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8.1: El teorema de Pitágoras

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Objetivos de aprendizaje

  • Identificar y emplear el Teorema de Pitágoras cuando se trabaja con triángulos rectángulos.
  • Identificar Ternas Pitagóricas comunes.
  • Usar el Teorema Pitagórico para encontrar el área de triángulos Isósceles.
  • Usar el Teorema de Pitágoras para obtener la fórmula de la distancia en una cuadrícula de coordenadas.

Introducción

El triángulo de abajo es un triángulo rectángulo.

Los lados marcados a y b son llamados los catetos de un triángulo y ellos se encuentran en el ángulo recto. El tercer lado, marcado c es llamado la hipotenusa. La hipotenusa es opuesta al ángulo recto. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es también el lado más largo.

El Teorema de Pitágoras establece que la longitud de la hipotenusa al cuadrado será igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos. En el triángulo de arriba, la suma de los cuadrados de los catetos es a^2 + b^2 y el cuadrado de la hipotenusa es c^2.

El Teorema de Pitágoras : Dado un triángulo rectángulo con catetos cuyas longitudes son a y b y una hipotenusa de longitud c,

a^2 + b^2 = c^2

Se cuidadoso cuando usas este teorema—tú debes asegurarte que los lados están marcados a y b y la hipotenusa está marcada c para usar esta ecuación. Una forma más precisa para escribir el Teorema de Pitágoras es:

(\text{cateto}_1)^2 + (\text{cateto}_2)^2 = \text{hipotenusa}^2

Ejemplo 1

Usar las longitudes de los lados del siguiente triángulo para probar el Teorema de Pitágoras.

Los lados del triángulo de arriba son 3\;\mathrm{pulgadas} y 4\;\mathrm{pulgadas} . La hipotenusa es 5\;\mathrm{pulgadas} . Entonces, a = 3 , b = 4, y c = 5. Podemos sustituir estos valores en la fórmula para el Teorema de Pitágoras para verificar que la relación funciona:

a^2+b^2 &= c^2\\3^2+4^2 &= 5^2\\9+16 &= 25\\25 &=25

Ya que ambos lados de la ecuación son iguales a 25, la ecuación es verdadera. Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras funciona en este triángulo rectángulo.

Prueba del teorema de Pitágoras

Existen muchas formas para probar el Teorema de Pitágoras. Una de las formas más directas es usar triángulos semejantes. Empieza con un triángulo rectángulo y construye una altitud desde el ángulo recto a los lados opuestos. En la figura de abajo, podemos ver las siguientes relaciones:

Prueba.

  • Dado: \triangle WXY como se muestra en la figura de abajo
  • Probar: a^{2}+b^{2}=c^{2}

Primero comenzamos con un enunciado de semejanza de triángulos:

\triangle{WXY} \sim \triangle{WZX} \sim \triangle{XZY}

Estos son todos verdaderos por el postulado de semejanza de triángulo AA .
Ahora, usando triángulos semejantes, podemos establecer las proporciones siguientes:

\frac{d}{a} &= \frac{a}{c} \\a^2 &= dc

y

\frac{e}{b} &= \frac{b}{c} \\b^2 &= ec

Colocando juntas estas ecuaciones usando sustitución,

a^2 + b^2 = dc + ec

factorizando el lado derecho,

a^2 + b^2 = c(d+e)

pero nota d + e = c, por lo que se convierte en

a^2 + b^2 = c(c)

a^2 + b^2 = c^2. \blacklozenge

Hemos terminado de probar el Teorema de Pitágoras. Existen cientos de otras formas para probar el Teorema de Pitágoras y una de esas pruebas alternativas está en los ejercicios de esta sección.

Haciendo uso del teorema de Pitágoras

Como sabes desde el algebra, si tú tienes una variable desconocida en una ecuación, tú puedes resolverla para encontrar su valor. Por lo tanto, si tú conoces, las longitudes de dos de tres lados en un triángulo rectángulo, puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado faltante, si es un cateto o una hipotenusa. Se cuidadoso en usar operaciones inversas correctamente y evitar errores por descuido.

