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4.1: Suma de triángulo

Difficulty Level: At Grade Created by: CK-12
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Objetivos de aprendizaje

  • Identificar ángulos interiores y exteriores en un triángulo.
  • Entender y aplicar el teorema de la suma del triángulo.
  • Utilizar la relación complementaria de ángulos agudos en un triángulo rectángulo.
  • Identificar la relación de los ángulos exteriores en un triángulo.

Introducción

En el primer capítulo de este curso, desarrollaste un entendimiento de los principios de geometría básica. El resto de este curso explora ideas específicas, técnicas y reglas que te ayudarán a ser exitoso en la resolución de problemas. Si alguna vez deseas revisar la resolución de problemas básicos en geometría, regresa al capítulo 1. Este capítulo explora los triángulos con mayor profundidad. en esta lección, explorarás algunos de sus componentes básicos.

Angulos interiores y exteriores

Cualquier estructura cerrada tiene un adentro y un afuera. En geometría usamos las palabras interior y exterior para la parte de adentro y de afuera de una figura. Un diseñador de interiores es alguien que proporciona o arregla objetos dentro de una casa u oficina. Un esqueleto externo (o exoesqueleto) esta fuera del cuerpo. Entonces el prefijo “ex” significa fuera y exterior se refiere a la parte de afuera de una figura.

Los términos interior y exterior ayudan cuando necesitas identificar los diferentes ángulos en los triángulos. Los tres ángulos dentro de los triángulos son llamados ángulos interiores. en la parte de afuera, los ángulos exteriores son los ángulos formados al extender los lados del triángulo. El ángulo exterior es el ángulo formado por un lado del triángulo y la extensión del otro lado.

Nota: en los triángulos y otros polígonos existen DOS grupos de ángulos exteriores, uno “en sentido horario”, y el otro “en sentido antihorario” . El siguiente diagrama debería ayudar.

Pero, si tú observas a un vértice del triángulo, verás que el ángulo interior y el ángulo exterior forman un par lineal. Basados en el postulado del par lineal, podemos concluir que ángulos interiores y exteriores en el mismo vértice serán siempre suplementarios. Esto nos indica que los dos ángulos exteriores en el mismo vértice son congruentes.

Ejemplo 1

Cuál es \begin{align*}m \angle{RQS}\end{align*} en el triángulo de abajo?

La pregunta pide el \begin{align*}m \angle{RQS}\end{align*}. El ángulo exterior en el vértice \begin{align*}\angle{RQS}\end{align*} mide \begin{align*}115^\circ.\end{align*} Ya que los ángulos interiores y exteriores suman \begin{align*}180^\circ,\end{align*} puedes establecer una ecuación.

\begin{align*}\text{angulo interior} + \text{angulo exterior} & = 180^\circ \\ m \angle{RQS} + 115 &=180 \\ m \angle{RQS} + 115 - 115 &=180-115\\ m\angle{RQS} &= 65\end{align*}

En consecuencia, \begin{align*}m\angle{RQS}=65^{\circ}\end{align*}.

Teorema de la suma del triángulo

Probablemente la pieza más valiosa de información con respecto a los triángulos es el Teorema de la suma del triángulo.

Teorema de la suma del triángulo

La suma de las medidas de los ángulos interiores en un triángulo es \begin{align*}180^\circ\end{align*}

Independientemente si el triángulo es rectángulo, obtuso, agudo, escaleno, isósceles o equilátero, los ángulos interiores siempre sumarán \begin{align*}180^\circ.\end{align*} Examina cada uno de los triángulos mostrados abajo.

Nota que cada uno de los triángulos tiene ángulos que suman \begin{align*}180^\circ.\end{align*}

\begin{align*}100^\circ + 40^\circ + 40^\circ & = 180^\circ \\ 90^\circ + 30^\circ +60^\circ &= 180^\circ \\ 45^\circ + 75^\circ + 60^\circ &= 180^\circ\end{align*}

También puedes usar el teorema de la suma de los triángulos para encontrar un ángulo faltante en un triángulo. Establecer la suma de los ángulos igual a \begin{align*}180^\circ\end{align*} y resolver para el valor faltante.

Ejemplo 2

Cual es \begin{align*}m\angle{T}\end{align*} en el triángulo de abajo?

