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2.2: Proposiciones condicionales

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Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer proposiciones "si-entonces".
  • Identificar la hipótesis y la conclusión de una proposición "si-entonces".
  • Escribir proposiciones recíproca, inversa y contrarrecíproca (transposición) de una proposición "si-entonces".
  • Entender una proposición bicondicional.

Introducción

En geometría, razonamos a partir de hechos y relaciones conocidos para crear otros nuevos. Anteriormente, ya viste que el razonamiento inductivo puede ayudar, pero no prueba nada y es por eso que necesitamos otra clase de razonamiento. Ahora, comenzarás a aprender sobre razonamiento deductivo, que es el tipo de razonamiento usado en matemática y ciencia.

Proposiciones "si-entonces"

Tanto en geometría como en la vida cotidiana constantemente hacemos proposiciones condicionales o si-entonces.

  • Proposición 1: Si hace buen tiempo, lavaré el automóvil (“entonces” está implícito aunque no esté escrito).
  • Proposición 2: Si trabajas horas extra, entonces te pagarán jornada y media.
  • Proposición 3: Si 2 es divisor de x, entonces x es un número par.
  • Proposición 4: Si un triángulo tiene tres lados congruentes, es un triángulo equilátero (“entonces” está implícito. Esta es una definición).
  • Proposición 5: Todo triángulo equiángulo es equilátero (“si” y “entonces” están ambos implícitos).

Una proposición "si-entonces" consta de dos partes.

  • La parte “si”, llamada la hipótesis.
  • La parte “entonces”, llamada la conclusión.

Por ejemplo, en la segunda proposición de las listadas anteriormente, la hipótesis es “trabajas horas extra” y la conclusión es “te pagarán jornada y media”.

Mira la primera proposición. Aun cuando la palabra “entonces”, en efecto, no esté presente, la afirmación podría ser escrita como: Si hace buen tiempo, "entonces" lavaré el automóvil. Este es el significado de la primera proposición. La hipótesis es "si hace buen tiempo" y la conclusión "lavaré el automóvil".

La proposición 5 es un poco más complicada. Tanto "si" como "entonces" están implícitos sin ser manifiestos. La proposición puede reescribirse como: Si un triángulo es "equiángulo", entonces es "equilátero.

¿Qué es lo que implica una proposición "si-entonces"? Supón que un amigo tuyo hace otra proposición a la proposición 2, que agrega otro hecho.

  • Si trabajas horas extra, entonces te pagarán jornada y media.
  • Trabajaste tiempo extra esta semana.

Si aceptamos estas afirmaciones como ciertas, ¿qué otro hecho "debe" ser verdadero? Combinando estas dos proposiciones, podemos establecer sin lugar a dudas que:

Te pagarán jornada y media esta semana.

Analicemos la proposición 1, la cual puede volverse a escribir como: Si hace buen tiempo, lavaré el automóvil. Supón que aceptamos la proposición 1 y otro hecho: Lavaré el automóvil.

¿Podemos concluir algo más a partir de estas dos proposiciones? No. Aun cuando "no" haga buen tiempo, es probable que lave el automóvil. Nosotros "sabemos" que si hace buen tiempo, lavaré el automóvil; pero "no sabemos" si quizás lave el automóvil aun si "no" hace buen tiempo.

Proposición recíproca, inversa y contrarrecíproca de una condicional ("si-entonces")

Mira otra vez la proposición 1 de arriba.

Si hace buen tiempo, entonces lavaré el automóvil.

Esto puede representarse en un diagrama como:

Si p, entonces q.

p = \text{hace buen tiempo}& &q = \text{lavare el automovil}

“Si p, entonces q se puede escribir también como

p \rightarrow q

Fíjate que las proposiciones, las hipótesis y las conclusiones pueden ser falsas o verdaderas. p, q y la proposición “si p, entonces q” podrían ser verdaderas o falsas.

Algunas veces, en el razonamiento inductivo, estudiamos proposiciones relacionadas a una proposición "si-entonces" ya dada. Estas son formadas por p, q y sus opuestos o negaciones (“no”). Nota que “no p” está escrita simbólicamente como \lnot p.

p,q, \lnot p y \lnot q pueden ser combinadas para producir una nueva proposición "si-entonces".

  • La recíproca de p \rightarrow q es q \rightarrow p.
  • La inversa de p \rightarrow q es \lnot p \rightarrow \lnot q.
  • La contrarrecíproca de p \rightarrow q es \lnot q \rightarrow \lnot p.

