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2.8: Pruebas sobre pares de ángulos

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Objetivos de aprendizaje

  • Establecer teoremas sobre pares especiales de ángulos.
  • Entender pruebas de los teoremas acerca de pares especiales de ángulos.
  • Aplicar teoremas en la resolución de problemas.

Introducción

Hasta ahora, la mayoría de las cosas que hemos probado han sido a través de una manera bastante directa. Ahora, tenemos las herramientas para probar algunos teoremas a profundidad, que no son tan obvios. Comenzaremos con teoremas sobre pares especiales de ángulos. Estos son:

  • Ángulos rectos.
  • Ángulos suplementarios.
  • Ángulos complementarios.
  • Ángulos opuestos por el vértice.

Teorema del ángulo recto

Si dos ángulos son ángulos rectos, entonces son ángulos congruentes.

Dado: \angle{A} y \angle{B} son ángulos rectos.

Probar:\angle{A}\ \cong\ \angle{B}

Proposición Razón

1. \angle{A} y \angle{B} son ángulos rectos.

Dado.

2. m\angle{A} = 90,\ m\angle{B} = 90

Definición de ángulo recto.

3. m\angle{A} = m\angle{B}

Sustitución.

4. \angle{A}\ \cong\ \angle{B}

Definición de ángulos congruentes.

Teorema de los suplementarios del mismo ángulo

Si dos ángulos son ambos complementarios del mismo ángulo (o ángulos congruentes), entonces los ángulos son congruentes.

Comentario: Como un ejemplo, sabemos que si \angle{A} es suplementario a un ángulo de 30^\circ , entonces m\angle{A} = 150^\circ. Si \angle{B} es suplementario a un ángulo de 30^\circ , entonces también m\angle{B}=150^\circ y resulta que m\angle{A} = m\angle{B}.

Dado: \angle{A} y \angle{B} son ángulos suplementarios. \angle{A} y \angle{C} son ángulos suplementarios.

Probar: \angle{B} \cong \angle{C}

Proposición Razón
1. \angle{A} y \angle{B} son ángulos suplementarios. Dado.
2. \angle{A} y \angle{C} son ángulos suplementarios. Dado.
3. m\angle{A} + m\angle{B} = 180,\ m\angle{A}+ m\angle{C} = 180 Definición de ángulos suplementarios.
4. m\angle{A}+ m\angle{B}= m\angle{A}+ m\angle{C} Sustitución,
5. m\angle{B}= m\angle{C} Propiedad aditiva de la igualdad.
6. \angle{B}\cong\angle{C} Definición de ángulos congruentes.

Ejemplo 1

Dado que \angle{1} \cong \angle{4}, ¿cuáles otros ángulos tienen que ser congruentes?

Respuesta:

\angle{C}\ \cong\ \angle{F} por el teorema del ángulo recto, porque ambos son ángulos rectos.

\angle{2} \cong \angle{3} por el teorema de los suplementarios del mismo ángulo y el postulado del par lineal: \angle{1} y \angle{2} son un par lineal, lo cual hace de ellos suplementarios. \angle{3} y \angle{4} son también un par lineal, que otra vez los hace suplementarios. Entonces, por el teorema de los suplementarios del mismo ángulo, \angle{2} \cong \angle{3} porque son suplementarios a los ángulos congruentes \angle{1} y \angle{4}.

Teorema de los complementarios del mismo ángulo

Si dos ángulos son ambos complementarios al mismo ángulo (o ángulos congruentes), entonces los ángulos son congruentes.

Comentario: Solamente difiere una palabra en este teorema cuando lo comparamos con el teorema de los suplementarios del mismo ángulo. Aquí tenemos ángulos que son complementarios, en lugar de suplementarios, al mismo ángulo.

La prueba del teorema de los complementarios del mismo ángulo está en los ejercicios de la lección y es muy similar a la prueba anterior.

Teorema de los ángulos opuestos por el vértice

Teorema de los ángulos opuestos por el vértice (ángulos verticales): Los ángulos opuestos por el vértice son ángulos congruentes.

Los ángulos opuestos por el vértice son muy comunes tanto en los problemas de geometría como en la vida real, siempre que las líneas se intersecten: cables, líneas de vallas, autopistas, vigas de techos, etc. Un teorema sobre ellos será muy útil. El teorema de los ángulos opuestos por el vértice es uno de los teoremas más cortos del mundo. Su prueba hace uso de los nuevos teoremas que acabamos de probar al principio de esta sección.

Dado: Las líneas k y m se intersectan.

Probar: \angle{1}\cong\angle{3} y \angle{2} \cong \angle{4}

Proposición Razón
1. La líneas k y m se intersectan. Dado.
2. \angle{1} y \angle{2}, \angle{2} y \angle{3} son pares lineales. Definición de par lineal.
3. \angle{1} y \angle{2} son suplementarios y \angle{2} y \angle{3} son suplementarios. Postulado del par lineal.
4. \angle{1} \cong \angle{3} Teorema de los suplementarios del mismo ángulo.

