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2.1: Razonamiento inductivo

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Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer patrones visuales y patrones numéricos.
  • Extender y generalizar patrones.
  • Escribir un contraejemplo a una regla de patrón.

Introducción

En el capítulo 1 aprendiste sobre los bloques constructivos de la geometría. Algunos de ellos son los puntos, líneas, planos, rayos y ángulos. En esta sección comenzaremos el estudio de las formas en las que podemos razonar con ellos.

Un método de razonamiento es el llamado inductivo. Esto significa llegar a conclusiones basados en ejemplos.

Patrones visuales

Unas personas dicen que la matemática es el estudio de los patrones. Miremos algunos patrones visuales. Estos son patrones hechos con figuras.

Ejemplo 1

A continuación se muestra un patrón de pequeños círculos.

A. ¿Cuántos círculos habría en la fila inferior de un cuarto patrón?

Habría 4 círculos. Hay un círculo más en la fila inferior de cada figura con respecto a la anterior. Además, el número de círculos en la fila inferior es igual al número de la figura.

B. ¿Cuál sería el número total de círculos que habría en toda la fila si hubiera 6 patrones?

Habría un total de 21 círculos. Las filas individuales contendrían, respectivamente, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 círculos cada una.

El número total de círculos es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Ejemplo 2

A continuación tenemos un patrón de cuadrados y triángulos.

A. ¿Cuántos triángulos habría en la décima ilustración?

Habría 22 triángulos. Habría 10 cuadrados, con un triángulo encima y otro debajo de cada cuadrado. Además, hay otro triángulo en cada extremo de la figura. Esto hace 10 + 10 + 1 + 1 = 22 triángulos en total.

B. En una figura que comprendiera 34 triángulos, ¿cuántos cuadrados habría en la figura?

Habría 16 cuadrados. Primero, quitemos un triángulo de cada extremo. Eso nos deja 32 triángulos. La mitad de estos 32 triángulos, o sea16 triángulos, están encima y 16 triángulos están debajo de los cuadrados. Esto hace que haya 16 cuadrados.

Para revisar: con 16 cuadrados, hay un triángulo encima y otro debajo de cada cuadrado, haciendo 2 \times 16 = 32 triángulos. Agrega un triángulo por cada extremo y tendremos 32 + 1 + 1 = 34 triángulos en total.

C. ¿Cómo podemos encontrar el número de triángulos si sabemos el número de figura?

Hagamos n el número de figura. Este es también el número de cuadrados. 2n es el número de triángulos encima y debajo de los cuadrados. Agrega 2 por los triángulos en los extremos.

Si el número de figura es n, entonces hay 2n\ +\ 2 triángulos en total.

Ejemplo 3

Ahora, miremos un patrón de puntos y segmentos de línea.

Para cada dos puntos, hay un segmento de línea con estos puntos como extremos.

Para cada tres puntos no colineales (puntos que no pertenecen a una misma línea), hay tres segmentos de línea que tienen a estos puntos por extremo.

A. Para cuatro puntos, con tres puntos de ellos no colineales, ¿cuántos segmentos de línea habría, usando estos puntos como extremo?

6. Los segmentos se muestran a continuación.

B. Para cinco puntos, con tres de ellos no colineales, ¿cuántos segmentos habría con estos puntos como extremo?

10. Cuando agregamos un quinto punto, agregamos un nuevo segmento para cada uno de los restantes cuatro puntos. Podemos dibujar los cuatro nuevos segmentos con una línea punteada, como se muestra a continuación. Si juntamos estos seis segmentos con los cuatro del literal A, hacen un total de 6 + 4 = 10 segmentos.

Patrones numéricos

Ya estás familiarizado con varios patrones numéricos. Aquí hay algunos ejemplos.

Ejemplo 4: Números pares positivos

Los números pares positivos forman el patrón 2, 4, 6, 8, 10, 12 \ldots.

¿Cuál es el 19^{o} número par positivo?

La respuesta es 38. Cada número par positivo es 2 más que el anterior. Podrías comenzar con 2 e ir sumando 2, 18\;\mathrm{veces}, hasta llegar al 19^{o} número, pero hay una manera más sencilla, usando un pensamiento matemático más avanzado. Fíjate que el 3^{er} número par es 2 \times 3, el 4^{o} número par es 2 \times 4 y así sucesivamente. Entonces, el 19^{o} número par es 2 \times 19 = 38.

Ejemplo 5: Números impares

Los números impares forman el patrón 1, 3, 5, 7, 9, 11 \ldots.

A. ¿Cuál es el 34^{o} número impar?

La respuesta es 67. Podemos comenzar con 1 y agregar 2, 33\;\mathrm{veces}. 1 + 2 \times 33 = 1 + 66 = 67. O nos podemos fijar que cada número impar es 1 menos que el correspondiente número par. El 34^{o} número par es 2 \times 34 = 68 (ejemplo 4), así que el 34^{o} número impar es 68 - 1 = 67.

B. ¿Cuál es el n^{avo} número impar?

2n-1. El n^{avo} número par es 2n (ejemplo 4), así que el n^{avo} número impar es 2n-1.

Ejemplo 6: Números cuadrados

Los números cuadrados forman el patrón 1, 4, 9, 16, 25 \ldots.

Estos son llamados números cuadrados porque 1 =  1^2, 4 = 2^2, 9 = 3^2, 16 = 4^2, 25 = 5^2 \ldots.

