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7.1: Razones y proporciones

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Objetivos de aprendizaje

En esta lección aprenderas a:

  • Escribir y simplificar razones.
  • Formular proporciones.
  • Utilizar razones y proporciones para resolver problemas.

Introducción

La palabras pueden tener diferentes significados, o aún matices de significados. A menudo el significado exacto depende del contexto dentro del cual se usa una palabra. En este capítulo, usarás la palabra semejante.

¿Cuál es el significado de semejante en lenguaje común? ¿Es una rosa semejante a un tulipán? Ciertamente ambas son flores. ¿Es un elefante semejante a un burro? Ambos son mamífereos (¡Y símbolos de partidos polìticos de Estados Unidos!). ¿Tal vez tú dirías que, más bien, un sofá es semejante a una silla? En términos generales, por semejante queremos decir que las cosas se parecen a otras, de alguna o varias maneras, pero pueden no ser lo mismo.

El término semejante tiene un significado muy preciso en geometría, tal como veremos en lecciones venideras. Para entender lo que significa semejante, tenemos que revisar primero algunos conocimientos y destrezas básicas de razones y proporciones

Uso de las razones

Una razón es un tipo de fracción. Usualmente, una razón es una fracción que compara dos partes. “ La razón de x ay” puede escribirse de diferentes maneras.

  • \frac {x}{y}
  • x: y
  • x a y

Ejemplo 1

Observa los datos que siguen abajo, los cuales corresponden a las ventas de Bagel Bonanza en un día específico.

Ventas del lunes de Bagel Bonanza

Tipo de bagel Cantidad vendida
Sencillo 80
Canela y pasas 30
Sésamo 25
Ajo 20
Integral (grano entero) 45
Con todo 50

a) ¿Cuál es la razón de la cantidad vendida de bagels de canela y pasas a la cantidad vendida de bagels sencillos?

Razón del tipo canela y pasas al tipo sencillo = \frac{30}{80}, 30: 80, ó 30 a 80.

Nota: Dependiendo del problema, las razones a menudo se escriben en su forma más simple . En este caso del ejemplo anterior, la razón puede reducirse o simplificarse porque \frac{30}{80} = \frac{3}{8}.

b) ¿Cuál es la razón, expresada en su forma más simple, de la cantidad vendida de bagels de grano entero a la cantidad vendida de bagels con todo?

La razón del la cantidad de bagels de grano entero (integrales) a la cantidad de bagels con todo = \frac{45}{50} = \frac{9}{10},9:10, ó 9 a 10.

c) ¿Cuál es la razón, expresada en su forma más simple, de la cantidad vendida de bagels con todo a la cantidad vendida de bagels de grano entero?

Respuesta: Esta razón es justamente el inverso de la razón en b. Si la razón de los bagels de grano entero a los bagels con todo es, \frac{45}{50} = \frac{9}{10}, 9: 10, ó 9 a 10, entonces la razón de los bagels con todo a los bagels de grano entero es, \frac{10}{9}, 10: 9, ó 10 a 9.

d. ¿Cuál es la razón, en su formas más simple, del número vendido de bagels de sésamo al número de todos los bagels vendidos?

Primero encontramos el número total de bagels vendidos: 80 + 30 + 25 + 20 + 45 + 50 = 250.

Así, la razón del número de bagels de sésamo al total de bagels vendidos = \frac{25}{250} = \frac{1}{10}, 1:10, ó 1 a 10.

Nota que este resultado tambien significa que \frac{1}{10}, es decir que el10\% de todos los bagels vendidos fueron de sésamo.

En algunas situaciones necesitas escribir una razón de más de dos números. Por ejemplo, la razón, en su forma más simple, del número de bagels de canela y pasas al número de bagels de sésamo al número de bagels de ajo es 6:5:430:25:20 antes de simplificar).

Ejemplo 2

Un show de talentos presenta únicamente bailarines y cantantes.

  • La razón de bailarines a cantantes es 3:2.
  • Hay un total de 30 artistas

¿Cuántos cantantes hay en el show?

Existe un número entero n tal que el número total de cada grupo se puede representar como

\text{bailarines} = 3n,\ \text{cantantes} = 2n.

