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2.4: Propiedades algebraicas

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Objetivos de aprendizaje

  • Identificar y aplicar las propiedades de igualdad.
  • Reconocer las propiedades de congruencia “heredadas” de las propiedades de igualdad.
  • Resolver ecuaciones y citar las propiedades que justifiquen los pasos de la solución.
  • Resolver problemas usando propiedades de igualdad y congruencia.

Introducción

Hemos empezado a armar una caja de herramientas con los bloques constructivos de la geometría (punto, líneas y planos) y las reglas que gobiernan el pensamiento deductivo. Ahora comenzaremos a expandir nuestro conocimiento geométrico aplicando la lógica a los bloques constructivos de la geometría. Haremos una transición suave cuando algunos de los principios fundamentales de álgebra retomen nueva vida al expresarse en el contexto de la geometría.

Propiedades de igualdad

Como todas las cosas iguales, en matemática, la palabra “igual” significa “lo mismo que”. Para ser más preciso, el signo = significa que la expresión del lado izquierdo del signo igual en la ecuación representa el mismo número que el del lado derecho. Así, la igualdad se refiere específicamente a números que pueden expresarse de forma diferente, pero que, de hecho, son los mismos.

Algunos ejemplos:

  • 12 - 5 = 7
  • \frac{372+372+372+372} {4} = 300+70+2
  • 1.5(40 + 60) = 150

Las propiedades básicas de la igualdad son muy simples y probablemente ya estés familiarizado con ellas. Están enumeradas aquí en lenguaje formal, y luego traducidas en términos de sentido común.

Propiedades de igualdad

Para todos los números reales a, b y c:

  • Propiedad reflexiva: a = a.

Esto es, cualquier número es igual a sí mismo o lo mismo que sí mismo.

Ejemplo: 25 = 25.

  • Propiedad simétrica: Si a = b, entonces b = a.

Puedes leer una igualdad de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

Ejemplo: Si 8a = 32, entonces 32 = 8a.

Ejemplo: Si m \angle{P} + m \angle{Q} = 180, entonces 180 = m \angle{P} + m \angle{Q}.

Algunas veces es más conveniente escribir b = a que a = b. La propiedad simétrica permite eso.

  • Propiedad transitiva: Si a = b y b = c, entonces a = c.

Interpretación: Si hay una “cadena” de ecuaciones concatenadas, entonces el primer número es igual al último (puedes comprobar que esto aplica a más de dos igualdades de las que aparecen en las preguntas de repaso).

Ejemplo: Si a + 4 = 10 y 10 = 6 + 4, entonces a + 4 = 6 + 4.

Como recordatorio, aquí hay algunas de las propiedades de igualdad que usaste intensamente cuando aprendiste a resolver ecuaciones en álgebra.

  • Propiedad de la sustitución: Si a = b, entonces b puede ponerse en lugar de a en cualquier lugar o en todo lugar.

Ejemplo: Dado que a = 9 y que a - c = 5, entonces 9 - c = 5.

  • Propiedad aditiva de la igualdad: Si a = b, entonces a + c = b + c.

Interpretación: Puedes sumar el mismo número a ambos lados de la ecuación y mantener la equivalencia.

Ejemplo: Si m\angle{A} + 30 = 90, entonces m\angle{A} + 30 + -30 = 90 + -30.

  • Propiedad multiplicativa de la igualdad: Si a = b, entonces ac = bc.

Interpretación: Puedes multiplicar el mismo número en ambos lados de una ecuación y mantener la equivalencia.

Ejemplo: Si 3x = 18, entonces \frac{1}{3} (3x) = \frac{1}{3} (18).

Mantén en mente que todas estas propiedades se refieren a números. A medida que avances en geometría, podrás aplicar las propiedades de igualdad a cualquier cosa que sea un número: longitudes de segmentos y medidas de ángulos, por ejemplo.

Propiedades de congruencia

Revisemos las definiciones de segmentos y ángulos congruentes.

Segmentos congruentes: \overline{MN} \cong \overline{PQ} si y solo si MN = PQ.

Recuerda que, a pesar de que \overline{MN} y \overline{PQ} son segmentos, MN y PQ son las longitudes de esos segmentos, lo que significa que MN y PQ son números. Las propiedades de igualdad aplican a MN y PQ.