Ejemplo 2

Cuál es la longitud de b en el triángulo de abajo?

Usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado faltante, b. Establecer la ecuación a^2+b^2=c^2, dejando a=6 y b=10. Asegúrate de simplificar los exponentes y raíces cuidadosamente, recuerda usar operaciones inversas para resolver la ecuación, y siempre guarda ambos lados de la ecuación balanceada.

a^2 + b^2 &= c^2\\6^2+b^2&=10^2\\36+b^2&=100\\36+b^2-36&=100-36\\b^2&=64\\\sqrt{b^2}&=\sqrt{64}\\b&=\pm 8\\b&=8

En álgebra aprendiste que \sqrt{x^2}=\pm x porque, por ejemplo, (5)^2=(-5)^2=25. Sin embargo, en este caso (y en muchos de la geometría), solo estamos interesados en la solución positiva de b=\sqrt{64} porque longitudes geométricas son positivas. Entonces, en el ejemplo 2, podemos hacer caso omiso de la solución b=-8, y nuestra respuesta final es b=8\;\mathrm{pulgadas}.

Ejemplo 3

Encontrar la longitud del lado faltante en el triángulo de abajo.

Usar el Teorema de Pitágoras para establecer y resolver una ecuación y resolver el lado faltante. Dejar a = 5 y b = 12.

a^2 + b^2 &= c^2\\5^2+12^2&=c^2\\25+144&=c^2\\169&=c^2\\\sqrt{169}&=\sqrt{c^2}\\13&=c

Entonces, la longitud del lado faltante es 13\;\mathrm{centímetros}.

Uso de ternas Pitagóricas

En el ejemplo 1, los lados del triángulo eran 3 , 4, y 5. Esta combinación de números se conoce como una Terna Pitagórica. Una Terna Pitagórica son tres números que hacen el Teorema de Pitágoras verdadero y ellos son enteros (números enteros sin decimales o fracción). A través de este capítulo, también usarás otras ternas Pitagóricas. Por ejemplo, el triángulo en el ejemplo 2 es proporcional a la misma relación de 3:4:5. si tu divides las longitudes del triángulo en el ejemplo 2 (6, 8, 10) por dos, encuentras la misma proporción —3:4:5. Siempre que encuentras una terna Pitagórica, puedes aplicar esas proporciones con mayores factores también. Finalmente, toma nota de las longitudes de los lados del triángulo en el ejemplo 3—5:12:13. Esto, también es una terna Pitagórica. Puedes extrapolar que esta proporción, multiplicada por factores más grandes , también arrojará números que satisfacen el Teorema de Pitágoras.

Existen infinitas ternas Pitagóricas, pero unas de las más comúnes y sus múltiplos son:

Triple \times 2 \times 3 \times 4
3-4-5 6-8-10 9-12-15 12-16-20
5-12-13 10-24-26 15-36-39 20-48-52
7-24-25 14-48-50 21-72-75 28-96-100
8-15-17 16-30-34 24-45-51 32-60-68

Area de un triángulo Isósceles

Existen muchas aplicaciones del Teorema de Pitágoras. Una forma de usar el Teorema de Pitágoras es identificar las alturas en triángulos isósceles así puedes calcular el área. El área de un triángulo es la mitad del producto de su base y su altura (también llamada altitud). Esta fórmula se muestra abajo.

A = \frac{1} {2} bh

If you are given the base and the sides of an isosceles triangle, you can use the Pythagorean Theorem to calculate the height. Recall that the height (altitude) of a triangle is the length of a segment from one angle in the triangle perpendicular to the opposite side. In this case we focus on the altitude of isosceles triangles going from the vertex angle to the base.

Ejemplo 4

Cuál es la altura del triángulo de abajo?