Establecer una ecuación donde los tres ángulos sumen \begin{align*}180^\circ.\end{align*} Luego resolver para, \begin{align*}m \angle{T}\end{align*}.

\begin{align*}82 + 43 + m \angle{T} & = 180\\ 125 + m \angle{T} & = 180\\ 125 -125 + m \angle{T} & = 180-125\\ m \angle{T} & = 55\end{align*}

\begin{align*}m \angle{T} = 55^\circ\end{align*}

Ahora que has visto un ejemplo del teorema de la suma del triángulo, podrías preguntarte, por qué es cierto. La respuesta es sorprendente: Las medidas de los ángulos en un triángulo suman \begin{align*}180^\circ\end{align*} por el postulado de las líneas paralelas. Aquí hay una prueba del teorema de la suma del triángulo.

  • Dado: \begin{align*}\triangle {ABC}\end{align*} como en el diagrama de abajo,
  • Probar: que las medidas de los tres ángulos suman \begin{align*}180^\circ,\end{align*} o en símbolos, que \begin{align*}m \angle{1} + m \angle{2} + m \angle{3} = 180^\circ\end{align*}.
Enunciado Razón

1. Dado \begin{align*}\triangle {ABC}\end{align*} en el diagrama

1. Dado

2. A través del punto \begin{align*}B\end{align*}, dibujar la línea paralela a \begin{align*}\overline{AC}\end{align*}. La llamaremos \begin{align*}\overleftrightarrow{BD}.\end{align*}

2. Postulado paralelo

3. \begin{align*}\angle{4} \cong \angle{1}\; (m \angle{4} = m \angle{1})\end{align*}

3. Teorema de ángulos alternos internos

4. \begin{align*}\angle{5} \cong \angle{3}\; (m \angle{5} = m \angle{3})\end{align*}

4. Teorema de ángulos alternos internos

5. \begin{align*}m \angle{4} + m \angle{2} = m \angle{DBC}\end{align*}

5. Postulado de la suma del ángulo

6. \begin{align*}m \angle{DBC} + m \angle{5} = 180^\circ\end{align*}

6. Postulado de pares lineales

7. \begin{align*}m \angle{4} + m \angle{2} + m \angle{5} = 180^\circ\end{align*}

7. Sustitución (también conocida como “propiedad transitiva de igualdad transitive property of equality”)

8. \begin{align*}m \angle{1} + m \angle{2} + m \angle{3} = 180^\circ\end{align*}

8. Sustitución (Combinando los pasos 3, 4 y 7).

Y eso prueba que la suma de las medidas de los ángulos en CUALQUIER triángulo es \begin{align*}180^\circ.\end{align*}

Angulos agudos en un triángulo rectángulo

Ampliando en el teorema de la suma del triángulo, puedes encontrar relaciones más específicas. Piensa en las implicaciones del teorema de la suma del triángulo en triángulos rectángulos. En todo triángulo rectángulo, por definición, uno de los ángulos es un ángulo recto—siempre medirá \begin{align*}90^\circ.\end{align*} Esto significa que la suma de los otros dos ángulos será siempre \begin{align*}90^\circ,\end{align*} resultando en una suma total de \begin{align*}180^\circ.\end{align*}

Por lo tanto los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo siempre serán complementarios y a medida que uno de los ángulos se hace más grande, el otro se hará más pequeño así que sus sumas es \begin{align*}90^\circ\end{align*}.

Recuerda que un triángulo recto es mostrado en diagramas usando un pequeño cuadro como marca en el ángulo, como se muestra abajo.

Así que, cuando sabes que un triángulo es rectángulo, y tú tienes la medida de un ángulo agudo, puedes encontrar fácilmente el otro.

Ejemplo 3

Cual es la medida del ángulo faltante en el triángulo de abajo?

Ya que el triángulo de arriba es un triángulo recto, los dos ángulos agudos deben ser complementarios. Su suma será \begin{align*}90^\circ.\end{align*} Representaremos el ángulo faltante con la variable \begin{align*}g\end{align*} y escribir una ecuación.

\begin{align*}38^\circ + g = 90^\circ\end{align*}

Ahora podemos usar operaciones inversas para aislar la variable, y luego tendríamos la medida del ángulo faltante.

\begin{align*}38+g&=90\\ 38 + g - 38 &= 90-38^\circ\\ g&= 52\end{align*}

La medida del ángulo faltante es \begin{align*}52^\circ.\end{align*}

Angulos exteriores en un triángulo

Una de las más importantes lecciones que has aprendido fue la del teorema de la suma del triángulo, estableciendo que la suma de la medida de los ángulos interiores en cualquier triángulo será igual a \begin{align*}180^\circ.\end{align*} Tú sabes, de cualquier forma, que hay dos tipos de ángulos formados por triángulos: interiores y exteriores. Podría ser que existe un teorema similar que identifica la suma de los ángulos exteriores en un triángulo.

