?
  5. Dada la siguiente pirámide:

Con  \;\mathrm{c}=22 \;\mathrm{mm},  \;\mathrm{b}=17 \;\mathrm{mm} y  \;\mathrm{volumen} =1433.67 \;\mathrm{mm}^3 cual es el valor de a?

Respuestas

  1. Pirámide Rectangular
  2. Cara lateral
  3. Borde
  4. Apice
  5. 16
  6. 135.6\;\mathrm{unidades \ cuadradas}
  7. 200.55\;\mathrm{unidades \ cuadradas}
  8. 171.84\;\text{unidades  c\'{u}bicas}
  9. \;\text{Area  de la superficie  lateral} = 238,400 \;\mathrm{pies \ cuadrados    \Altura} = 796.5 \;\mathrm{pies}
  10. A = 11.5 \;\mathrm{mm}

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