Dado que hay 30 artistas en total (bailarines y cantantes), resulta que:

3n+2n &=30 \\5n &= 30\\n&= 6

El número de bailarines es 3n = 3 \cdot 6 = 18. El número de cantantes es 2n = 2 \cdot 6 = 12. Resulta sencillo comprobar estas respuestas. El número de bailarines y cantantes debe hacer un total de 30 y, además, deben encontrarse en una razón de 3-\;\mathrm{to}-2.

Comprueba: 18 + 12 = 30. La razón de bailarines a cantantes es \frac{18}{12} = \frac{3}{2}, ó de 3 a 2.

Proporciones

Una proporción es una ecuación. Los dos miembros de la ecuación son razones iguales entre sí. Las proporcione son encontradas en situaciones de variación directa. Un diagrama a escala podría ser un buen ejemplo.

Ejemplo 3

Leo utiliza un diagrama a escala de su granero. El registra las medidas reales y las longitudes en un diagrama a escala que representa las medidas reales.

Dimensiones del granero
Longitud real Longitud en el diagrama a escala
Apertura de la puerta

16 \;\mathrm{pies}

4  \;\mathrm{pulgadas}

Pared interior

25\;\mathrm{pies}

6.25\;\mathrm{pulgadas}

Tubería o conducto del agua

10\;\mathrm{pies}

?

a) Puesto que Leo está usando un diagrama a escala, la razón de la longitud actual a la longitud del diagrama a escala debería ser el mismo todo el tiempo. Podemos escribir dos razones que deberían ser iguales. Esta es, precisamente, la proporción mostrada abajo.

\frac{16} {4} = \frac{25} {6.25}

¿Es correcta dicha proporción?

Podríamos escribir fracciónes con un denominador común. Un común denominador es 4 \times 6.25.

\frac{16} {4} =? \frac{25} {6.25} \Rightarrow \frac{16 \cdot 6.25} {4 \cdot 6.25} =? \frac{25 \cdot 4} {6.25 \cdot 4} \Rightarrow \frac{100} {25} = \frac{100} {25}.

La proporción es correcta.

b)De acuerdo a tu propio razonamiento de la situación, pudiste haber escrito una proporción diferente. Tú podrías decir que la razón de las longitudes reales debe ser idéntica a la razón de las longitudes en el diagrama a escala.

\frac{16} {25} =? \frac{4} {6.25} \Rightarrow \frac{16 \cdot 6.25} {25 \cdot 6.25} =? \frac{4 \cdot 25} {6.25 \cdot 25} \Rightarrow \frac{100} {25 \cdot 6.25} = \frac{100} {6.25 \cdot 25}.

Esta proporción es también correcta. Una ventaja que se tiene al trabajar con proporciones es que existen varias proporciones que representan correctamente los mismos datos.

c) ¿Qué longitud debería usar Leo en el diagrama a escala para representar la tubería de agua?

Sea x la longitud de la escala. Escribe una proporción.

\left [\frac{\text{escala}} {\text{real}} \right] \Rightarrow \frac{16} {4} = \frac{10} {x} \Rightarrow \frac{16x} {4x} = \frac{10 \cdot 4} {x(4)} \Rightarrow \frac{16x} {4x} = \frac{40} {4x}

Si dos fracciones son iguales, y ellas tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales.

16x = 40 \Rightarrow x = \frac{40} {16} = 2.5

La longitud de las escala para representar la tubería de agua es 2.5\;\mathrm{pulgadas}.

Nota que la escala para este diagrama puede expresarse como 1\;\mathrm{pulgada} a 4\;\mathrm{pies}, ó \frac{1}{4}\;\mathrm{de pulgada} a 1\;\mathrm{pie}.

Proporciones y productos cruzados

Observa el ejemplo 3b, arriba.

\frac{16} {25} = \frac{4} {6.25} \Rightarrow \frac{16 \cdot 6.25} {25 \cdot 6.25} = \frac{4 \cdot 25} {6.25 \cdot 25}

\frac{16} {25} = \frac{4} {6.25} es verdadera si y solo si 16 \cdot 6.25 = 4 \cdot 25.