Recuerda que los ángulos exteriores e interiores alrededor de un sólo vértice suman \begin{align*}180^\circ,\end{align*} como se muestra abajo.

Imagina un triángulo equilátero y los ángulos exteriores que forma. Ya que cada ángulo interior mide \begin{align*}60^\circ,\end{align*} cada ángulo exterior medirá \begin{align*}120^\circ.\end{align*}

Cuál es la suma de estos tres ángulos? Súmalos para encontrarlo.

\begin{align*}120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 360^\circ\end{align*}

La suma de estos tres ángulos es \begin{align*}360^\circ.\end{align*} En efecto, la suma de los ángulos exteriores en cualquier triángulo siempre será igual a \begin{align*}360^\circ.\end{align*} Tú puedes usar esta información como lo hiciste en el teorema de la suma del triángulo para encontrar ángulos faltantes y medidas.

Ejemplo 4

Cuál es el valor de \begin{align*}p\end{align*} en el triángulo de abajo?

Tú puedes establecer una ecuación relacionando los tres ángulos exteriores a \begin{align*}360^\circ.\end{align*} Recuerda que \begin{align*}p\end{align*} no representa un ángulo exterior, entonces no uses esa variable. Resuelve para el valor del ángulo exterior. Vamos a llamar la medida del ángulo exterior \begin{align*}e\end{align*}.

\begin{align*}130^\circ + 110^\circ + e &= 360^\circ\\ 240^\circ + e &= 360^\circ\\ 240^\circ + e - 240^\circ &= 360^\circ - 240^\circ\\ e &=120^\circ\end{align*}

El ángulo exterior faltante mide \begin{align*}120^\circ.\end{align*} Puedes usar esta información para encontrar el valor de \begin{align*}p\end{align*}, porque los ángulos interiores y exteriores forman un par lineal y por lo tanto deben sumar \begin{align*}180^\circ.\end{align*}

\begin{align*}120^\circ + p &= 180^\circ\\ 120^\circ + p - 120^\circ & = 180^\circ -120^\circ\\ p &= 60^\circ\end{align*}

Angulos exteriores en un teorema de un triángulo

En un triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores remotos.

No probaremos este teorema con una demostración a dos columnas (eso será un ejercicio), pero usaremos el ejemplo de arriba para ilustrarlo. Observa por un momento el diagrama del ejemplo anterior. Si observamos al ángulo exterior en \begin{align*}D\end{align*}, entonces los ángulos interiores en \begin{align*}A\end{align*} y \begin{align*}B\end{align*} son llamados “ángulos remotos interiores.”

Nota que el ángulo exterior en el punto \begin{align*}D\end{align*} midió \begin{align*}120^\circ.\end{align*} Al mismo tiempo, el ángulo interior en el punto \begin{align*}A\end{align*} midió \begin{align*}70^\circ\end{align*} y el ángulo interior en \begin{align*}B\end{align*} midió \begin{align*}50^\circ.\end{align*} La suma de los ángulos interiores \begin{align*}m\angle{A}+m\angle{B}=70^\circ + 50^\circ = 120^\circ\end{align*}. Nota que las medidas de los ángulos interiores remotos se suman a la medida del ángulo exterior en \begin{align*}D\end{align*}. Esta relación es siempre verdadera, y es un resultado del postulado de los pares lineales y el teorema de las suma del triángulo. Tu trabajo será mostrar como funciona esto.

Resumen de la Lección

En esta lección, exploramos la suma de triángulos. Específicamente, hemos aprendido:

  • Como identificar ángulos interiores y exteriores en un triángulo.
  • Cómo entender y aplicar el teorema de la suma del triángulo.
  • Cómo utilizar la relación complementaria de ángulos agudos en un triángulo.
  • Como Identificar la relación de los ángulos exteriores en un triángulo.

Estas habilidades te ayudarán a entender los triángulos y sus cualidades únicas. Siempre busca triángulos en diagramas, mapas, y otras representaciones matemáticas.

Puntos a considerar

Ahora que entiendes las cualidades internas de los triángulos, es tiempo de explorar los conceptos básicos de la congruencia de triángulos.

