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8.2: Inverso del teorema de Pitágoras

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Objetivos de aprendizaje

  • Entender el inverso del Teorema de Pitágoras.
  • Identificar ángulos agudos a partir de las medidas de los lados.
  • Identificar triángulos obtusos a partir de las medidas de los lados.
  • Clasificar triángulos en formas diferentes.

Inverso del teorema de Pitágoras

En la última lección, aprendiste sobre el Teorema de Pitágoras y como puede ser usado. Como recuerdas, establece que la suma de los cuadrados de los lados de cualquier triángulo rectángulo será igual al cuadrado de la hipotenusa. Si las longitudes de los lados están marcados a y b, y la hipotenusa es c, entonces obtenemos la ecuación:

a^2 + b^2 = c^2

El Inverso del Teorema de Pitágoras también es verdadero. Eso es, si las longitudes de tres lados de un triángulo forman la ecuación a^2+b^2=c^2 verdadera, entonces representan los lados de un triángulo rectángulo.

Con este inverso, puedes usar el Teorema de Pitágoras para probar que un triángulo es un triángulo rectángulo, aún si no conoces ninguna de las medidas de los ángulos del triángulo.

Ejemplo 1

Contiene el triángulo de abajo un ángulo recto?

Este triángulo no tiene ningún ángulo recto marcado o la medida de los ángulos, entonces tú no puedes asumir que sabes si el triángulo es agudo, recto, u obtuso con sólo observarlo. Toma un momento para analizar las longitudes de los lados y observa como están relacionados. Dos de los lados (15 y 17) son relativamente cercanos en longitud. El tercer lado (8) es aproximadamente la mitad de la longitud de los dos lados más largos.

Para ver si el triángulo podría ser rectángulo, puedes tratar sustituyendo las longitudes de los lados en el Teorema de Pitágoras para ver si hacen la ecuación verdadera. La hipotenusa es siempre el lado más largo, entonces 17 debería ser sustituido por c. Los otros dos valores pueden representar a y b y el orden no es importante.

a^2 + b^2 &= c^2\\8^2 + 15^2 &= 17^2\\64 + 225 &= 289\\289 &= 289

Ya que ambos lados de la ecuación son iguales, estos valores satisfacen el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, el triángulo descrito en el problema es un triángulo rectángulo.

En resumen, el ejemplo 1 muestra como puedes usar el opuesto del Teorema de Pitágoras. El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo con lados a y b, y la hipotenusa c, a^2 + b^2 = c^2. El inverso del Teorema de Pitágoras establece que si a^2 + b^2 = c^2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Identificando triángulos Agudos

Usando el inverso del Teorema de Pitágoras, puedes identificar si los triángulos contienen o no un ángulo recto. De todas formas, si un triángulo no contiene un ángulo recto, aún puedes aprender más acerca del triángulo usando la fórmula del Teorema de Pitágoras. Si la suma de los cuadrados de dos lados más cortos de un triángulo es mayor que el cuadrado del lado más largo, el triángulo es agudo (todos los ángulos son menores que 90^\circ). En símbolos, si a^2+b^2>c^2 entonces el triángulo es agudo.

Identificar los lados "corto" y "largo" podría parecer ambiguo si los lados tienen la misma longitud, pero en este caso cualquier ordenamiento de lados iguales conduce al mismo resultado. Por ejemplo, un triángulo equilátero siempre satisface a^2+b^2 > c^2 y entonces es agudo.

Ejemplo 2

Es el triángulo de abajo agudo o rectángulo?

Los dos lados más cortos del triángulo son 8 y 13. El lado más largo del triángulo es 15. Primero encontrar la suma de los cuadrados de los lados más cortos.

8^2 + 13^2 &= c^2\\64+169 &=c^2\\233&=c^2

La suma de los cuadrados de los dos lados más cortos es 233. Compara esto al cuadrado del lado más largo, 15.

15^2=225

El cuadrado del lado más largo 225. Ya que 8^2+13^2=233\neq 255=15^2, este triángulo no es un triángulo rectángulo. Compara los dos valores para identificar cual es mayor.

233 > 225

La suma de los cuadrados de los lados más cortos es mayor que el cuadrado del lado más largo. Por lo tanto, este es un triángulo agudo.

Identificando triángulos Obtusos

Como probablemente te has dado cuenta, puedes probar que un triángulo es obtuso (tiene un ángulo mayor que 90^\circ) usando un método similar. Encontrar la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos en un triángulo . Si este valor es menor que el cuadrado del lado más largo, el triángulo es obtuso. En símbolos, a^2+b^2<c^2, entonces el triángulo es obtuso. Puedes resolver este problema de manera casi idéntica al ejemplo 2 de arriba.

Ejemplo 3

Es el triángulo de abajo agudo u obtuso?

Los dos lados más cortos del triángulo son 5 y 6. El lado más largo del triángulo es 10. Primero encontrar la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos.

a^2 + b^2 &= 5^2+6^2\\&= 25+36\\&= 61

La suma de los cuadrados de los lados más cortos es 61. Comparar esto con el cuadrado del lado más largo, 10.

10^2=100

El cuadrado del lado más largo es 100. Ya que 5^2+6^2 \neq 100^2, este triángulo no es un triángulo rectángulo. Comparar los dos valores para identificar cual es mayor.