En la proporción, \frac{16}{25} = \frac{4}{6.25}, 25 y 4 son conocidos como los (valores) medios (ellos se encuentran al centro); por otra parte, 16 y 6.25 son conocidos como los (valores) extremos (ya que se encuentran ubicados al inicio y al final). Puedes observar que para que la proporción sea correcta, el producto de los medios (25 \cdot 4) debe ser igual al producto de los extremos (16 \cdot 6.25). Para nuestro caso, ambos productos son iguales a 100.

Es fácil generalizar esta regla de medios y extremos para cualquier proporción verdadera.

Teorema de los extremos y los medios, o teorema de la multiplicación cruzada.

Teorema de la multiplicación cruzada Sean a, b, c, y d números reales, con b \ne 0 y d \ne 0.

Si  \frac{a}{b} = \frac{c}{d} entonces ad = bc.

La prueba del teorema de la multiplicación cruzada está en el ejemplo 4. La prueba de su recíproco se deja en la sección de ejercicios.

Ejemplo 4

Prueba el teorema de la multiplicación cruzada: Para números reales a, b, c, y d con b \ne 0 y d \ne 0, si \frac{a} {b} = \frac{c} {d}, entoncesad = bc.

Comenzaremos por resumir la información proporcionada y lo que deseamos probar. Luego, usaremos una prueba a dos columnas.

  • Dado que: a, b, c, yd son números reales, con b \ne 0,d \ne 0, y\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
  • Probar: ad = bc
Proposición Justificación

1. a, b, c, yd son números reales, con b\ne0 yd\ne0

1. Dado que

2. \frac{a} {b} = \frac{c} {d}

2. Dado que

3. \frac{a} {b}\cdot \frac{d} {d} = \frac{c} {d} \cdot \frac{b} {b}

3. \frac{d} {d} = \frac{b} {b} = 1, Propiedad del inverso multiplicativo

4. \frac{a} {b} \cdot \frac{d} {d} = \frac{b} {b} \cdot \frac{c} {d}

4. Propiedad conmutativa de la multiplicación

5. a \cdot d = b \cdot c o ad = bc

5. Si fracciones iguales tienen el mismo denominador, entonces los numeradores deben ser iguales \blacklozenge

Este teorema te permite utilizar el método de la multiplicación cruzada en situaciones que involucran proporciones.

Resumen de la lección

Las razones constituyen una forma útil para comparar cantidades y cosas. Las proporciones son razones que son iguales entre sí. El teorema de los medios y los extremos es un método simple pero muy efectivo para resolver cualquier proporción.

Puntos a considerar

Las proporciones son muy “generosas”—existen muchas formas diferentes de escribir proporciones que son equivalentes entre sí. En la sección de ejercicios se presentan algunas muestras de ellas. En la siguiente lección, probaremos que dichas proporciones son equivalenetes.

Tu conoces el significado de figuras que son congruentes. Pero muchas figuras que son parecidas no son congruentes. De hecho, pueden tener la misma forma, aunque no tengan el mismo tamaño. Estas figuras se denominan semejantes (o similares). Las razones y proporciones son imprescindibles para definir y entender figuras semejantes.

Ejercicios de repaso

Los votos para la elección del presidente de un club fueron las siguientes:

\text{Suarez}, 24 && \text{Milhone}, 32 && \text{Cho}, 20

  1. Escribe cada uno de las siguientes razones en su forma más simple.
    1. Votos de Milhone a los votos de Suarez
    2. Votos de Cho a los votos de Milhone
    3. Votos de Suarez a los votos de Milhone a los votos de Cho
    4. Votos de Suarez o Cho al total de votos

    Utiliza el diagrama que sigue para el ejercicio 2.

