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3.1: Segmentos medios de un triángulo

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Objetivos de Aprendizaje

  • Identificar líneas paralelas, líneas oblicuas y planos paralelos.
  • Conocer la proposición y el uso del Postulado de la Línea Paralela.
  • Conocer la proposición y el uso del Postulado de la Línea Perpendicular.
  • Identificar los ángulos generados por líneas transversales.

Introducción

En este capítulo, explorarás los diferentes tipos de relaciones que se forman con líneas paralelas, líneas perpendiculares y planos. Hay diferentes maneras de entender los ángulos que se forman. Además, varios trucos para encontrar valores y dimensiones que falten. Aunque los conceptos de líneas paralelas y perpendiculares podrían parecer complicados, estos están presentes en nuestra vida cotidiana. Los caminos son a menudo paralelos o perpendiculares, son elementos crusiales en una construcción como las paredes de un cuarto. Recuerda que cada teorema y postulado puede ser útil en las aplicaciones prácticas.

Líneas paralelas y perpendiculares, planos paralelos y perpendiculares, líneas oblicuas

Las líneas paralelas son dos o más líneas que se encuentran en un mismo plano y nunca se intersectan.

Utilizaremos el símbolo \| para indicar paralelismo, así que para describir la figura anterior se escribiría \overleftrightarrow{MN} \| \overleftrightarrow{CD}. Cuando dibujemos un par de líneas paralelas, utilizaremos una marca en forma de flecha (>) para mostrar que las líneas son paralelas, simplemente que coincida con los segmentos congruentes. Si hay dos o más pares de líneas paralelas, utilizaremos una flecha (>) para un par y dos o más flechas (>>) para el otro par.

Las líneas perpendiculares se cortan en un ángulo recto y forman un ángulo de 90^\circ. Esta intersección normalmente se muestra por una pequeña caja cuadrada en el ángulo de 90^\circ.

El símbolo \perp se usa para mostrar que dos líneas, segmentos o rayos son perpendiculares. En la imagen anterior, podríamos escribir \overrightarrow {BA} \perp \overleftrightarrow{BC}. (Nota que \overrightarrow {BA} es un rayo, mientras que \overleftrightarrow{BC} es una línea.)

Aunque "paralelo" y "perpendicular" son definiciones en términos de líneas, las mismas definiciones aplican para los rayos y segmentos con el pequeño ajuste que dos segmentos o rayos son paralelos (perpendiculares), si las líneas que contienen los segmentos o rayos son paralelas (perpendiculares).

Ejemplo 1

¿Cuáles caminos son paralelos y cuáles son perpendiculares en el mapa de abajo?

El primer paso es recordar las definiciones de líneas paralelas y perpendiculares. Las líneas paralelas se encuentran en un mismo plano pero nunca se intersectan y las líneas perpendiculares se cortan en un ángulo recto. Todos los caminos en el mapa se encuentran en un mismo plano, la Avenida Rose y la Calle George nunca se intersectan, así que son caminos paralelos. Mientras que la Calle Henry corta la Avenida Rose y la Calle George en un ángulo recto, así que es perpendicular a esos caminos.

Los planos pueden ser paralelos y perpendiculares al igual que las líneas. Recuerda que un plano es una superficie bidimensional que se extiende infinitamente en todas las direcciones. Si los planos son paralelos nunca se cortarán y si son perpendiculares se cortarán en un ángulo recto.

Dos planos paralelos

El plano naranja y verde son ambos perpendiculares al plano azul.

Si tu piensas en una mesa, la cima de la mesa y el suelo debajo de ella normalmente están en planos paralelos.

La otra relación que necesitas entender es la de líneas oblicuas. Las líneas oblicuas son líneas que están en diferentes planos, y nunca se intersectan. Los segmentos y rayos también pueden ser oblicuos. En el cubo que se muestra abajo el segmento \overline{AB} y el segmento \overline{CG} son oblicuos. ¿Puedes nombrar otros pares de segmentos oblicuos en este diagrama? (¿Cuántos pares de segmentos oblicuos hay en total?)

Ejemplo 2

¿Cuál es la relación entre el frente y el lado del edificio en la imagen de abajo?

Los planos representados por el frente y el lado del edificio se cortan en la esquina. La esquina parece ser un ángulo de (90^\circ), por lo tanto son planos perpendiculares.

