<meta http-equiv="refresh" content="1; url=/nojavascript/"> Teoremas de congruencia de segmento y ángulo | CK-12 Foundation
Dismiss
Skip Navigation

2.7: Teoremas de congruencia de segmento y ángulo

Created by: CK-12

Objetivos de aprendizaje

  • Entender las propiedades básicas de congruencia.
  • Probar teoremas sobre congruencia.

Introducción

En una lección anterior revisaste varias de las propiedades básicas de la igualdad. Estas propiedades tratan sobre números. Los ángulos y los segmentos no son números, pero sus medidas son números. La congruencia de ángulos y segmentos está definida en términos de estos números. Para probar las propiedades de congruencia, convertimos inmediatamente las proposiciones de congruencia en proposiciones numéricas y usamos las propiedades de igualdad.

Propiedades de igualdad

Recordatorio: Aquí están algunas de las propiedades básicas de la igualdad. Estos son postulados que no necesitan prueba. Para cada uno de ellos existe una propiedad correspondiente de congruencia para segmentos y para ángulos. Estos son teoremas y nosotros los probaremos.

Propiedades de la igualdad para los números reales x, y y z.

  • Reflexiva: x = x.
  • Simétrica: Si x = y, entonces y = x.
  • Transitiva: Si x = y y y = z, entonces x = z.

Estas propiedades son convertibles; podemos convertirlas rápida y fácilmente en teoremas de congruencia.

Fíjate que son necesarios los diagramas para probar los teoremas de congruencia. Tratan sobre ángulos y segmentos... TODOS ellos, cualquiera que sea y dondequiera que esté. Sin necesidad de una disposición (diagrama) especial.

Propiedades de congruencia de segmentos

En esta sección probaremos una serie de teoremas de segmentos.

Reflexiva: \overline{AB}\ \cong\ \overline{AB}

Proposición Razón
1. AB = AB Propiedad reflexiva de la igualdad.
2. \overline{AB}\ \cong\ \overline{AB} Definición de segmentos congruentes.

Simétrica: Si \overline{AB} \cong \overline{CD} , entonces \overline{CD} \cong \overline{AB}

Dado: \overline{AB}\ \cong\ \overline{CD}

Probar: \overline{CD}\ \cong\ \overline{AB}

Proposición Razón
1. \overline{AB}\ \cong\ \overline{CD} Dado.
2. AB = CD Definición de segmentos congruentes.
3. CD = AB Propiedad simétrica de la igualdad.
4. \overline{CD}\ \cong\ \overline{AB} Definición de segmentos congruentes.

Transitiva: Si \overline{AB}\ \cong\ \overline{CD} y \overline{CD}\ \cong\ \overline{EF}, entonces \overline{AB}\ \cong\ \overline{EF}

Dado: \overline{AB}\ \cong\ \overline{CD}; \overline{CD}\ \cong\ \overline{EF}

Probar: \overline{AB}\ \cong\ \overline{EF}

Proposición Razón
1. \overline{AB}\ \cong\ \overline{CD}; \overline{CD} \cong\ \overline{EF} Dado.
2. AB = CD;  CD = EF Definición de segmentos congruentes.
3. AB = EF Propiedad transitiva de la igualdad.
4. \overline{AB}\ \cong\ \overline{EF} Definición de segmentos congruentes.

Propiedades de congruencia de ángulos

Mira las pruebas de las propiedades de congruencia de ángulos en los ejercicios de la lección.

Reflexiva: \angle {A}\ \cong\ \angle {A}

Simétrica: Si \angle {A}\ \cong\ \angle {A}, entonces \angle {B}\ \cong\ \angle {A}

Transitiva: Si \angle{A}\cong\angle {B} y \angle {B}\ \cong\ \angle {C}, entonces \angle {A} \cong\ \angle {C}

Resumen de la lección

En esta lección hemos visto información vieja bajo una nueva luz. Vimos que las propiedades de igualdad —reflexiva, simétrica, transitiva— se pueden convertir fácilmente en teoremas sobre segmentos y ángulos congruentes. En la siguiente lección nos moveremos hacia un nuevo campo, donde le daremos uso a todas las herramientas de nuestra caja de herramientas de geometría para resolver problemas y crear nuevos teoremas.

Puntos a considerar

Estamos en la transición entre los conceptos introductorios, que son necesarios pero no muy “geométricos”, y el verdadero corazón de la geometría. Necesitábamos cierta cantidad de material fundamental antes de que pudiéramos comenzar a introducirnos a conceptos y relaciones más retadoras y poco familiares. Tenemos como fundamentos las definiciones, los postulados y las propiedades análogas a las de igualdad. De aquí en adelante, podremos experimentar a la geometría en un nivel más rico y profundo.

Preguntas de repaso

Prueba las propiedades de congruencia en las preguntas de la 1 a la 3.

