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6.7: Trapezoides

Created by: CK-12

Objetivos de aprendizaje

  • Entender y probar que los ángulos de la base de un trapezoide isósceles son congruentes.
  • Entender y probar que si los ángulos de la base en un trapezoide son congruentes, entonces es un trapezoide isósceles.
  • Entender y probar que las diagonales de un trapezoide isósceles son congruentes.
  • Entender y probar que si las diagonales de un trapezoide son congruentes, el trapezoide es isósceles.
  • Identificar la mediana de un trapezoide y usar sus propiedades.

Introducción

Los trapezoides son figuras particularmente únicas entre los cuadriláteros. Ellos tienen solamente un par de lados paralelos, a diferencia de los rombos, cuadrados y rectángulo, por lo que no son paralelogramos. Existen relaciones especiales en los trapezoides, particularmente en los trapezoides isósceles. Recuerda que los trapezoides isósceles tienen lados no -paralelos que son de losgitudes iguales. Ellos también tienen simetría a lo largo de una líneas que pasa perpendicularmente atravesando ambas bases.

Trapezoide isósceles

Trapezoide no-isósceles

Ángulos de la base en trapezoides isósceles

Previamente aprendiste sobre el teorema de los ángulos de la base. El teorema establece que en un triángulo isósceles, los dos ángulos de la base (opuestos a los lados congruentes) son congruentes. La misma propiedad se mantiene como verdadera para los trapezoides isósceles. Los dos ángulos de la misma base en un triángulo isósceles serán también congruentes. Por consiguiente, esto crea dos pares de ángulos congruentes—un par para cada base.

Teorema: Los ángulos de la base de un trapezoide isósceles son congruentes

Ejemplo 1

Examina el trapezoide ABCD a continuación.

¿Cuánto mide el ángulo ADC?

Este problema requiere de dos pasos para resolverlo. Ya sabes que los ángulos de la base en un triángulo isósceles serán congruentes, pero también necesitas encontrar la relación entre los ángulos adyacentes. Imagina que extiendes los segmentos paralelos \overline {BC} y \overline{AD} del trapezoide y la transversal \overline {AB}. Notarás que el ángulo etiquetado con 115^\circ es un ángulo interior consecutivo de \angle {BAD}.

Los ángulos interiores consecutivos a lo largo de dos líneas paralelas serán suplementarios. Puedes encontrar m \angle{BAD} restando 115^\circ de 180^\circ.

m\angle{BAD} + 115^\circ & = 180^\circ \\m\angle{BAD} & = 65^\circ

De esta manera, \angle {BAD} mide 65^\circ. Como \angle{BCD} está adyacente a la misma base al igual que \angle{ADC} en un trapezoide isósceles, los dos ángulos tienen que ser congruentes. Así, m \angle {ADC} = 65^\circ.

Aquí está un prueba de esta propiedad.

  • Dado: El trapezoide isósceles TRAP con \overline {TR} \| \overline {PA} y \overline {TP} \cong \overline {RA}
  • Probar: \angle {PTR} \cong \angle {ART}

Proposición

Razón

1. TRAP es un trapezoide isósceles con \overline {TP} \cong \overline {RA}

1. Dado

2. Extendiendo \overline {AP}

2. Postulado de línea

3. Construyendo \overline {RB} como se muestra en la siguiente figura de manera que \overline {RB} \| \overline {TP}

3. Postulado de paralelismo

TRAP con marcas y líneas auxiliares añadidas

4. TRBR es un paralelogramo

4. Definición de un paralelogramo

5. \angle {PBR} \cong \angle {PTR}

5. Los ángulos opuestos en un paralelogramo son \cong

6. \overline {BR} \cong \overline {TP}

6. Los lados opuestos en un paralelogramo son congruentes

7. \triangle {ABR} es isósceles

7. Definición de triángulo isósceles

8. \angle {RAB} \cong \angle {ABR}

8. Los ángulos de la base en un triángulo isósceles son \cong

9. \angle {ART} \cong \angle {RAB}

9. Teorema de ángulos internos alternos

10. \angle {ART} \cong \angle {ABR}

10. Propiedad transitiva de \cong

11. \angle {PTR} \cong \angle {ART}

11. Propiedad transitiva de \cong \blacklozenge

Identificar trapezoides isósceles por medio de los ángulos de base

En la última lección, aprendiste sobre las proposiciones bicondicionales y recíprocas. Aprendiste precisamente que si un trapezoide es un trapezoide isósceles, entonces los ángulos de la base son congruentes. La recíproca de esta proposición también es verdadera. Si un trapezoide tiene dos ángulos congruentes a lo largo de la misma base, entonces es un trapezoide isósceles. Puedes usar este hecho para identificar longitudes en diferentes trapezoides.