A. ¿Cuál es el 10^{o} número cuadrado?

La respuesta es 100. El 10^{o} número cuadrado es 10^2 = 100.

B. El n^{avo} número cuadrado es 441. ¿Cuál es el valor de n?

La respuesta es 21. El 21^{er} número cuadrado es 21^2 = 441.

Conjeturas y contraejemplos

Una conjetura es una “suposición educada” que regularmente se basa en ejemplos o en un patrón. Los ejemplos sugieren una relación, la cual puede ser establecida como una posible regla, o conjetura, para el patrón.

Puede haber numerosos ejemplos para creer fuertemente en una conjetura, pero ningún número de ellos pueden probarla. Siempre existe la posibilidad de que el siguiente ejemplo nos muestre que la conjetura no funciona.

Ejemplo 7

Aquí está una ecuación algebraica.

t = (n-1)(n-2)(n-3)

Evaluemos la expresión para algunos valores de n.

n & = 1; t = (n-1)(n-2)(n-3) = 0 \times (-1) \times (-2) = 0\\n & = 2;  t = (n-1)(n-2)(n-3) = 1 \times 0 \times (-1) = 0\\n & = 3;  t = (n-1)(n-2)(n-3) = 2 \times 1 \times 0 = 0

Podemos poner estos resultados en una tabla.

&n& &1& &2& &3\\&t& &0& &0& &0&

Después de ver esta tabla, podríamos hacer esta conjetura:

El valor de (n-1)(n-2)(n-3) es 0 para cualquier valor de número entero de n.

Sin embargo, si probamos con otros valores de n, como con n = 4, tenemos

(n-1)(n-2)(n-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6

Obviamente, nuestra conjetura está errada. Para esta conjetura, n = 4 es llamado un contraejemplo, lo que significa que este valor hace la conjetura falsa (por supuesto, para comenzar, ¡es una mala conjetura!).

Ejemplo 8

Ramona estudió los números pares positivos. Ella partió algunos números pares positivos, como te mostramos a continuación:

8 = 3 + 5& &14 = 5 + 9& &36 = 17 + 19& &82 = 39 + 43&

¿Qué conjetura se podría sugerir a partir de los resultados de Ramona?

Ramona hizo esta conjetura:

Todo número par positivo es el resultado de sumar dos diferentes números impares positivos.

¿Es correcta la conjetura de Ramona? ¿Puedes encontrar un contraejemplo a esta conjetura?

La conjetura no es correcta. Un contraejemplo es 2. La única manera de sumar dos números impares cuyo resultado sea igual a 2 es: 2 = 1 + 1, lo que NO es una suma de números impares diferentes.

Ejemplo 9

Arturo está haciendo figura para un proyecto de artes gráficas. Él dibujó polígonos y algunas de sus diagonales.

Basado en estos ejemplos, Arturo hace esta conjetura:

Si un polígono convexo tiene n lados, entonces existen n-3 diagonales a partir de cualquier vértice dado de un polígono.

¿Es correcta la conjetura de Arturo? ¿Puedes encontrar un contraejemplo para esta conjetura?

La conjetura aparenta ser correcta. Si Arturo dibuja otros polígonos, en cada caso podrá dibujar n-3 diagonales si el polígono tiene n lados.

Fíjate que no hemos probado la conjetura de Arturo. Muchos ejemplos nos han convencido (casi) de que es cierto.

Resumen de la lección

En esta lección trabajaste con patrones visuales y numéricos. Extendiste los patrones más allá de los puntos dados y usaste reglas para los patrones. Aprendiste también a hacer conjeturas y evaluarlas buscando contraejemplos, que es como trabaja el razonamiento inductivo.

Puntos a considerar

El razonamiento inductivo sobre patrones es una forma natural de estudiar el material nuevo, pero vimos que hay una seria limitación en él: no importa cuántos ejemplos hagas, no probarán nada. Para probar relaciones, aprenderemos a usar el razonamiento deductivo, también conocido como lógica.

Preguntas de repaso

¿Cuántos círculos debería haber en el cuarto patrón de cada figura a continuación?

  1. ¿Cuál es el siguiente número en el siguiente patrón numérico? 5, 8, 11, 14
  2. ¿Cuál es el décimo número en este patrón numérico? 3, 6, 11, 18

La tabla de abajo muestra un patrón numérico.

& n && 1 && 2 && 3 && 4 && 5 \\& t && 3 && 8 && 15 && 24 && 35

  1. ¿Cuál es el valor de t cuando n = 6?
  2. ¿Cuál es el valor de n cuando t = 99?
  3. ¿Es 145 un valor t en este patrón? Explica tu respuesta.

Da un contraejemplo para cada una de las siguientes afirmaciones.

  1. Si n es un número entero, entonces n^2 > n.
  2. Todo número primo es impar.
  3. Si AB = 5 y BC = 2, entonces AC = 7.

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. 9
  2. 20
  3. 13
  4. 17
  5. 102
  6. 48
  7. 9
  8. No. Los valores de t son 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168 \ldots o t = n^2 + 2n; no existe un valor de n que haga t = 145.
  9. 1 porque 1^2 = 1.
  10. 2 porque 2 es primo, pero no impar.
  11. Cualquier grupo de puntos donde A,B, y C no sean colineales.

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