  2. Escribe cada una de las siguientes razones en su forma más simple.
    1. MN: MQ
    2. MN: NP
    3. NP: MN
    4. MN: MP
    5. \;\mathrm{\text{\'{a}rea\ de}}\ MNRQ: \;\mathrm{\text{\'{a}rea\ de}}\ NPSR
    6. \;\mathrm{\text{\'{a}rea\ de}}\ NPSR: \;\mathrm{\text{\'{a}rea\ de}}\ MNRQ
    7. \;\mathrm{\text{\'{a}rea\ de}}\ MNRQ: \;\mathrm{\text{\'{a}rea\ de}}\ MPSQ
  3. Las medidas de los ángulos de un triángulo están en razón de 3: 3: 4. ¿Cuáles son las medidas de cada uno de dichos ángulos?
  4. La longitud y el ancho de un rectángulo se relacionan a razón de 3: 5. El área del rectángulo es 540\;\mathrm{pulgadas\ cuadradas}. ¿Cuánto miden su longitud y su ancho?
  5. Probar el recíproco del teorema 7-1: Para números realesa, b, c, y d,, con b \ne 0 y d \ne 0, ad = bc \Rightarrow a/b = c/d.

Dado que: a, b, c, y que d son números reales con b \ne 0, d \ne 0 y ad = bc

Probar que: \frac{a} {b} = \frac{c} {d}

  1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas para todos los números reales a, b, c,,d, b \ne 0 y d \ne 0?
    1. Si \frac{a} {b} = \frac{c} {d} entonces \frac{a} {d} = \frac{c} {b}.
    2. Si \frac{a} {b} = \frac{c} {d} entonces \frac{a} {c} = \frac{b} {d}.
    3. Si \frac{a} {b} = \frac{c} {d} entonces\frac{b} {a} = \frac{d} {c}.
    4. Si \frac{a} {b} = \frac{c} {d} entonces\frac{b} {c} = \frac{a} {d}.
  2. Resuelve cada proporción para w.
    1. \frac{6} {w} = \frac{4} {5}
    2. \frac{w} {3} = \frac{12} {w}
    3. \frac{3} {4} = \frac{w} {w+2}
  3. Shawna condujo su automóvil 245\;\mathrm{millas} y utilizó 8.2\;\mathrm{galones} de gasolina. A esa rapidez de consumo de combustible, ella utilizaría x\;\mathrm{galones} de gasolina para recorrer416\;\mathrm{millas}. Escribe una proporción que pueda usarse para encontrar el valor de x.
  4. Resuelve la proporción que encontraste en el ejercicio 8. ¿Cuánta gasolina esperaría utilizar Shawna para recorrer 416\;\mathrm{millas}?
  5. Rashid, Leon, y Maria son compañeros en una empresa. Ellos se reparten las ganancias a razón de 3: 2: 4, donde Rashid obtiene la mayor parte y Leon la menor. En el año In 2006 la compañía tuvo una ganancia total de \$1,800,000. ¿Qué parte recibió cada persona de dicha ganancia?

Respuestas a los ejercicios de repaso

    1. 4: 3
    2. 5: 8
    3. 6: 8: 5
    4. 11: 19
    1. 1:1
    2. 2:1
    3. 1:2
    4. 2:3
    5. 2:1
    6. 1:2
    7. 2:3
  1. 54^\circ, 54^\circ, 72^\circ
  2. 30\;\mathrm{pulgadas} y 18\;\mathrm{pulgadas}
  3. Proposición Justificación

    A. a, b, c, and d son números reales, con b\ne0 y d\ne0

    A. Dado que

    B. \frac{a} {b} = \frac{c} {d}

    B. Dado que
    C. \frac{ad} {bd} = \frac{bc} {bd} C. Aritmética
    D. \frac{a} {b} \times \frac{d} {d} = \frac{b} {b} \times \frac{c} {d} D. Aritmética
    E. \frac{a} {b} = \frac{c} {d} E. \frac{d} {d} = \frac{b} {b} = 1, propiedad identidad en las igualdades
    1. No
    2. No
    1. w = 7.5
    2. w = 6 ó w = -6
    3. w = 6
  1. \frac{245} {8.2} = \frac{416} {x} o su equivalente
  2. x \approx 13.9. A esa rapidez de consumo, ella utilizaría 13.9\;\mathrm{galones} de gasolina.
  3. Rashid obtiene \$ 800,000, Leon recibe \$ 400,000, mientras que Maria obtiene \$ 600,000.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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