Primero, probaremos que esta recíproca es verdadera.

Teorema: Si dos ángulos de una base de un trapezoide son congruentes, entonces el trapezoide es un trapezoide isósceles

  • Dado: El trapezoide ZOID con \overline {ZD} \| \overline {OI} y \angle {OZD} \cong \angle {ZDI}
  • Probar: \overline {ZO} \cong \overline {ID}

Esta prueba es muy similar a la anterior y también depende de las propiedades del triángulo isósceles.

Proposición

Razón

1. El trapezoide ZOID tiene \overline {ZO} \| \overline {OI} y \angle {OZD} \cong \angle {ZDI}

1. Dado

2. Construyendo \overline {OA} \| \overline {ID}

2. Postulado de paralelismo

3. \angle {ZAO} \cong \angle {ADI}

3. Postulado de ángulos correspondientes

4. AOID es un paralelogramo

4. Definición de paralelogramo

5. \overline {AO} \cong \overline {ID}

5. Los lados opuestos de un paralelogramo son \cong

Trapezoide ZOID con líneas auxiliares

6. \angle {OZA} \cong \angle {OAZ}

6. Propiedad transitiva

7. \triangle {OZA} es isósceles

7. Definición de triángulo isósceles

8. \overline {OZ} \cong \overline {OA}

8. Recíproco del teorema de los ángulos de la base

9. \overline {OZ} \cong \overline {ID}

9. Propiedad transitiva \blacklozenge

Ejemplo 2

¿Cuál es la longitud de MN en el siguiente trapezoide?

Fíjate que en el trapezoide LMNO, los dos ángulos de la base han sido marcados como congruentes. Así que el trapezoide es isósceles. Esto significa que los lados no-paralelos tienen la misma longitud. Como estás buscando encontrar la longitud de \overline {MN}, esta será congruente a \overline {LO}. Así que MN = 3\;\mathrm{pies} .

Las diagonales en los trapezoides isósceles

Los ángulos en los trapezoides isósceles son importantes de estudiar, por lo que sus diagonales también. Las diagonales en un trapezoide isósceles no necesariamente serán perpendiculares como en los rombos y los cuadrados. A pesar de eso, serán congruentes. Siempre que encuentres un trapezoide que es isósceles, sus dos diagonales serán congruentes.

Teorema: Las diagonales en un trapezoide isósceles son congruentes

Ejemplo 3

Revisa la siguiente prueba de dos columnas.

  • Dado: WXYZ es un trapezoide y \overline {WZ} \cong \overline {XY}
  • Probar: \overline {WY} \cong \overline {XZ}

Proposición

Razón

1. \overline {WZ} \cong \overline {XY}

1. Dado

2. \angle {WZY} \cong \angle {XYZ}

2. Los ángulos de la base en un trapezoide isósceles son congruentes

3. \overline {ZY} \cong \overline {ZY}

3. Propiedad reflexiva.

4. \triangle {WZY} \cong \triangle {XYZ}

4. SAS \cong SAS

5. \overline {WY} \cong \overline {XZ}

5. Las partes correspondientes de triángulos congruentes son también congruentes

De esta manera, las dos diagonales de un trapezoide isósceles son congruentes. Esto será verdadero para cualquier trapezoide isósceles.

Identificando trapezoides isósceles por medio de sus diagonales

La recíproca de la proposición del teorema que establece que las diagonales en un triángulo isósceles son congruentes también es verdadera. Si un trapezoide tiene diagonales congruentes, entonces es un trapezoide isósceles. Para encontrar las longitudes puedes usar tanto las medidas mostradas en un diagrama como la fórmula de la distancia. Si puedes probar que las diagonales son congruentes, entonces puedes identificar que el trapezoide es isósceles.

Teorema: Si un trapezoide tiene diagonales congruentes, entonces es un trapezoide isósceles

Ejemplo 4

¿Es isósceles el siguiente trapezoide del plano cartesiano?

Es cierto que podrías encontrar las longitudes de los dos lados para saber si se trata o no de un trapezoide isósceles; pero para los fines de esta lección, compara las longitudes de las diagonales.

Comienza encontrando la longitud de \overline{GJ}. Las coordenadas de G son (2,5) y las coordenadas de J son (7,-1).

GJ &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\&= \sqrt{(7-2)^2 + (-1-5)^2} \\&= \sqrt{(5)^2 + (-6)^2} \\&=\sqrt{25 + 36} \\&= \sqrt{61}

Ahora encuentra la longitud de \overline{HK}. Las coordenadas de H son (5,5) y las coordenadas de K son (0,-1).