  1. Reflexiva: \angle {A}\cong\angle {A}.
  2. Simétrica: Si \angle {A}\cong\angle {B}, entonces \angle {B}\cong\angle {A}.
  3. Transitiva: Si \angle {A}\cong\angle {B} y \angle {B}\cong \angle {C}, entonces \angle {A}\cong\angle {C}.
  4. ¿Es verdadera la siguiente proposición? Si no es así, da un contraejemplo. Si es cierta, pruébalo.

Si \angle{A}\cong\angle{B} y \angle{C}\cong\angle{D}, entonces m\angle{A} + m\angle{C}= m\angle{B} + m\angle{D}.

  1. Da una razón para cada proposición en la prueba de abajo.

Si A, B, C y D son colineales, y \overline{AB}\cong\overline{CD}, entonces \overline{AC}\cong\overline{BD}.

Dado: A, B, C y D son colineales y \overline{AB}\cong\overline{CD}.

Probar: \overline{AC}\cong\overline{BD}.

  1. ¿Es verdadera la siguiente proposición? Explica tu respuesta (no es necesaria una prueba formal de dos columnas).

Sean P, Q, R, S y T puntos de un mismo plano. Si \overrightarrow{Q S} está en el interior de \angle{PQR} y \overrightarrow{Q T} está en el interior de \angle{PQS}, entonces \overrightarrow{Q T} está en el interior de \angle{PQR}.

Fíjate que esto se parece un poco a la propiedad transitiva para un rayo que está en el interior de un ángulo.

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. Proposición Razón
    A. m\angle{A}= m\angle{A} Propiedad reflexiva de la igualdad.
    B. \angle{A}\cong\angle{A} Definición de ángulos congruentes.
  2. Dado: \angle{A}\cong\angle{B} Probar: \angle{B}\cong\angle{A}
  3. Proposición Razón
    A. \angle{A}\cong\angle{B} Dado
    B. m\angle{A}= m\angle{B} Definición de ángulos congruentes.
    C. m\angle{B}= m\angle{A} Propiedad simétrica de la igualdad.
    D. \angle{B}= \angle{A} Definición de ángulos congruentes.
  4. Dado: \angle{A} \cong \angle{B} y \angle{B} \cong \angle{C} Probar: \angle{A} \cong \angle{C}
  5. Proposición Razón
    A. \angle{A} \cong \angle{B} y \angle{B} \cong \angle{C} Dado.
    B. m\angle{A}= m\angle{B} and m\angle{B}= m\angle{C} Definición de ángulos congruentes.
    C. m\angle{A}= m\angle{C} Propiedad transitiva de la igualdad.
    D. \angle{A} \cong \angle{C} Definición de ángulos congruentes.
  6. Si Dado: \angle{A} \cong \angle{B} y \angle{C} \cong \angle{D} Probar: m\angle{A} + m\angle{C} = m\angle{B}+ m\angle{D}
  7. Proposición Razón
    A. \angle{A} \cong \angle{B} y \angle{C} \cong \angle{D} Dado.
    B. m\angle{A} = m\angle{B}, m\angle{C}= m\angle{D} Definición de ángulos congruentes.
    C. m\angle{A} + m\angle{C} = m\angle{B}+ m\angle{C} Propiedad aditiva de la igualdad.
    D. m\angle{A} + m\angle{C} = m\angle{B}+ m\angle{D} Sustitución.
  8. Proposición Razón
    A, B, C y D son colineales A._____ Dado.
    \overline{AB}\ \cong\ \overline{CD} B._____ Dado.
    AB = CD C._____ Definición de segmentos congruentes.
    AB + BC = CD + BC D._____ Propiedad aditiva de la igualdad.
    AB + BC = BC + CD E._____ Propiedad conmutativa de la igualdad.
    AB + BC = AC F._____ Definición de puntos colineales.
    BC + CD = BD G._____ Definición de puntos colineales.
    AC = BD H._____ Propiedad sustitutiva de la igualdad.
    \overline{AC}\ \cong\ \overline{BD} I._____ Definición de segmentos congruentes.
  9. Verdadero. Ya que \overrightarrow{Q S} está en el interior de \angle{PQR},\ m\angle{PQS} + m\angle{SQR}\ = m\angle{PQR} Ya que \overrightarrow{Q T} está en el interior de \angle{PQS}, entonces m\angle{PQT}\ + m\angle{TQS}\ = m\angle{PQS}. Así que (m\angle{PQT}\ + m\angle{TQS}) + m\angle{SQR}\ & = m\angle{PQR} \\m\angle{PQT} + (m\angle{TQS}\ + m\angle{SQR}) & = m\angle{PQR} \\m\angle{PQT}\ + m\angle{TQR}\ & = m\angle{PQR} \overrightarrow{Q T} está en el interior de \angle{PQR} por la propiedad de adición de ángulos.

Image Attributions

Description

Authors:

Grades:

Date Created:

Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
You can only attach files to None which belong to you
If you would like to associate files with this None, please make a copy first.

Reviews

Please wait...
Please wait...
Image Detail
Sizes: Medium | Original
 
CK.MAT.SPA.SE.1.Geometry.2.7

Original text