Ángulos congruentes: \angle{F} \cong \angle{G} si y solo si m\angle{F} = m\angle{G}.

El comentario anterior sobre las longitudes de los segmentos aplica también a las medidas de los ángulos. Las propiedades de igualdad aplican a m\angle{F} y m\angle{G}.

Cualquier proposición sobre ángulos o segmentos congruentes puede interpretarse directamente como una proposición referente a números. Esto significa que cada propiedad tiene su correspondiente propiedad de segmentos congruentes y de ángulos congruentes.

Aquí están algunas de las propiedades básicas de la igualdad y sus correspondientes propiedades de congruencia.

Dados los números reales x, y y z.

Propiedad reflexiva de la igualdad: x = x.

Propiedad reflexiva de congruencia de segmentos: \overline{MN}\ \cong\ \overline{MN}.

Propiedad reflexiva de congruencia de ángulos: \angle{P}\ \cong\ \angle{P}.

Propiedad simétrica de la igualdad: Si x = y, entonces y = x.

Propiedad simétrica de congruencia de segmentos: Si \overline{MN}\ \cong\ \overline{PQ} , entonces \overline{PQ}\ \cong \overline{MN}.

Propiedad simétrica de congruencia de ángulos: Si \angle{P}\ \cong\ \angle{Q}, entonces \angle{Q}\ \cong\ \angle{P}.

Propiedad transitiva de la igualdad: Si x = y y y = z, entonces x = z.

Propiedad transitiva de congruencia de segmentos

Si \overline{MN}\ \cong\ \overline{PQ} y \overline{PQ}\ \cong\ \overline{ST}, entonces \overline{MN}\ \cong\ \overline{ST}.

Propiedad transitiva de congruencia de ángulos

Si \angle{P}\ \cong\ \angle{Q} y \angle{Q}\ \cong\ \angle{R}, entonces \angle{P}\ \cong\ \angle{R}.

Usando las propiedades de congruencia en ecuaciones

Cuando resuelves ecuaciones en álgebra, usas propiedades de igualdad. Quizás no escribas la justificación lógica para cada paso de tu solución, pero sabes que existe una propiedad de igualdad que la justifica.

Veamos cómo podemos usar las propiedades de congruencia para justificar proposiciones en el razonamiento deductivo. Se pueden usar nombres abreviados de las propiedades.

Ejemplo 1

Dados los puntos A, B y C, con AB = 8, BC = 17 y AC = 20.

¿Son A, B y C colineales?

AB + BC & = AB + BC \text{(reflexiva)}. && \text{¿Por qué queremos esto?}\\&&&\text{Porque así podemos escribir en términos numéricos}\ AB\ \text{y}\ BC.\\AB + BC & = 8 + 17 && \text{Lo que justifica la sustitución de}\ 8\ \text{por}\ AB\ \text{y}\ 17\ \text{por}\ BC \\.AB + BC & = 25 && 8 + 17 = 25.\ \text{Esto es aritmética}\\.&&&\text{No se necesita ninguna justificación, ya que la aritmética es correcta}\\.25  & \neq 20 && \text{Más aritmética}\\.AB + BC  & \neq AC && \text{Sustituyendo}\ AB + BC\ \text{por}\ 25\ \text{y}\ AC\ \text{por}\ 20\\.& A, B\ \text{y}\ C\ \text{son\ no\ colineales}. && \text{Postulado de la adición de segmentos}\\.&&& A, B\ \text{y}\ C\ \text{son colineales si y solo si}\ AB + BC = AC.

Ejemplo 2

Dado que m\angle{A} + m\angle{B} = 100^\circ y \angle{B} = 40^\circ.

Probar que \angle{A} es un ángulo agudo.

m\angle{A} + m\angle{B} & = 100,\ m\angle{B} = 40. && \text{Estos son los hechos dados} \\.m\angle{A} + 40 & = 100. && \text{Sustituye}\ 40\ \text{por}\ m\angle{B}\ \text{usando la propiedad transitiva} \\.m\angle{A} + 40 + (-40) & = 100 + (-40). && \text{Propiedad aditiva de la igualdad. Suma} -40\ \text{a ambos lados} \\.m\angle{A} & = 60. && \text{Aritmética} \\.60 & < 90. && \text{Más aritmética} \\.m\angle{A} & < 90^\circ. && \text{Sustituye}\ m\angle{A}\ \text{por}\ 60 \\.& \angle{A}\ \text{es un ángulo agudo}. && \text{Definición. Un ángulo es agudo si y solo si mide entre}\ 0^\circ\ \text{y}\ 90^\circ.