Esto muestra que \angle{1} \cong \angle{3}. La misma prueba puede ser usada para mostrar que \angle{2} \cong \angle{4}.

Ejemplo 2

Dado: \angle{2} \cong \angle{3},\ k \bot p

Cada uno de los siguientes pares de ángulos son congruentes. Da una razón.

\angle{1} y \angle{5} respuesta: Teorema de los ángulos opuestos por el vértice.

\angle{1} y \angle{4} respuesta: Teorema de los complementarios de ángulos congruentes.

\angle{2} y \angle{6} respuesta: Teorema de los ángulos opuestos por el vértice.

\angle{3} y \angle{7} respuesta: Teorema de los ángulos opuestos por el vértice.

\angle{6} y \angle{7} respuesta: Teorema de los ángulos opuestos por el vértice y propiedad transitiva.

\angle{3} y \angle{6} respuesta: Teorema de los ángulos opuestos por el vértice y propiedad transitiva.

\angle{4} y \angle{5} respuesta: Teorema de los complementarios de ángulos congruentes.

Ejemplo 3

  • Dado: \angle{1} \cong \angle{2},\ \angle{3} \cong \angle{4}
  • Probar: \angle{1} \cong \angle{4}

Proposición Razón
1.\angle{1}\ \cong\ \angle{2},\ \angle{3}\ \cong\ \angle{4} Dado.
2.\angle{2} \cong \angle{3} Teorema de los ángulos opuestos por el vértice.
3.\angle{1} \cong \angle{4} Propiedad transitiva de congruencia.

Resumen de la lección

En esta lección probamos teoremas sobre pares de ángulos.

  • Los ángulos rectos son congruentes.
  • Los suplementarios del mismo ángulo, o su congruente, son ángulos congruentes.
  • Los complementarios del mismo ángulo, o su congruente, son ángulos congruentes.
  • Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Vimos cómo estos teoremas pueden ser aplicados a figuras simples o complejas.

Puntos a considerar

Sin importar qué tan complicado o abstracto pueda parecer el modelo de una situación de la vida real, a menudo el análisis final puede expresarse en términos de líneas simples, segmentos y ángulos. Seremos capaces de usar los teoremas de esta sección cuando encontremos relaciones complicadas en figuras futuras.

Preguntas de repaso

Usa el diagrama para responder a las preguntas 1 al 3.

Dado: m\angle{1} = 60^\circ

m\angle{1}=m\angle{3}=60^\circ

Completa los espacios vacíos.

  1. m\angle{2}= _________
  2. m\angle{3}= _________
  3. m\angle{4}= _________
  4. Completa las razones para la siguiente prueba. Dado: \overline{AE} \bot \overline{EC} y \overline{BE} \bot \overline{ED} Probar: \angle{1} \cong \angle{3}
  5. Proposición Razón

    \overline{AE} \bot \overline{EC} y \overline{BE} \bot \overline{ED}

    a.____

    \angle{A E C} y \angle{B E D} son ángulos rectos

    b.____

    m\angle{A E C} = m\angle{1} + m\angle{2} y m\angle{B E D} = m\angle{2} + m\angle{3}

    c.____

    m\angle{A E C} = m\angle{B E D} = 90

    d.____

    m\angle{1} + m\angle{2} = m\angle{2} + m\angle{3} = 90^\circ

    e.____

    \angle{1} y \angle{2} son complementarios, \angle{2} y \angle{3} son complementarios

    f.____

    \angle{1}\ \cong\ \angle{3}

    g.___
  6. ¿Cuál de las siguientes proposiciones tiene que ser verdadera? Responde sí o no.
    1. \angle{1} \cong \angle{2}
    2. \angle{2} \cong \angle{4}
    3. \angle{5} \cong \angle{6}
  7. El siguiente diagrama muestra un rayo (haz) de luz que es reflejado por un espejo. El segmento punteado es perpendicular al espejo. \angle{2}\ \cong\ \angle{3}. \angle{1} es llamado ángulo de incidencia, \angle{4} es llamado ángulo de reflexión. Explica cómo sabes que el ángulo de incidencia es congruente con el ángulo de reflexión.

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. 120^\circ
  2. 60^\circ
  3. 120^\circ
    1. Dado.
    2. Definición de segmentos perpendiculares.
    3. Postulado de adición de ángulos.
    4. Definición de ángulo recto.
    5. Sustitución (propiedad transitiva de la igualdad).
    6. Definición de ángulos complementarios.
    7. Los complementarios del mismo ángulo son congruentes.
    1. No.
    2. Sí.
    3. No.
  4. \angle{1} y \angle{2} son complementarios, \angle{3} y \angle{4} son complementarios. \angle{1} \cong \angle{4} porque son complementarios de los ángulos congruentes 2 y 3.

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