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7.8: Auto semejazas (Fractales)

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Objetivos del aprendizaje

  • Reconocer el concepto de la auto semejanzas.
  • Ampliar el patrón en una figura auto semejante.

Introducción

En esta lección aprenderás sobre los patrones llamados fractales En lugar de usar una definición de formal, trabajaremos con unos pocos ejemplos para darte una idea de las auto semejanzas. En cada ejemplo, serás capaz de ver que posteriores etapas de un patrón guardan una relación de semejanza con la imagen original.

Ejemplo 1

El conjunto de Cantor

EL patrón en el diagrama de abajo es llamado conjunto de Cantor, nombrado así por un matemático de finales de 1800.

El patrón continua, veamos por que este patrón es llamado de "auto semejanza".

Mira la parte circular del patrón.

Puedes ver que cada parte del segundo nivel es similar a las del nivel 1 pero con un factor de escala de \frac{1}{3} . La misma relación continua an cada nivel que se construye a partir del nivel anterior.

Ejemplo 2

Triángulo de Sierpinski

Para construir un triángulo de Sierpinski, empieza con un triángulo rectángulo. (De hecho cualquier triángulo puede utilizarse) Este es el punto de partida.

Ahora conecta los puntos medios de los lados del triángulo y sombrea el triángulo en el centro.

Este es el nivel 1

Ahora repite los pasos para crear el segundo nivel:

  • Conecta los puntos medios de los lados de los triángulos sin sombrear para formar triángulos más pequeños.
  • Sombrea cada uno de los triángulos centrales.

Sierpinski Triangle

Este es el nivel 2

El patrón continua, como se muestra abajo:

Para ver algunos buenos ejemplos de los triángulos de Sierpinski visita el siguiente enlace:

Ahora veamos como el triángulo de Sierpinski Triangle es auto semejante.

Mirá el triángulo que se delineado arriba. ¿Podrías probar que que los patrón delineado es similar al patrón del nivel 1? Es por esta relación que el triángulo de Sierpinski es auto semejante.

Nota tecnológica - Software de geometría

Usa software de geometría para crear el siguiente nivel, o niveles, del triángulo de Sierpinski.

Resumen de la lección

Fractales y auto semejanzas son un desarrollo geométrico bastante reciente. Los patrones son interesantes, y para ellos se ha descubierto una aplicación en el estudio de varios campos naturales y hechos por el hombre. Niveles sucesivos de patrones fractales son todos similares a los niveles previos.

Puntos a considerar

Tú podrías querer aprender más sobre fractales. Usa un motor de busqueda para encontrar más información en el internet sobre fractales.

Preguntas de repaso

Usa el conjunto de Cantor para responder a las preguntas 1-6.

  1. ¿Cuántos segmentos hay en el nivel 3?
  2. Si el segmento en el nivel inicial es 1\;\mathrm{unidad} de largo, ¿Qué tan largo es cada segmento en el nivel 2?
  3. ¿Cuántos segmentos hay en el nivel 4?
  4. ¿Cuántos segmentos hay en el nivel 10?
  5. ¿Cuántos segmentos hay en el nivel n?
  6. Si el segmento en el inicio tiene S\;\mathrm{unidades} de largo, ¿Qué tan largo es cada segmento en el nivel n?

Usa el triángulo de Sierpinski para responder a las preguntas 7-13.

  1. ¿Cuántos triángulos sin sombrear hay en el nivel 2?
  2. ¿Cuántos triángulos sin sombrear hay en el nivel 3?
  3. ¿Cuántos triángulos sin sombrear hay en el nivel n?

Supón que el área del triángulo del nivel de inicio es 1.

  1. ¿Cuál es el área total de la parte sin sombrear en el nivel 1?
  2. ¿Cuál es el área sin sombrear de la parte sin sombrear en el nivel 2?
  3. ¿Cuál es el área de la parte sin sombrear del nivel n?
  4. Explica como sabes que la parte delineada en el nivel 2 es semejante a la del nivel 1.

Nota tecnológica - Software de geometría

Usa el software de geometría para crear el siguiente nivel del patrón fractal mostrado abajo.

Todas las líneas deben de ser rectas y todos los ángulos rectos.

Todas las líneas deben de ser rectas y todos los ángulos rectos.

Respuestas a las preguntas de repaso

  1. 8
  2. \frac{1}{9}
  3. 16
  4. 1024
  5. 2^n
  6. \frac{S}{3^n}
  7. 9
  8. 27
  9. 3^n
  10. \frac{3}{4}
  11. \frac{9}{16}
  12. \left( \frac{3}{4} \right )^2
  13. Los segmentos medios de un triángulo lo dividen en cuatro triángulos congruentes, cada uno de los cuales es semejante al triángulo original.

Todas las líneas deben de ser rectas y todos lo ángulos deben de ser rectos.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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