Para encontrar el área de este triángulo isósceles, tú necesitarás saber la altura en adición a la base. Dibujar en la altura conectando el vértice del triángulo con la base en el ángulo recto.

Ya que el triángulo es isósceles, la altitud dividirá la base. Eso significa que lo dividirá en dos partes congruentes, o partes iguales. Así, tú puedes identificar la longitud de una mitad de la base como 4\;\mathrm{centímetros}.

Si tú observas al triángulo más pequeño ahora inscrito en la figura original, notarás que es un triángulo rectángulo con un lado 4 e hipotenusa 5. Entonces, este es un triángulo 3:4:5 . Si el lado es 4\;\mathrm{cm} y la hipotenusa es 5\;\mathrm{cm}, el lado faltante debe ser 3\;\mathrm{cm}. Entonces, la altura del triángulo isósceles es 3\;\mathrm{cm}.

Usar esta información junto con la medida original de la base para encontrar el área del triángulo isósceles completo .

A &= \frac{1} {2} bh\\ &= \frac{1} {2} (8) (3)\\ &= \frac{1} {2} (24)\\ &= 12

El área del triángulo Isósceles completo es 12\;\mathrm{cm}^2.

La fórmula de distancia

Tú ya has aprendido que puedes usar el Teorema de Pitágoras para entender diferentes tipos de triángulos rectángulos, encontrar longitudes faltantes, e identificar ternas Pitagóricas. También puedes aplicar el Teorema de Pitágoras a una cuadrícula de coordenadas y aprender como usarla para encontrar distancias entre puntos.

Ejemplo 5

Observa los puntos en la cuadrícula de abajo.

Encontrar la longitud del segmento conectando (1,5) y (5,2).

La pregunta te pide identificar la longitud del segmento. Porque el segmento no es paralelo a cualquiera de los ejes, es difícil medir dada la cuadrícula de coordenadas. Sin embargo, es posible pensar en este segmento como la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Dibujar una línea vertical en x = 1 y una línea horizontal en y = 2 y encontrar el punto de intersección. Este punto representa el tercer vértice en el triángulo rectángulo.

Tú puedes contar fácilmente las longitudes de los lados de este triángulo en la cuadrícula. El lado vertical se extiende desde (1,2) a (1,5), entonces es |5-2|=|3|=3\;\mathrm{unidades} de largo. El lado horizontal se extiende desde (1,2) (5,2), entonces es |5-1|=|4|=4\;\mathrm{unidades} de largo. Usar el Teorema de Pitágoras con estos valores para las longitudes de cada lado para encontrar la longitud de la hipotenusa.

a^2 + b^2 &= c^2\\3^2+4^2&=c^2\\9+16&=c^2\\25&=c^2\\\sqrt{25}&=\sqrt{c^2}\\5&=c

El segmento conectando (1,5) y (5,2) es 5\;\mathrm{unidades} de largo.

Los matemáticos han simplificado este proceso y creado una fórmula que usa estos pasos para encontrar la distancia entre dos puntos cualquiera en el plano de coordenas. Si tú usas la fórmula de la distancia, no tienes que dibujar las líneas extra.

Fórmula de la Distancia: Dado los puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2), la longitud del segmento conectando esos dos puntos es  D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Ejemplo 6

Usar la fórmula de distancia D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} para encontrar la distancia entre los puntos (1,5) y (5,2) en una cuadrícula de coordenadas.

Tú ya sabes desde el ejemplo 1 que la distancia será 5\;\mathrm{unidades}, pero puedes practicar usando la fórmula de la distancia para estar seguro que funciona. En esta fórmula, sustituir 1 por x_1 , 5 para y_1 , 5 por x_2, y 2 por y_2 porque (1,5) y (5,2) son los dos puntos en cuestión.

