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9.1: Acerca de los Círculos

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Objetivos de aprendizaje

  • Distinguir entre radio, diámetro, cuerda, tangente, y secante de un círculo.
  • Encontrar las relaciones entre círculos congruentes y similares.
  • Examinar polígonos inscritos y circunscritos.
  • Escribir la ecuación de un círculo.

Círculo, Centro, Radio

Un círculo está definido como el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia desde un punto específico llamado el centro del círculo. Nota que el círculo consiste solamente en la curva pero no en el área dentro de la curva. La distancia desde el centro al círculo es llamada el radio del círculo.

Con frecuencia marcamos el centro con una letra mayúscula y nos referimos al círculo con esa letra. Por ejemplo, el círculo de abajo es llamado círculo A o \bigodot A.

Círculos Congruentes

Dos círculos son congruentes si tienen el mismo radio, a pesar de dónde estén localizados sus centros. Por ejemplo, todos los círculos que tienen un radio de 2\;\text{cent\'{i}metros} son congruentes entre sí. De forma similar, todos los círculos con un radio de 254\;\mathrm{millas} son congruentes entre sí. Si los círculos no son congruentes, entonces ellos son semejantes con la relación de similitud dada por la relación de sus radios.

Ejemplo 1

Determinar que círculos son congruentes y cuales círculos son semejantes. Para círculos semejantes encontrar la relación de semejanza.

\bigodot A y \bigodot D son congruentes ya que ambos tienen un radio de \ 4\;\mathrm{cm}.

\bigodot A y \bigodot B son semejantes con una relación de semejanza de \ 1:2.

\bigodot A y \bigodot C son semejantes con una relación de semejanza de \ 1:3.

\bigodot B y \bigodot C son semejantes con una relación de semejanza de \ 2:3.

\bigodot B y \bigodot D son semejantes con una relación de semejanza de \ 2:1.

\bigodot C y \bigodot D son semejantes con una relación de semejanza de \ 3:1.

Cuerda, Diámetro, Secante

Una cuerda está definida como un segmento de una línea que comienza en un punto en el círculo y termina en otro punto en el círculo.

Una cuerda que pasa por el centro del círculo es llamada el diámetro del círculo. Nota que el diámetro es el doble del largo del radio del círculo.

Una secante es una línea que corta a través del círculo y continúa infinitamente en ambas direcciones.

Punto de tangencia y tangente

Una línea tangente es definida como una línea que toca el círculo exactamente en un punto. Este punto es llamado el punto de tangencia.

Ejemplo 2

Identificar lo siguiente como secante, cuerda, diámetro, radio, o tangente:

A. \overline{AC}

B. \overline{AB}

C. \overline{GH}

D. \overline{DE}

E. \overline{EF}

F. \overline{BC}

A. \overline{AC} es un diámetro del círculo.

B. \overline{AB} es un radio del círculo.

C. \overline{GH} es una cuerda del círculo.

D. \overline{DE} es una tangente del círculo.

E. \overline{EF} es una secante del círculo.

F. \overline{BC} es un radio del círculo.

Polígonos inscritos y circunscritos

Un polígono convexo cuyos vértices tocan un círculo, se dice que es un polígono inscrito. Un polígono convexo cuyos lados tocan un círculo, se dice que es un polígono circunscrito. Las figuras de abajo muestran ejemplos de polígonos inscritos y circunscritos.

Ecuaciones y gráficos de círculos

Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos que están a a la misma distancia desde un sólo punto llamado el centro. Esta definición puede ser usada para encontrar una ecuación de un círculo en el plano de coordenadas.

Vamos a considerar el círculo mostrado abajo. Como puedes ver, este círculo tiene su centro en el punto (2, 2) y tiene un radio de \ 3.

Todos los puntos x, y en el círculo están a una distancia de 3\;\mathrm{unidades} lejos del centro del círculo.

Podemos expresar esta información como una ecuación con la ayuda del Teorema de Pitágoras. El triángulo recto mostrado en la figura tiene lados de longitud x - 2 y y -2 y una hipotenusa de longitud \ 3. Escribimos:

(x-2)^2 + (y-2)^2 = 9

Podemos generalizar esta ecuación para un círculo con centro en el punto (x_0, y_0) y radio r.

(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2

Ejemplo 3

Encontrar el centro y radio de los siguientes círculos:

A. (x-4)^2 + (y-1)^2 = 25

B. (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4

A. Reescribimos la ecuación como: (x-4)^2 + (y-1)^2 = 5^2. El centro del círculo está en el punto \ (4, 1) y el radio es \ 5.

B. Reescribimos la ecuación como: (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 2^2. El centro del círculo está en el punto \ (-1, 2) y el radio es \ 2.

Ejemplo 4

Graficar los siguientes círculos:

A. x^2 + y^2 = 9

B. (x + 2)^2 + y^2 = 1

Con intención de graficar un círculo, Primero graficamos el punto del centro y luego dibujamos puntos que están en la longitud del radio a partir del centro.