Postulado de la línea paralela

Como ya sabes, existen diferentes postulados y teoremas relacionados con la geometría. Es importante que tengas una lista de estas ideas ya que estarán presentes a lo largo de este capítulo. Uno de los postulados que involucran líneas y planos es llamado el Postulado de la línea paralela.

Postulado de la línea paralela: Nos da una línea y un punto que no pertenece a ella, hay una línea exactamente paralela a la línea dada y que pasa por ese punto. Observa el siguiente diagrama que ilustra el postulado anterior.

La línea m en el diagrama, esta cerca del punto D. Si quieres dibujar una línea que sea paralela a m que pase por el punto D habría solo una opción. Piensa en líneas que sean paralelas a m con diferente latitud, como en un mapa. Ellas pueden dibujarse en cualquier parte sobre y debajo de la línea m, pero sólo una pasará a través del punto D.

Ejemplo 3

Dibuja una línea que pase a través del punto R que sea paralela a la línea s.

Recuerda que hay muchas líneas que podrían ser paralelas a la línea s.

Solo puede haber una línea paralela a s que pase a través del punto R. Esta línea se muestra en la siguiente figura.

Postulado de la línea perpendicular

Otro postulado que es relevante en esta ocasión es el Postulado de la línea perpendicular.

Postulado de la Línea perpendicular: Nos da una línea y un punto que pertenece a ella, hay una Línea exactamente perpendicular a la línea dada que pasa por el punto dado.

Este postulado es muy parecido al postulado de la línea paralela, pero se trata de líneas perpendiculares. Recuerda que estas líneas perpendiculares se cortan en un ángulo de (90^\circ). De modo que, en el siguiente diagrama, hay sólo una línea que puede pasar a través del punto B que sea perpendicular a la línea a.

Ejemplo 4

Dibuja una línea que pase a través del punto D que sea perpendicular a la línea e.

Sólo puede haber una línea perpendicular a e que pase a través del punto D. Esta línea se muestra en la siguiente figura.

Ángulos y transversales

Muchos problemas de matemática involucran la intersección de dos o más líneas. Observa el siguiente diagrama.

En el diagrama, las líneas g y h son atravesadas por la línea l. Tenemos un pequeño vocabulario para describir esta situación:

  • La línea l es llamada transversal puesto que esta intersecta a otras dos líneas (g y h). La intersección de la línea l con g y h forma ocho ángulos como puedes ver.
  • El área entre las líneas g y h es llamada interior de las dos líneas. El área que no esta entre las líneas g y h es llamada exterior.
  • Los ángulos \angle{1} y \angle{2} son llamados ángulos adyacentes debido a que tienen un lado en común y no coinciden. Hay muchos pares de ángulos adyacentes en este diagrama, incluyendo \angle{2} y \angle{3}, \angle{4} y \angle{7}, \angle{8} y \angle{1}.
  • Los ángulos \angle{1} y \angle{3} son Ángulos opuestos. Estos no son angulos adyacentes formados por la interseccion de dos líneas. Otros pares de ángulos en este diagrama son \angle{2} y \angle{8}, \angle{4} y \angle{6}, \angle{5} y \angle{7}.
  • Ángulos correspondientes están en la misma posición respecto a ambas líneas intersectadas por la transversal. El \angle{1} está en la esquina superior izquierda de la intersección de las líneas g y l. El \angle{7} está en la esquina superior izquierda de la intersección de las líneas h y l. De modo que decimos que el \angle {1} y \angle {7} son ángulos correspondientes.
  • Los ángulos \angle{3} y \angle{7} son llamados ángulos alternos internos. Estos están en la región interior de las líneas g y h y se encuentran en los lados opuestos de la transveral.
  • De igual manera, los ángulos \angle{2} y \angle{6} son ángulos alternos externos debido a que ellos se encuentran en los lados opuestos de la transversal, y en la región exterior de las líneas g y h.
  • Finalmente, los ángulos \angle{3} y \angle{4} son ángulos internos consecutivos. Estos se encuentran en la región interior de las líneas g y h y están uno a cada lado. Los ángulos \angle{8} y \angle{7} también son ángulos internos consecutivos.

Ejemplo 5

Enumera todos los pares de ángulos alternos que se encuentran en el diagrama de abajo.

