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Objetivos de enseñanza

  • Comprender los conceptos de la geometría no-euclídea.
  • Encontrar las distancias taxi.
  • Identificar y comprender los círculos taxi.
  • Identificar y comprender los puntos medios taxi.

Introducción

¿Qué pasa si cambiamos las reglas de un juego popular? Por ejemplo, ¿Qué pasa si los bateadores en el béisbol tuvieran cinco golpes en lugar de tres? ¿Cómo sería el juego de ser diferente? ¿Cómo sería el mismo? Hasta este punto, se ha estado estudiando lo que se llama la geometría euclidiana. basada en el trabajo del matemático griego Euclides, este tipo de geometría se basa en el supuesto que dada una línea y un punto que no pertenece a la línea, sólo hay una línea paralela a la dada que atraviese ese punto (este fue uno de nuestros postulados). ¿Qué pasa si cambiamos esa regla? o ¿Qué pasa si cambiamos otra regla (como la regla de un postulado)? ¿Qué pasaría? La geometría No-Euclidiana es el término utilizado para cualquier otro tipo de estudios geométricos que se basan en reglas diferentes a las que Euclides usa. Se trata de un gran cuerpo de trabajo, con diferentes tipos de teorías e ideas. Una de las instucciones más comunes de la geometría no-Euclidiana es llamada geometría taxi. Ese será el principal objetivo de esta lección. Hay muchos otros tipos de geometría no-Euclidiana, como la geometría esférica e hiperbólica que son útiles en diferentes contextos.

Conceptos básicos

En las lecciones anteriores, has aprendido a encontrar las distancias en un plano y que la distancia mas corta entre dos puntos es siempre a lo largo de una línea recta que conecta a los dos puntos. Esto es verdad cuando se trata de situaciones teóricas, pero no necesariamente cuando se acercan a situaciones de la vida real. Examina el mapa de abajo.

Imagina que quieres encontrar la distancia que cubrirías si caminaras de la esquina 1^{calle}, A a la esquina 3^{calle}, C. Utilizando el tipo de geometría que has estudiado hasta ahora, dibujarías una línea recta y calcularías su distancia.

Pero para caminar la ruta mostrada, tendrías que caminar a través de los edificios. Como eso no es posible, tendrás que caminar en las calles, preparando tu camino hasta la otra esquina. Esta ruta será más larga, pero ya que caminar a través de un edificio no es una opción, es la única alternativa.

Nuestro mundo diario no es un plano perfecto como la cuadrícula de coordenadas xy-, así que hemos desarrollado el lenguaje para describir la diferencia entre un mundo ideal (como el plano xy-) y nuestro mundo real. Por ejemplo, la línea directa entre dos puntos es con frecuencia es referida por la frase “en línea recta,” hablando sobre si tú pudieras volar desde un punto a otro a pesar de los obstáculos colocados en el camino. Cuando se refieren a la aplicación del mundo real de caminar en diferentes calles, los matemáticos se refieren a la geometría del taxi. En otras palabras, la geometría del taxi representa la ruta que un chofer de taxi tendría que tomar para ir de un punto a otro. Este lenguaje te ayudará a entender cuando deberías usar la geometría teórica que has estado practicando y cuando usar la geometría del taxi.

Distancia taxi

Ahora que entiendes los conceptos básicos que separan la geometría del taxi de la geometría Euclidiana, puedes aplicarlas a diferentes tipos de problemas. Parecería de enormes proporciones encontrar la trayectoria correcta cuando hay tantas opciones en un mapa, pero es interesante observar como se relacionan sus distancias. Examina el diagrama de abajo.

Cada dibujo de arriba muestra las diferentes trayectorias entre los puntos A y B. Toma un momento para calcular la longitud (en unidades) de cada trayectoria.

Trayectoria 1: 6\;\mathrm{unidades}
Trayectoria 2: 6\;\mathrm{unidades}
Trayectoria 3: 6\;\mathrm{unidades}

Cada una de esas distancias es igual, aunque las trayectorias son diferentes. El punto es que la distancia más corta entre A y B es 3\;\mathrm{unidades} a la derecha y 3\;\mathrm{unidades} hacia arriba. Ya que 3 + 3 = 6, esto es consistente con los descubrimientos de arriba. Lo que puedes aprender de esto es que no importa el orden en el cual te muevas más o hacia arriba. En tanto no retrocedas, la longitud será siempre la misma.

