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8.8: Triángulos Agudos y Obtusos

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Objetivos de aprendizaje

  • Identificar y usar la ley de senos.
  • Identificar y usar la ley de Cosenos.

Introducción

Trigonometría es is most commonly learned on right triangles, pero las proporciones pueden tener usos para otro tipo de triángulos también. Esta lección se enfoca en como puedes aplicar las proporciones de seno y coseno a los ángulos en triángulos agudos o triángulos obtusos. Recuerda que en un triángulo agudo, todos los ángulos miden menos de 90^\circ. En un triángulo obtuso, habrá un ángulo que tiene una medida que es mayor que 90^\circ.

La ley de senos

La Ley de senos establece que en cualquier triángulo, la proporción de la longitud de un lado con el seno del ángulo opuesto a él será constante. Eso es, la proporción es la misma para los tres ángulos y sus lados opuestos. En consecuencia, si encuentras la proporción, puedes usarla para encontrar la medida del ángulo faltante y las longitudes de los lados.

\frac{a} {\mathrm{sen A}} = \frac{b} {\mathrm{sen B}} = \frac{c} {\mathrm {sen C}}

Observa la convención que A denota \angle{A} y a es la longitud del lado opuesto a \angle{A}.

Ejemplo 1

Examina el triángulo en el siguiente diagrama.

Cual es la longitud del lado llamado j?

Puedes usar la ley de senos para resolver este problema. Porque tienes un lado y el ángulo opuesto, puedes encontrar la constante que aplica a todo el triángulo. Esta proporción será igual a la proporción del lado j y \angle{J}. Puedes usar tu calculadora para encontrar el valor de los senos.

\frac{h} {\sin{H}} &= \frac{j} {\sin{J}}\\\frac{6} {\sin{38}} &= \frac{7} {\sin{70}} \\\frac{6} {0.616} &= \frac{j} {0.940} \\9.74 &= \frac{j} {0.940} \\9.2 &\approx j

Entonces, usando la ley de los senos, la longitud de j es 9.2\;\mathrm{metros}.

Ejemplo 2

Examina el triángulo en el siguiente diagrama.

Cuanto mide \angle{S}?

Puedes usar la ley de los senos para resolver este problema. Porque tienes un lado y el ángulo opuesto a él, puedes encontrar la constante que aplica a todo el triángulo. Esta proporción será igual a la proporción del lado r y el ángulo R. Puedes usar tu calculadora para encontrar el valor de los senos.

\frac{r} {\sin{R}} &= \frac{s} {\sin{S}} \\\frac{5} {\sin{53}} &= \frac{5.26} {\sin{S}} \\\frac{5} {0.788} &= \frac{5.26} {\sin{S}} \\6.345 &= \frac{5.26} {\sin{S}} \\(6.345) \cdot \sin{S} &= 5.26 \\\sin{S} &= \frac{5.26}{6.345} \\\sin{S} &= 0.829 \\\arcsin{(\sin{S})} &= \arcsin{0.829} \\m\angle{S} &\approx 56^\circ

Entonces, usando la ley de los senos, el ángulo llamado S debe medir 56^\circ.

La ley de Cosenos

Existe otra ley que funciona en triángulos agudos y obtusos además de los triángulos rectángulos. La Ley de cosenos usa la proporción de coseno para identificar tanto longitudes de lados y ángulos faltantes. Para usar la ley de cosenos, debes tener tanto la medida de los tres lados, o la medida de dos lados y la medida del ángulo incluido.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(\cos{C})

No importa como asignes las variables a los tres lados del triángulo, pero el ángulo C debe ser opuesto al lado c.

Ejemplo 3

Examina el triángulo en el siguiente diagrama.

Cuanto mide el lado \overline{EF}?

Usa la ley de cosenos para encontrar EF. Ya que \overline{EF} es opuesto a \angle{D}, llamaremos a la longitud de \overline{EF} con la letra d.

d^2 &= e^2 + f^2 -2ab (\cos{D}) \\d^2 &= (6)^2 + (7)^2 -2(6)(7)(\cos{60}) \\ d^2 &= 36 + 49 - 84(\cos{60}) \\d^2 &= 85 - 84(0.5) \\d^2 &= 85 - 42 \\d^2 &= 43 \\d &= \sqrt{43} \\d&\approx 6.56

Así que, EF tiene 6.56\;\mathrm{pulgadas}.

Ejemplo 4

Examina el triángulo en el siguiente diagrama.

Cuanto mide \angle{X}?

Usa la ley de cosenos para encontrar la medida de \angle{X}.

x^2 &= y^2 + z^2 - 2yz(\cos{X}) \\ (5.39)^2 &= (5)^2 + (7.6)^2 - 2(7.6)(5)(\cos{X}) \\29.05 &= 25 + 57.76 - 76(\cos{X}) \\29.05 &= 82.76 - 76(\cos{X}) \\-53.71 &= -76(\cos{X}) \\0.707 &= (\cos{X}) \\\arccos{(0.707)} &= \arccos{(cos{X})} \\45^\circ &\approx m\angle{X}

Así que, m\angle{X} tiene 45^\circ.

Resumen de la Lección

En esta lección, exploramos como trabajar con diferentes expresiones radicales tanto en teoría como en situaciones prácticas. Especificamente, hemos aprendido:

  • como identificar y usar la ley de los senos.
  • como identificar y usar la ley de los cosenos.

Estas habilidades te ayudaran a resolver muchos diferentes tipos de problemas. Siempre debes estar en la búsqueda de nuevas e interesantes formas de encontrar relaciones entre los lados y los ángulos en un triángulo.

Ejercicios de Repaso

Los ejercicios 1 y 2 usan el triángulo del siguiente diagrama.

  1. Cual es la longitud del lado BC?
  2. Cual es m\angle{C}?
  3. Examina el triángulo en el siguiente diagrama. Cuanto mide \angle{F}?
  4. Examina el triángulo en el siguiente diagrama. Cuanto mide \angle{I}?
  5. Examina el triángulo en el siguiente diagrama. Cuanto mide el lado KL?
  6. Examina el triángulo en el siguiente diagrama. Cuanto mide \angle{O}? Usa el triángulo en el siguiente diagrama para los ejercicios 7 y 8.
  7. What is the measure of \angle{P}?
  8. What is the measure of \angle{Q}?
  9. Examine the triangle in the following diagram. Cuanto mide \angle{T}?
  10. Examina el triángulo en el siguiente diagrama. Cuanto mide \angle{W}?

Respuestas

  1. 8\;\mathrm{pulgadas}
  2. 47.6^\circ
  3. 48^\circ
  4. 83^\circ
  5. 16.5\;\mathrm{pulgadas}
  6. 22.3^\circ
  7. 40^\circ
  8. 48.6^\circ
  9. 35^\circ
  10. 78^\circ

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