Hay dos tipos de ángulos alternos, los ángulos alternos internos y los ángulos alternos externos. Como se necesita enumerar ambos, empecemos con los ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos se encuentran en la región interior de las dos líneas intersectadas por la transversal, asi que podemos incluir los ángulos 3, 4, 5, y 6. Los ángulos alternos están en los lados opuestos de la transversal, z. Por lo tanto, los dos pares de ángulos alternos internos son \angle{3} \ y \angle{5}; \angle{4} y \angle{6}.

Los ángulos alternos externos se encuentran en la región de las dos líneas intersectadas por la transversal, asi que podemos incluir los ángulos 1, 2, 8, y 7. Los ángulos alternos están en los lados opuestos de la transversal, z. Por lo tanto, los dos pares de ángulos alternos externos son \angle{2} \ y \angle{8}; \angle{1} y \angle{7}.

Resumen de la lección

En esta lección, hemos explorado como trabajar con los diferentes tipos de líneas, ángulos y planos. Especificamente, hemos aprendido:

  • Cómo identificar líneas paralelas, líneas oblicuas y planos paralelos.
  • Cómo identificar y hacer uso del postulado de la línea paralela.
  • Cómo identificar y hacer uso del postulado de la línea perpendicular.
  • Cómo identificar transvesales y diferentes tipos de ángulos.

Esto te ayudará a resolver diferentes tipos de problemas, está siempre en búqueda de nuevas e interesantes maneras de examinar la relación entre líneas, planos y ángulos.

Puntos a considerar

Los planos paralelos son dos planos que no se intersectan. Las líneas paralelas deben encontrarse en el mismo plano y nunca se intersectan. Si más de dos líneas se cortan en un mismo punto y son perpendiculares, entonces no pueden estar en el mismo plano (Por ejemplo, los ejes x-, y-, y z- son perpendiculares). Sin embargo, si simplemente dos líneas son perpendiculares, entonces las dos líneas se encuentran en un mismo plano.

Mientras sigas adelante con el estudio de las líneas paralelas y perpendiculares, estarás trabajando en un mismo plano, esto se asume muy a menudo en los problemas de geometría. Sin embargo, hay que tener mucho cuidado con los casos donde estás trabajando con multiples planos en el espacio. Generalmente es más desafiante trabajar con líneas paralelas y perpendiculares en el espacio tridimensional.

Ejercicios de repaso

Resuelve cada problema.

  1. Imagina una línea que pase por cada rama del árbol descrito abajo (observa las líneas rojas de la imagen). ¿Qué término describe mejor las dos ramas con líneas en la imagen del árbol de abajo ?

  2. ¿Cuántas líneas puedes dibujar, que pasen a través del punto  E que sean paralelas a la línea  m?
  3. ¿Cuál de los siguientes literales describe mejor las líneas oblicuas?
    1. Se encuentran en el mismo plano pero nunca se intersectan.
    2. Se intersectan pero no en un ángulo recto.
    3. Se encuentran en planos diferentes y nunca se intersectan.
    4. Se intersectan en un ángulo recto.
  4. ¿Los lados del edificio de la Pirámide de Transamerica en San Francisco son paralelos?

  5. ¿Cuántas líneas puedes dibujar que pasen a través del punto  M que sean perpendiculares a la línea  l?
  6. ¿Cuál de los siguientes literales describe mejor las líneas paralelas?
    1. Se encuentran en el mismo plano pero nunca se intersectan.
    2. Se intersectan pero no en un ángulo recto.
    3. Se encuentran en planos diferentes y nunca se intersectan.
    4. Se intersectan en un ángulo recto.
  7. Dibuja cinco lineas paralelas en un plano.¿En cuántas regiones estará dividido el plano?
  8. Si dibujas  n líneas paralelas en el plano.¿En cuántas regiones estará dividido el plano?

El diagrama anterior muestra dos líneas que son atravesadas por una transversal . Utiliza este diagrama para contestar las preguntas 9 y 10.

  1. ¿Qué término describe mejor la relación que existe entre los ángulos 1 y 5?
    1. Internos consecutivos
    2. Alternos externos
    3. Alternos Internos
    4. Correspondientes
  2. =¿Qué término describe mejor los ángulos 7 y 8?
    1. Adyacentes
    2. Alternos externos
    3. Alternos Internos
    4. Correspondientes

Respuestas

  1. Oblicuo
  2. Una
  3. C
  4. No
  5. Una
  6. A
  7. Cinco líneas paralelas dividen al plano en seis regiones
  8.  n líneas pralelas dividen el plano en  n + 1 regiones
  9. D
  10. A

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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