A. Reescribimos la ecuación como: (x-0)^2 + (y-0)^2=3^2. El centro del círculo es el punto en \ (0, 0) y el radio es \ 3.

B. Reescribimos la ecuación como: (x-(-2))^2 + (y-0)^2 = 1^2. El centro del círculo es el punto en \ (-2, 0) y el radio es \ 1.

Ejemplo 5

Escribir la ecuación del círculo en el gráfico.

Desde el gráfico podemos ver que el centro del círculo está en el punto \ (-2, 2) y el radio es 3\;\mathrm{unidades} de longitud.

Así que la ecuación es:

(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 9

Ejemplo 6

Determinar si el punto \ (1, 3) está en el círculo dado por la ecuación: (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 16.

Con el fin de encontrar la respuesta, simplemente introducimos el punto (1, 3) en la ecuación del círculo.

(1 - 1)^2 + (3 + 1)^2 &= 16\\ 0^2 + 4^2 &= 16

El punto \ (1, 3) satisface la ecuación del círculo.

Ejemplo 7

Encontrar la ecuación del círculo cuyo diámetro se extiende desde el punto A = (-3, -2) a B = ( 1, 4).

La ecuación general de un círculo es: (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2

Con el fin de escribir la ecuación del círculo en este ejemplo, necesitamos encontrar el centro del círculo y el radio del círculo.

Vamos a graficar los dos puntos en el plano de coordenadas.

Observamos que el centro del círculo debe estar en medio del diámetro.

En otras palabras, el punto del centro está entre los dos puntos A y B. Para ir desde el punto A al punto B, debemos viajar 4\;\mathrm{unidades} a la derecha y 6\;\mathrm{unidades} arriba. Para ir a la mitad desde el punto A al punto B, debemos viajar 2\;\mathrm{unidades} a la derecha y 3\;\mathrm{unidades} arriba. Esto significa que el centro del círculo está en el punto (-3 + 2, -2 + 3) o (-1, 1).

Encontramos la longitud del radio usando el Teorema de Pitágoras:

r^2 = 2^2 + 3^2 \Rightarrow r^2 = 13 \Rightarrow r = \sqrt{13}

Así, la ecuación del círculo es: (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 13.

Completando el Cuadrado:

Tú observas que la ecuación de un círculo con centro en el punto (x_0, y_0) y radio r está dada por:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2

A esto le llamamos la forma estándar de la ecuación del círculo. La forma estándar es muy útil porque nos dice inmediatamente el centro y el radio del círculo.

Si la ecuación del círculo no está en forma estándar, usamos el método de completar el cuadrado para reescribir la ecuación en la forma estándar.

Ejemplo 8

Encontrar el centro y radio de los siguientes círculos y dibujar un gráfico del círculo.

x^2 - 4x + y^2 - 6y + 9 = 0

Para encontrar el centro y el radio del círculo necesitamos reescribir la ecuación en forma estándard. La ecuación estándar tiene dos factores cuadrados perfectos, uno para los términos x y otro para los términos y . Necesitamos completar el cuadrado para los términos x y los términos y separadamente.

x^2 - 4x + \underline{\;\;\;\;} + y^2 - 6y + \underline{\;\;\;\;} + 9 = \underline{\;\;\;\;} + \underline{\;\;\;\;}

Para completar los cuadrados, necesitamos encontrar que constantes nos permiten factorizar cada trinomio en un cuadrado perfecto. Para completar el cuadrado para los términos x necesitamos sumar una constante de 4 en ambos lados.

x^2 - 4x + \underline{\;4\;} + y^2 - 6y + \underline{\;\;\;\;} + 9 = \underline{\;4\;} + \underline{\;\;\;\;}

Para completar el cuadrado para los términos y necesitamos sumar una constante de 9 en ambos lados.

x^2 - 4x + \underline{\;4\;} + y^2 - 6y + \underline{\;9\;} + 9 = \underline{\;4\;} + \underline{\;9\;}

Podemos factorizar los trinomios separados y obtener:

(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 9 = 13

Esto se simplifica como:

(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4

Tú puedes ver ahora que el centro del círculo está en el punto (2, 3) y el radio es 2.

Círculos Concéntricos

Círculos Concéntricos son círculos de diferentes radios que comparten el mismo centro.

Ejemplo 9

Escribir las ecuaciones de los círculos concéntricos mostrados en el gráfico.

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 &= 4\\ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 &= 9\\(x - 3)^2 + (y - 2)^2 &= 16\\(x - 3)^2 + (y - 2)^2 &= 25

Ejemplo 10

Determinar si los círculos dados por las ecuaciones Determine x^2 - 10x + y^2 - 12y + 57 = 0 y x^2 - 10x + y^2 - 12y + 36 = 0 son concéntricos.

Para encontrar la respuesta a esta ecuación, debemos reescribir las ecuaciones de los círculos en forma estándar y encontrar el centro de cada círculo.

Para reescribir en forma estándar, completamos el cuadrado en los términos x y y separadamente.