Ejercicios de repaso

Las preguntas 1 y 2 usan el siguiente diagrama :

  1. Encontrar \begin{align*} m \angle{BAC}\end{align*} en el triángulo de arriba.
  2. Cuál es\begin{align*} m \angle{ABC}\end{align*} en el triángulo de arriba?

Las preguntas 3-6 usan el siguiente diagrama:

  1. Cuál es\begin{align*} m\angle{VTU}?\end{align*}
  2. Cuál es\begin{align*} m\angle{TVU}?\end{align*}
  3. Cuál es\begin{align*} m\angle{TUV}?\end{align*}
  4. Cuál es la relación entre\begin{align*} \angle{VTU}\end{align*} y \begin{align*} \angle{TUV}\end{align*}? Escribe una o dos oraciones para explicar cómo sabes que esta es la relación.
  5. Encontrar \begin{align*} m\angle{F}\end{align*} en el diagrama de abajo:

Usar el diagrama de abajo para las preguntas 8-13. (Nota \begin{align*} l_1 || l_2\end{align*})

  1. \begin{align*}a =\end{align*} _____. Por qué?
  2. \begin{align*}b =\end{align*} _____. Por qué?
  3. \begin{align*}c =\end{align*} _____. Why?
  4. \begin{align*}d =\end{align*} _____. Por qué?
  5. \begin{align*}e =\end{align*} _____. Por qué?
  6. \begin{align*}f =\end{align*} _____. Por qué?
  7. Probar el teorema del ángulo exterior remoto: La medida de un ángulo exterior en un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores remotos. Para empezar, podrías usar lo siguiente: dado el triángulo \begin{align*}ABC\end{align*} como en el diagrama de abajo, probar \begin{align*}m\angle{1} + m\angle{2} = m\angle{4}\end{align*}.

Respuestas

  1. \begin{align*}50^\circ\end{align*}
  2. \begin{align*}90^\circ\end{align*}
  3. \begin{align*}69^\circ\end{align*}
  4. \begin{align*}90^\circ\end{align*}
  5. \begin{align*}21^\circ\end{align*}
  6. \begin{align*} \angle{VTU}\end{align*} y \begin{align*} \angle{TUV}\end{align*} son complementarios. Ya que las medidas de los tres ánggulos del triángulo deben sumar \begin{align*}180^\circ,\end{align*} podemos usar el hecho que \begin{align*} \angle{TVU}\end{align*} es un ángulo recto para concluir que \begin{align*} m\angle{VTU} + m\angle{TUV} = 90^\circ\end{align*}
  7. \begin{align*}70^\circ\end{align*}
  8. \begin{align*} a = 68^\circ.\end{align*} \begin{align*}a\end{align*} y \begin{align*}112^\circ\end{align*} suman \begin{align*}180^\circ\end{align*}
  9. \begin{align*} b = 68^\circ\end{align*}. \begin{align*}b\end{align*} es un ángulo interior alterno con \begin{align*}a\end{align*}
  10. \begin{align*} c = 25^\circ\end{align*}. \begin{align*}c\end{align*} es un ángulo interior alterno con la etiqueta \begin{align*}25^\circ\end{align*}
  11. \begin{align*} d = 155^\circ\end{align*}. \begin{align*}d\end{align*} es un par lineal con \begin{align*}c\end{align*}
  12. \begin{align*} e = 43.5^\circ\end{align*}. Usar el teorema de la suma del triángulo con \begin{align*} a + e + e + c = 180^\circ\end{align*} y resolver para \begin{align*}e\end{align*}
  13. \begin{align*} f = 111.5^\circ\end{align*}. Usar el teorema de la suma del triángulo con \begin{align*} f + c + e = 180^\circ\end{align*}
  14. Probaremos esto usando una demostración a dos columnas.
  15. Enunciado Razón
    1. \begin{align*}\triangle{ABC}\end{align*} 1. Dado
    2. \begin{align*}m\angle{1}+m\angle{2}+m\angle{3} = 180^\circ\end{align*} 2. Teorema de la suma del triángulo
    3. \begin{align*}m\angle{3}+m\angle{4}= 180^\circ\end{align*} 3. Postulado de par lineal
    4. \begin{align*}m\angle{1}+m\angle{2}+m\angle{3} = m\angle{3}+m\angle{4}\end{align*} 4. Sustitución
    5. \begin{align*}m\angle{1}+m\angle{2} = m\angle{4}\end{align*} 5. Propiedad de sustracción de la igualdad (sustraer \begin{align*}m\angle{3}\end{align*} en ambos lados)

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