El esquema del razonamientos deductivo del ejemplo 2 es llamado prueba. La proposición final tiene que ser verdadera si la información dada es verdadera.

Resumen de la lección

Construimos sobre nuestro conocimiento previo de las propiedades de igualdad, de donde se derivan las correspondientes propiedades de congruencia. Esto nos permite probar proposiciones y crear nuevas propiedades y relaciones sobre congruencia. Tuvimos nuestra primera introducción, en términos informales, a la prueba lógica.

Puntos a considerar

En los ejemplos y preguntas de repaso usamos términos como "dado", "prueba" y "razón". En las siguientes lecciones veremos cómo identificar los hechos dados, cómo dibujar un diagrama para representar una proposición que necesitamos probar y cómo organizar las pruebas más formalmente. A medida que avancemos, probaremos varias relaciones geométricas importantes llamadas teoremas. Ya hemos establecido la armazón de la lógica que usaremos repetidamente en nuestro trabajo futuro.

Preguntas de repaso

Dados x, y y z, que son números reales.

Usa la o las propiedades dadas de igualdad para completar los espacios vacíos de cada una de las siguientes preguntas.

  1. Simétrica: Si x = 3, entonces ___________________.
  2. Reflexiva: Si x + 2 = 9, entonces ___________________.
  3. Transitiva: Si y = 12 y x = y, entonces __________________.
  4. Simétrica: Si x + y = y + z, entonces ____________________.
  5. Reflexiva: Si x + y = y + z, entonces _____________________.
  6. Sustitución: Si x = y - 7 y x = z + 4, entonces _________________________.
  7. Usa la propiedad transitiva de la igualdad para escribir un argumento lógico convincente (una prueba) de que la siguiente proposición es verdadera.

Si a = b, b = c, c = d y d = e, entonces a=e.

Fíjate que esta cadena podría ampliarse con eslabones adicionales.

Hagamos que M sea la relación “es la madre de”. Hagamos que B sea la relación “es hermano de”.

  1. ¿Es M simétrica? Explica tu respuesta.
  2. ¿Es B simétrica? Explica tu respuesta.
  3. ¿Es M transitiva? Explica tu respuesta.
  4. ¿Es B transitiva? Explica tu respuesta.
  5. Hagamos que w, x, y y z sean números reales. Prueba: Si w = y y x = z, entonces {w + x} = {y+z}
  6. .
  7. La siguiente proposición no es verdadera. “Hagamos que A, B, C, D, E y F sean los puntos. Si AB=DE y BC=EF, entonces AC=DF ”. Dibuja un diagrama con estos puntos mostrado para dar un contraejemplo.

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. 3 = x.
  2. x + 2 = 9.
  3. x = 12.
  4. y + z = x + y.
  5. x + y = y + z.
  6. z + 4 = y + 7 (o y - 7 = z + 4).
  7. Si a = b y b = c, entonces a = c (propiedad transitiva). Si a = c y c = d, entonces a = d (propiedad transitiva). Si a = d y d = e, entonces a = e (propiedad transitiva).
  8. No. Si María es la madre de Juan, eso NO quiere decir que ¡Juan es la madre de María!
  9. Sí. Por ejemplo, si Bill es el hermano de Frank, entonces Frank es el hermano de Bill.
  10. No. Si M fuera transitiva, entonces “María sería la madre de Fern y Fern la madre de Gina”, lo que nos llevaría a que “María es la madre de Gina”. De todas formas, en realidad María tendría que ser ¡la abuela de Gina!
  11. Sí. Si Bill es el hermano de Frank y Frank es el hermano de Greg, entonces Bill es hermano de Greg. Podrías decir que el hermano de mi hermano es (también) mi hermano.
  12. w = y y x = z (dada); w + x = w + x (reflexiva); w + x = y + z (sustituye y por w y z por x).
  13. A continuación, está un ejemplo: Una respuesta correcta está en un diagrama, mostrando:
    • AB = DE.
    • BC=EF.
    • AC \neq DF.

    Si A, B y C son colineales y D, E y F son no colineales, entonces se satisfacen las condiciones.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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