HK &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\&= \sqrt{(0-5)^2 + ((-1)-5)^2} \\&= \sqrt{(-5)^2 + (-6)^2} \\&=\sqrt{25 + 36} \\&= \sqrt{61}

De esta manera hemos demostrado que las diagonales son congruentes. GJ=HK=\sqrt {61}. Así que el trapezoide GHJK es isósceles.

Medianas de los trapezoides

Los trapezoides también pueden tener segmentos dibujados en su interior llamados medianas. La mediana de un trapezoide es un segmento que conecta los centros de los lados no-paralelos en un trapezoide. La mediana está ubicada a la mitad de las bases de un trapezoide.

Ejemplo 5

En el siguiente trapezoide DEFG , el segmento XY es una mediana. ¿Cuál es la longitud de \overline {EX}?

La mediana de un trapezoide es un segmento que está equidistante de ambas bases, así que la longitud de \overline {EX} será igual a la mitad de la longitud de \overline {EF}. Como ya sabes que EF = 8\;\mathrm{inches}, puedes dividir este valor entre 2. Así que XE es 4\;\mathrm{pulgadas} .

Teorema: La longitud de la mediana de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de las longitudes de sus bases

Este teorema puede ser ilustrado con el ejemplo anterior,

XY & = \frac{FG + ED} {2}\\XY & = \frac{4 + 10} {2}\\XY & = 7

Por consiguiente, la medida del segmento XY es 7\;\mathrm{pulgadas} . Dejaremos la prueba de este teorema a manera de ejercicio, pero es similar a la prueba que la longitud del segmento medio de un triángulo es igual a la mitad de la longitud de su base.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos los trapezoides. Específicamente, aprendimos:

  • A entender y a probar que los ángulos de la base de un trapezoide son congruentes.
  • A entender que si los ángulos de la base de un trapezoide son congruentes, entonces es un trapezoide isósceles.
  • Entender que las diagonales de un trapezoide isósceles son congruentes.
  • Entender que si las diagonlaes de un trapezooide son congruentes, se trata de un trapezoide isósceles.
  • Identificar las propiedades de la mediana de un trapezoide.

Es útil tener la capacidad de identificar las propiedades específicas de los trapezoides. Serás capaz de usar esta información de varias maneras diferentes.

Preguntas de repaso

Usa la siguiente figura para los ejercicios 1-2.

  1.  m \angle ADC =
  2.  m \angle BCD =

Usa la siguiente figura para los ejercicios 3-5.

 m \angle APR = 73^\circ

TP = 11.5 \;\mathrm{cm}

  1.  m \angle RAP =
  2.  AR = ________
  3.  m \angle ATR =

Usa el siguiente diagrama para los ejercicios 6-7.

  1.  m \angle MAE =
  2.  EA =
  3. ¿Pueden ser congruentes los lados paralelos de un trapezoide? ¿Por que sí o por qué no? Usa un boceto para ilustrar tu respuesta.
  4. ¿Pueden bisectarse entre si las diagonales de un trapezoide? ¿Por que sí o por qué no? Usa un boceto para ilustrar tu respuesta.
  5. Prueba que la longitud de la mediana de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de las longitudes de las bases.

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. 40^\circ
  2. 140^\circ
  3. 17^\circ
  4. 11.5 \;\mathrm{cm}
  5. 107^\circ
  6. 84^\circ
  7. 18 \;\mathrm{cm}
  8. No, si los lados paralelos (y, por definición, los opuestos) de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero TIENE que ser un paralelogramo. Cuando tú lo dibujas, los otros dos lados deben ser paralelos y congruentes entre si (probado en una sección previa).
  9. No, si las diagonales de un trapezoide se bisectan entre si, entonces tienes un paralelogramo. Esto también fue probado en una sección previa.
  10. Usaremos una prueba de párrafo. Comienza con el trapezoide ABCD y el segmento medio \overline{FE}. Ahora, usando el postulado de paralelismo, construye una línea que pasa por el punto A y que es paralela a \overline{CD}. Etiqueta las nuevas intersecciones como se muestra a continuación: Ahora, el cuadrilátero AGCD es un paralelgoramo por construcción. Así, el teorema de los lados opuestos de un paralelogramo nos dice que AD = GC = HE. El teorema del segmento medio nos dice que FH = \frac{1} {2} BG o BG = 2FH De esta manera, \frac{BC + AD} {2} & = \frac{BG + GC + AD} {2}\ && \text{por el postulado de adicion de segmentos} \\& = \frac{2FH + 2HE} {2} && \text{por sustitucion} \\& = FH + HE &&  \text{factorando y cancelando el}\ 2 \\& = FE &&  \text{por el postulado de adicion de segmentos, ¡Lo que es exactamente lo que queriamos demostrar!}

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