Ahora regresemos a la proposición 1: Si hace buen tiempo, entonces lavaré el automóvil.

p \rightarrow q& &p & = \text{hace buen tiempo}\\& &q  &= \text{lavare el automovil}\\&&\lnot p &= \text{no hace buen tiempo}\\&&q &= \text{lavare el automovil (o lavo el automóvil)}\\&&\lnot q &= \text{no lavare el automovil (o no lavo el automovil)}

Recíproca
q \rightarrow p\; Si lavo el automóvil, entonces hace buen tiempo.
Inversa
\lnot p \rightarrow \lnot q\; Si no hace buen tiempo, entonces no lavaré el automóvil.
Contrarrecíproca
\lnot q \rightarrow \lnot p\; Si no lavo el automóvil, entonces no hace buen tiempo.

Fíjate que si aceptamos la proposición 1 como verdadera, entonces la recíproca y la inversa podrían o no ser verdaderas; pero la contrarrecíproca sí lo es. Otra forma de decirlo es: La proposición contrarrecíproca es lógicamente equivalente a la proposición original "si-entonces". En el futuro, es probable que te pidan probar una proposición "si-entonces". Si es más fácil probar la contrarrecíproca, entonces hazlo, ya que tanto la proposición como su contrarrecíproca son equivalentes.

Ejemplo 1

Proposición:

Si n > 2, entonces n^2 > 4. Verdadero.

Recíproca:

Si n^2 > 4, entonces n > 2. Falso.

Una contraejemplo es n  = -3, donde n^2 = 9 > 4, pero n = -3 no es > 2

Inversa:

Si n no es > 2, entonces n^2 no es > 4. Falso.

Un contraejemplo es n = -3, donde n no es > 2, pero n^2 = 9 > 4.

Contrarrecíproca:

Si n^2 no es > 4, entonces n no es > 2. Verdadero.

Si n^2 no es > 4 , entonces -2 < n < 2 y n no es > 2.

Ejemplo 2

Proposición: Si AB = BC, entonces B es el centro de AC. Falso (como se muestra a continuación).

Necesita AB=BC

Recíproca: Si B es el centro de \overline{AC}, entonces AB = BC. Verdadero.

Inversa: Si AB \neq BC, entonces B no es el centro de \overline{AC}. Verdadero.

Contrarrecíproca: Si B no es el centro de \overline{AC}, entonces AB \neq BC. Falso (mira el diagrama anterior).

Proposiciones bicondicionales

Recuerdas que el recíproco de “si p, entonces q” es “si q, entonces p”. Cuando usamos ambas proposiciones combinadas, tendremos una proposición bicondicional.

Bicondicional: p\ \rightarrow\ q y q\ \rightarrow\ p.

Simbólicamente, se escribe como: p\ \leftrightarrow\ q.

Leemos p\ \leftrightarrow\ q como “p si y solo si q”.

Ejemplo 3

Proposición verdadera: m\angle{ABC} > 90^\circ si y solo si \angle{ABC} es un ángulo obtuso.

Puedes separarlo diciendo:

Si m\angle{ABC} > 90^\circ, entonces \angle{ABC} es un ángulo obtuso, y si \angle{ABC} es un ángulo obtuso, entonces m\angle{ABC} > 90^\circ.

Fíjate que ambas partes de la proposición bicondicional son ciertas, entonces toda la proposición bicondicional será cierta.

Tú te figurarás más esto como una definición de un ángulo obtuso.

Las definiciones geométricas son proposiciones bicondicionales que son verdaderas.

Ejemplo 4

Hagamos que p sea x < 10.

Hagamos que q sea 2 x < 50.

a. ¿Es p \rightarrow q verdadero?

Sí.

p\ \rightarrow\ q quiere decir: si x < 10, entonces 2 x < 50.

De álgebra sabemos que si x < 10, entonces 2 x < 2 (10) y 2x < 20. Si 2x < 20, entonces sabemos que 2x < 50.

De esta manera, si x < 10, entonces 2x < 50 o p\ \rightarrow\ q, es verdadero.

b. ¿Es q \ \rightarrow\ p verdadero?

No.

q\ \rightarrow\ p es si 2x < 50, entonces x < 10.

De álgebra sabemos que si 2x < 50, entonces x < 25.

De todas formas, x < 25 no garantiza que x < 10.

x puede ser menor que 25, pero aun así no ser menor que 10, por ejemplo, si x es 20.

Así, si 2x < 50, entonces x < 10 o q\ \rightarrow\ p, es falso.

c. ¿Es p \leftrightarrow q verdadero?

No.

p\ \leftrightarrow\ q es x < 10 si y solo si 2x < 50.

De lo anterior vemos que si parte de esta proposición, en la que dice

Si 2x < 50, entonces x < 10.

Esta proposición es falsa. Un contraejemplo es x = 20.