D &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\&= \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - 5)^2}\\&= \sqrt{(4)^2 + (-3)^2}\\&= \sqrt{16 + 9}\\&= \sqrt{25}\\&= 5

Ahora ves que no importa que método uses para resolver este problema, la distancia entre (1,5) y (5,2) en una cuadrícula coordenada es 5\;\mathrm{unidades}.

Resumen de la lección

En esta lección, exploramos, como trabajar con diferentes expresiones radicales ambas en teoría y en situaciones prácticas. Específicamente, hemos aprendido:

  • Como identificar y emplear el Teorema de Pitágoras cuando trabajamos con ángulos rectos.
  • Cómo identificar ternas Pitagóricas comunes.
  • Cómo usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el área de triángulos Isósceles.
  • Cómo usar el Teorema de Pitágoras para deducir la fórmula de distancia en una cuadrícula de coordenadas.

Estas habilidades te ayudarán a resolver muchos diferentes tipos de problemas. Debes estar siempre atento a nuevas e interesantes formas de aplicar el Teorema de Pitágoras a situaciones matemáticas.

Puntos a considerar

Ahora que tú has aprendido el Teorema de Pitágoras, existen formas incontables de aplicarlo. Podrías usar el Teorema de Pitágoras para probar que un triángulo contenía un ángulo recto si no tenías un diagrama preciso?

Ejercicios de repaso

  1. Cual es la distancia entre (-5,-5) y (-2,-1)?
  2. Forman los números 12, 16, y 20 una terna Pitagórica?
  3. Cual es la longitud de p en el triángulo de abajo?
  4. Forman los números 13 , 26, y 35 una terna Pitagórica?
  5. Cual es la distancia entre (1,9) y (9,4)?
  6. Cual es la longitud de m en el triángulo de abajo?
  7. Cual es la distancia entre (-3,7) y (6,5)?
  8. Cual es el área del  \triangle TRN de abajo?
  9. Cuál es el área del triángulo de abajo?
  10. Cuál es el área del triángulo?
  11. Una prueba alternativa de un Teorema de Pitágoras utiliza el área de un cuadrado. El diagrama de abajo muestra un cuadrado con longitudes laterales  a + b, y un cuadrado interior con longitudes laterales c. Usa el diagrama de abajo para probar a^2 + b^2 = c^2. Pista: Encuentra el área del cuadrado interior en dos formas: una directamente, y una encontrando el área del cuadrado más grande y restando el área de cada triángulo.

Respuestas

  1. 5
  2. si
  3. 17\;\mathrm{pulgadas}
  4. no
  5. \sqrt{89}
  6. 15\;\mathrm{pulgadas}
  7. \sqrt{85}
  8. 300\;\mathrm{milímetros cuadrados}
  9. 240\;\mathrm{pies cuadrados}
  10. 60\;\mathrm{yardas cuadradas}
  11. Prueba. El plan es, que encontraremos el área del cuadrado verde en dos formas. Ya que esas dos áreas deben ser iguales, podemos establecer esas áreas iguales entre si. Para el cuadro interior (en verde), podemos calcular directamente el área:  \text{Area del cuadrado interior} = c^2. Ahora, el área del cuadrado grande exterior es (a+b)^2. No olvides multiplicar este binomial cuidadosamente! \text{area} &= (a+b)^2\\&=(a+b)(a+b)\\&=a^2+2ab+b^2 El área de cada triángulo pequeño (en amarillo) es  \text{area} = \frac{1}{2} ab . Ya que existen cuatro de esos triángulos rectángulos, tenemos el área combinada  4\left(\frac {1}{2}ab \right) = 2ab Finalmente, sustraer el área de los cuatro triángulos amarillos del área del triángulo grande, y nos queda \text{cuadrado grande}-\text{cuatro triángulos} & = \text{area del cuadrado interior}\\a^2+ 2ab + b^2 -2ab & = a^2 + b^2 Juntando las dos diferentes formas para encontrar el área del cuadrado interior, tenemos  a^2 + b^2 = c^2.

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