Nota que la geometría del taxi parece familiar—de hecho es la misma que el sistema de cuadrícula de coordenadas xy-, con le regala adicional que solamente puedes viajar hacia arriba o abajo, o a la derecha e izquierda.

Ejemplo 1

En la cuadrícula de abajo, cada línea vertical y horizontal representa una calle en un mapa. Las calles están igualmente separadas.

June conduce su bicicleta desde su casa a la escuela cada día a lo largo de los caminos en su ciudad. Qué tan lejos, en pies, conduce June su bicicleta para ir a la escuela?

Esta es una pregunta de geometría de taxi, ya que June solo conduce su bicicleta en las calles. Cuenta cuantas unidades a la derecha viaja June -8\;\mathrm{unidades.} Ahora cuenta cuantas unidades hacia arriba viaja June -4\;\mathrm{unidades.} . Suma estos dos valores.

8+4=12

June viaja 12\;\mathrm{unidades} para ir a la escuela. Ya que la escala muestra que 1\;\mathrm{unidad} es igual a 100\;\mathrm{pies}, tú puedes calcular la distancia en pies.

12\;\text{unidades} \times \frac{100\;\text{pies}} {1\; \text{unidades}} = 1,200\; \text{pies}

June conduce su bicicleta 1,200\;\mathrm{pies} a la escuela.

Círculos taxi

De tu trabajo previo en geometría deberías saber ya la definición de un círculo—un círculo es el conjunto de puntos equidistantes desde un punto central. Los “círculos” de taxi lucen un poco diferente. Imagina seleccionar un punto en una cuadrícula y encontrar cada punto que estaba 2\;\mathrm{unidades} alejado de él usando geometría de taxi. El resultado es el que sigue.

Usa la lógica para trabajar a través de problemas que involucran círculos de taxi. Si trabajas cuidadosamente y despacio, deberías estar preparado para encontrar la respuesta deseada.

Ejemplo 2

Una pasajero en un taxi quiere ver cuantos diferentes puntos podría visitar si el vehículo viaja exactamente 3 bloques desde donde ella está parada sin dar la vuelta. Cuenta los puntos y dibuja el círculo del taxi con un radio de 3 unidades.

Empieza con una cuadrícula de coordenadas con un punto en el medio. Cuenta 3\;\mathrm{unidades} rectas en cada dirección y marca los puntos que resultan.

Ahora llena los otros puntos que involucran una combinación de movimiento hacia arriba, abajo,etc.

Cuenta los puntos para encontrar que hay 12 puntos distintos en el círculo.

Puntos medios taxi

Similar a encontrar distancias de taxi, también puedes identificar puntos medios de taxi. De cualquier forma, a diferencia de los puntos medios tradicionales , puede haber más de un punto medio entre dos puntos en la geometría de taxi. Para encontrar el punto medio de un taxi, traza una trayectoria entre las trayectorias dadas a lo largo de caminos, ejes o líneas. Luego, divide la distancia por 2 y cuenta tantas unidades a lo largo de tu trayectoria. Esto resulta en la identificación de un punto medio de un taxi. Como verás, podrían haber más de un punto medio entre dos puntos.

Ejemplo 3

Encuentra los puntos medios de taxi entre S y T en el diagrama de abajo.

Empieza por encontrar la distancia de taxi ST. tendrás que viajar 6\;\mathrm{unidades} a la derecha y 2\;\mathrm{unidades} hacia arriba. Suma estos dos valores para encontrar la distancia.

6+2=8

La distancia de taxi, ST es 8\;\mathrm{unidades.} Usa el diagrama e identifica cuantos puntos están a 4\;\mathrm{unidades} lejos de S y T. Estos serán los puntos medios de taxi.

Existen tres puntos medios de taxi en este escenario, mostrado en el diagrama de arriba.

Ahora hemos visto dos grandes diferencias entre la geometría de taxi y la geometría Euclidiana. Basada en una nueva definición de la “distancia entre dos puntos” en la geometría de taxi, el aspecto de un círculo ha cambiado, y uno de los postulados fundamentales sobre el punto medio ha cambiado.