Nota que tanto si p\ \rightarrow\ q o q\ \rightarrow\ p es falso, entonces p\ \leftrightarrow\ q es falso.

Resumen de la lección

En esta lección has aprendido cómo expresar proposiciones matemáticas y de otro tipo en la forma de “si-entonces”. También aprendiste que cada proposición “si-entonces” está ligada a variaciones de su forma básica de “si p, entonces q”. Estas variaciones son recíproca, inversa y contrarrecíproca de la proposición “si-entonces”. Las proposiciones bicondicionales combinan la proposición y su recíproca en una sola afirmación o proposición “si y solo si”. Las definiciones son un tipo importante de proposición de bicondicional o si-y-solo-si.

Puntos a considerar

Llamamos a los puntos, líneas y planos como los bloques constructivos de la geometría. Pronto veremos que la hipótesis, la conclusión, así como las proposiciones si-entonces y las si-y-solo-si son los bloques constructivos del razonamiento deductivo, o lógica, con los cuales está construido. Este tipo de razonamiento te será de mucha utilidad en todo tu estudio de la geometría. De hecho, una vez entiendas el razonamiento lógico encontrarás que es aplicable en otros campos de estudio y en la información que encuentres a lo largo de tu vida.

Preguntas de repaso

Escribe la hipótesis y la conclusión para cada proposición.

  1. Si 2 es divisor de x, entonces x es un número par.
  2. Si un triángulo tiene tres lados congruentes, entonces es un triángulo equilátero.
  3. Todos los triángulos equiángulos son equiláteros.
  4. ¿Cuál es la recíproca de proposición del ejercicio 1? ¿Es verdadera la recíproca?
  5. ¿Cuál es la inversa de la proposición del ejercicio 2 anterior? ¿Es verdadera la inversa?
  6. ¿Cuál es la contrarrecíproca de la proposición que aparece en el ejercicio 3? ¿Es verdadera la contrarrecíproca?
  7. La recíproca de una proposición sobre puntos colineales A, B y C es: Si AB = 5 y BC = 5, entonces B es el centro de \overline{AC}.
    • ¿Cuál es la proposición?
    • ¿Es verdadera?
  8. ¿Cuál es la inversa de la inversa si p, entonces q?
  9. ¿Cuál es el nombre, en una palabra, para la recíporca de la inversa de una proposición si-entonces?
  10. ¿Cuál es el nombre, en una palabra, para la inversa de la recíporca de una proposición si-entonces?

Para cada una de las siguientes proposiciones bicondicionales:

  • Escribe p en palabras.
  • Escribe q en palabras.
  • ¿Es p \rightarrow q verdadera?
  • ¿Es q \rightarrow p verdadera?
  • ¿Es p \leftrightarrow q verdadera?

Fíjate que, en estas preguntas, p y q podrían ser recíprocas y las respuestas estar correctas.

  1. Un ciudadano estadounidense puede votar si y solo si él o ella es tiene 18 años o más de edad.
  2. Un número es primo si y solo si es un número impar.
  3. Los puntos son colineales si y solo si existe una línea que contiene a los puntos.
  4. x + y = 17 si y solo si x = 8 y y = 9.

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. Hipótesis: 2 es divisor de x; conclusión: x es un número par.
  2. Hipótesis: Un triángulo tiene tres lados congruentes; conclusión: es un triángulo equilátero.
  3. Hipótesis: Un triángulo es equiángulo; conclusión, el triángulo es equilátero.
  4. Si x es un número par, entonces 2 es divisor x. Verdadero.
  5. Si un triángulo no tiene tres lados congruentes, entonces no es un triángulo equilátero. Verdadero.
  6. Si un triángulo no es equilátero, entonces no es equiángulo. Verdadero.
  7. Si B es el centro de \overline{AC}, entonces AB = 5 y BC = 5. Falso (AB y BC ambos podrían ser 6, 7, etc.).
  8. Si p, entonces q.
  9. Contrarrecíproca.
  10. Contrarrecíproca.
  11. p = él o ella tiene 18 años o más; q = un ciudadano estadounidense puede votar; p \rightarrow q es verdadero; q \rightarrow p es verdadero; p \leftrightarrow q es verdadero.
  12. p = es un número entero impar; q = es un número entero primo; p \rightarrow q es falso; q \rightarrow p es falso; p \leftrightarrow q es falso.
  13. p = una línea que contiene los puntos; q = los puntos son colineales; p \rightarrow q es verdadero; q \rightarrow p es verdadero; p \leftrightarrow q es verdadero.
  14. p = x = 8 y y = 9; q = x + y = 17; p \rightarrow q es verdadero; q \rightarrow p es falso; p \leftrightarrow q es falso.

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