61 < 100

Ya que la suma del cuadrado de los lados más cortos es menor que el cuadrado del lado más largo, este es un triángulo obtuso.

Clasificación de triángulos

Ahora que conoces las ideas presentadas en esta lección, puedes clasificar cualquier triángulo como rectángulo, agudo, u obtuso dadas las longitudes de los tres lados. Comienza por ordenar los lados del triángulo desde el más pequeño al más grande, y sustituye las longitudes de los tres lados en la ecuación dada por el Teorema de Pitágoras usando a \le b < c. Asegúrate de usar el lado más largo para la hipotenusa.

  • Si a^2 + b^2 = c^2, la figura es un triángulo rectángulo.
  • Si a^2 + b^2 > c^2, la figura es un triángulo agudo.
  • Si a^2 + b^2 < c^2, la figura es un triángulo obtuso.

Ejemplo 4

Clasificar el triángulo de abajo como rectángulo, agudo, u obtuso.

Los dos lados más cortos del triángulo son 9 y 11. El lado más largo del triángulo es 14. Primero encuentra la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos.

a^2+b^2 &= 9^2 + 11^2\\&= 81 + 121 \\&= 202

La suma de los cuadrados de los dos lados más cortos es 202. Comparar esto con el cuadrado del lado más largo, 14.

14^2=196

El cuadrado del lado más largo es 196. Por lo tanto, los dos valores no son iguales, a^2+b^2\neq c^2 y este triángulo no es un triángulo rectángulo. Compara los dos valores, a^2+b^2 y c^2 para identificar cual es mayor.

202 > 196

Ya que la suma del cuadrado de los lados más cortos es mayor que el cuadrado del lado más largo, este es un triángulo agudo.

Ejemplo 5

Clasificar el triángulo de abajo como rectángulo, agudo u obtuso.

Los dos lados más cortos del triángulo son 16 y 30. El lado más largo del triángulo es 34. Primero encuentra la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos.

a^2+b^2 &= 16^2 + 30^2\\&= 256+900\\&=1156

La suma de los cuadrados de los dos lados es 1,156. Comparar esto al cuadrado del lado más largo, 34.

c^2=34^2=1156

El cuadrado del lado más largo es 1,156. Ya que estos dos valores son iguales, a^2+b^2=c^2, y esto es un triángulo rectángulo.

Resumen de la Lección

En esta lección, exploramos como trabajar con expresiones radicales diferentes, ambas en teoría y situaciones practicas. Específicamente, hemos aprendido:

  • Como usar el inverso del Teorema de Pitágoras para probar que un triángulo es rectángulo.
  • Como identificar triángulos agudos a partir de las medidas de los lados.
  • Como identificar triángulos obtusos a partir de las medidas de los lados.
  • Como clasificar triángulos en formas diferentes.

Estas habilidades te ayudarán a resolver diferentes tipos de problemas. Siempre debes estar en la búsqueda de nuevas e interesantes formas de aplicar el Teorema de Pitágoras y su inverso a situaciones matemáticas.

Puntos a considerar

Usar el Teorema de Pitágoras para explorar las relaciones en triángulos rectángulos comunes. Encuentras que los lados son proporcionados?

Ejercicios de repaso

Resolver cada problema.

Para los ejercicios del 1-8, clasificar el siguiente triángulo como agudo, obtuso, o recto basado en la longitud de los lados dados. Nota que, la figura no está a escala.

  1. a = 9\;\mathrm{pulg},\ b = 12\;\mathrm{pulg},\ c = 15\;\mathrm{pulg}
  2. a = 7\;\mathrm{cm},\ b = 7\;\mathrm{cm}, c = 8\;\mathrm{cm}
  3. a = 4\;\mathrm{m},\ b = 8\;\mathrm{m},\ c = 10\;\mathrm{m}
  4. a = 10\;\mathrm{pies},\ b = 22\;\mathrm{ft}, c = 23\;\mathrm{pies}
  5. a = 21\;\mathrm{cm},\ b = 28\;\mathrm{cm},\ c = 35\;\mathrm{cm}
  6. a = 10\;\mathrm{pies},\ b = 12\;\mathrm{pies},\ c = 14\;\mathrm{pies}
  7. a = 15\;\mathrm{m},\ b = 18\;\mathrm{m},\ c = 30\;\mathrm{m}
  8. a = 5\;\mathrm{pulg},\ b = \sqrt{75}\;\mathrm{pulg},\ c = 110\;\mathrm{pulg}
  9. En el triángulo de abajo, que lados deberías usar para los catetos (usualmente llamados a ,y b) y la hipotenusa (usualmente llamada c), en el Teorema de Pitágoras? Cómo sabes?
    1.   m\angle A=
    2.   m\angle B=

Respuestas

  1. Rectángulo
  2. Agudo
  3. Obtuso
  4. Agudo
  5. Rectángulo
  6. Agudo
  7. Obtuso
  8. Obtuso
  9. El lado con longitud   \sqrt 13 debería ser la hipotenusa ya que es el lado más largo. El orden de los catetos no importa
  10.  m\angle A=45^\circ , m\angle B=90^\circ

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Feb 23, 2012

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Apr 29, 2014
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