Estos ejemplos cortos ilustran cómo un pequeño cambio en las reglas resultan en diferentes reglas para muchas partes del sistema de geometría del taxi.

Otras geometrías no Euclidianas aplican a otras situaciones, como navegando en el mundo, o encontrar la forma de las superficies en burbujas . Todos estos diferentes sistemas de geometría siguen postulados y definiciones, pero cambiando unas cuantas reglas básicas (ya sea los postulados o las definiciones) el sistema completo cambia. Por ejemplo, en la geometría del taxi observamos que cambiando la definición de "la distancia entre dos puntos" también cambiamos el significado del punto medio.

Resumen de la lección

En esta lección, exploramos un ejemplo de la geometría no Euclidiana. Específicamente, hemos aprendido:

  • De dónde vienen los conceptos de geometría no Euclidiana .
  • Cómo encontrar las distancias taxi.
  • Cómo Identificar y comprender los círculos taxi.
  • Cómo identificar y comprender los puntos medios taxi.

Esto te ayudará a resolver muchos tipos diferentes de problemas. Siempre debes estar en la búsqueda de nuevas e interesantes formas de aplicar conceptos de la geometría no Euclidiana a situaciones matemáticas.

Puntos a considerar

Ahora que entiendes las líneas y los ángulos, vas a aprender sobre triángulos y sus relaciones especiales.

Ejercicios de Repaso

Resolver cada problema.

  1. Cuál es la distancia taxi entre los puntos A y B en el diagrama de abajo?
  2. Dibuja un círculo taxi en el diagrama de abajo con un radio de 3\;\mathrm{unidades.}
  3. Cuál es la distancia taxi entre  P y  Q en el diagrama de abajo?
  4. Dibuja uno de los puntos medios taxi entre  P y  Q en el diagrama de arriba.
  5. Cuantos puntos medios taxi habrán entre  P y  Q? Cómo sabes que los has encontrado todos?
  6. Cuál es la distancia taxi entre los puntos (3,5) y (22,9) en una cuadrícula de coordenadas?
  7. Hay un punto medio taxi entre (3,5) y (22,9)? Por qué?
  8. Cuáles son las coordenadas de uno de los puntos medios taxi entre (2,5) y (10,1)?
  9. Cuantos puntos medios taxi habrán entre los puntos (3,10) y (6,7) en una cuadrícula de coordenadas? Cuáles son sus coordenadas?
  10. Si tú sabes que dos puntos tienen una distancia taxi de 12 entre ellos, tienes suficiente información para decir cuántos puntos medios taxi habrán entre esos dos puntos? Por qué o por qué no?
  11. Cuáles son algunas semejanzas y diferencias entre la geometría taxi y la geometría Euclidiana?

Respuestas

  1. 8\;\mathrm{unidades}
  2. Observa abajo:
  3. 6\;\mathrm{unidades}
  4. Una respuesta posible:
  5. Cualquiera de los siguientes puntos son correctos. Hay un total de tres medios puntos, y por comprobación sistemática no hay más .
  6. 23\;\mathrm{unidades}
  7. No, ya que la distancia entre los dos puntos es impar, No hay puntos medios ya que ellos ocurren en el “medio de un bloque”—o no están en un punto en la cuadrícula con coordenadas enteras.
  8. Cualquiera de los siguientes pares de coordenadas es correcto: (4,1), (5,2), (6,3), (7,4), y (8,5)
  9. Hay cuatro puntos medios entre (3,10) y (6,7). Los puntos medios están en (3, 7), (4, 8), (5, 9) y (6, 10)
  10. No, there may be one midpoint if the two points have the same x- or y- coordinate, or as many as 6
  11. Answers will vary, but some major ideas: In taxicab geometry all distances are integers, while in Euclidean geometry distances can be rational and real values. In Euclidean geometry there is only one midpoint of a segment, but in taxicab geometry there may be multiple midpoints for a segment. Both types of geometry use “lines” between points but in the case of taxicab geometry, lines must be vertical or horizontal (along the grid). One other interesting difference is that taxicab circles appear to be squares in Euclidean geometry

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