Primer círculo:

x^2 - 10x + \underline{\;\;\;\;} + y^2 - 12y + \underline{\;\;\;\;} + 57 & = \underline{\;\;\;\;} + \underline{\;\;\;\;}\\x^2 - 10x + \underline{\,25\,} + y^2 - 12y + \underline{\,36\,} + 57 & = \underline{\,25\,} + \underline{\,36\,}\\(x - 5)^2 + (y - 6)^2 + 57 & = 61\\(x - 5)^2 + (y - 6)^2 & = 4

El centro del primer círculo está también en el punto (5, 6) entonces los círculos son concéntricos.

Segundo círculo:

x^2 - 10x + \underline{\;\;\;\;} + y^2 - 12y + \underline{\;\;\;\;} + 36 &= \underline{\;\;\;\;} + \underline{\;\;\;\;}\\x^2 - 10x + \underline{\,25\,} + y^2 - 12y + \underline{\,36\,} + 36 &= \underline{\,25\,} + \underline{\,36\,}\\(x - 5)^2 + (y - 6)^2 + 36 &= 61\\(x - 5)^2 + (y - 6)^2 &= 25

El centro del segundo círculo está en el punto (5, 6).

Resumen de la lección

En esta sección discutimos muchos términos asociados con círculos y observamos los polígonos inscritos y circunscritos. También cubrimos los gráficos de círculos en una cuadrícula de coordenadas y encontrar la ecuación de un círculo. Encontramos que algunas veces necesitamos usar la técnica de completar el cuadrado para encontrar la ecuación de un círculo.

Ejercicios de repaso

  1. Identificar cada uno de los siguientes elementos como diámetro, una cuerda, un radio, una tangente, o una línea secante .
    1. \overline{BG}
    2. \overline{DG}
    3. \overline{DC}
    4. \overline{FE}
    5. \overline{AG}
    6. \overline{DB}
  2. Determinar cual de los siguientes círculos son congruentes y cuales son similares. Para círculos que son semejantes dar la relación de semejanza.

Para los ejercicios 3-8, encontrar el centro y el radio de los círculos:

  1. x^2 + y^2 = 1
  2. (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 81
  3. x^2 + (y - 2)^2 = 4
  4. (x + 6)^2 + (y + 1)^2 =25
  5. Revisar que el punto \ (3, 4) está en el círculo dado por la ecuación x^2 + (y - 4)^2 = 9.
  6. Revisar que el punto \ (-5, 5) esta en el círculo dado por la ecuación (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 50.
  7. Escribir la ecuación del círculo con centro en \ (2, 0) y radio \ 4.
  8. Escribir la ecuación del círculo con centro en \ (4, 5) y radio \ 9.
  9. Escribir la ecuación del círculo con centro en \ (-1, -5) y radio \ 10.

Para 14 y 15, escribir la ecuación de los círculos.

  1. en un círculo con centro \ (4, 1) un punto final del diámetro es \ (-1, 3). Encontrar el otro punto final del diámetro.
  2. Los puntos finales del diámetro de un círculo están dados por los puntos A = (1, 4) y B = (7, 2). Encontrar la ecuación del círculo.
  3. Un círculo tiene centro (0, 4) y contiene el punto (1, 1). Encontrar la ecuación del círculo.
  4. Un círculo tiene centro (-2, -2) y contiene el punto (4, 4). Encontrar la ecuación del círculo .
  5. Encontrar el centro y el radio del siguiente círculo: x^2 + 8x + y^2 - 2y - 19 = 0.
  6. Encontrar el centro y el radio del siguiente círculo : x^2 - 10x + y^2 + 6y -15 =0.
  7. Encontrar el centro y el radio del siguiente círculo: x^2 + 20x + y^2 - 30y + 181 = 0.
  8. Determinar si los círculos dados por las ecuaciones son concéntricos.
    1. x^2 - 4x + y^2 + 2y + 4 = 0 y x^2 - 4x + y^2 + 2y - 31 = 0
    2. x^2 + 6x + y^2 + 8y = 0 y x^2 + 6x + y^2 - 8y + 9 = 0
    3. x^2 + y^2 + 21 = 10y y x^2 + y^2 - 8y = 33
    4. x^2 + y^2 + 26 = 10x + 10y y x^2 + y^2 = 10x + 10y + 14

Respuestas

    1. \overline{BG} es un radio.
    2. \overline{DG} es un diámetro.
    3. \overline{DC} es una tangente.
    4. \overline{FE} es una secante.
    5. \overline{AG} es una cuerda.
    6. \overline{DB} es un radio.
  1. \bigodot L es congruente a \bigodot M ; \bigodot L es semejante a \bigodot N con relación de semejanza 2:7; \bigodot M es semejante a \bigodot N con relación de semejanza 2:7.
  2. El centro está ubicado en (0, 0), \mathrm{radio} = 4.
  3. El centro está ubicado en (-1, -2), \mathrm{radio} = 2.
  4. El centro está ubicado en (0, 0), \mathrm{radio} = 1.
  5. El centro está ubicado en (3, -5), \mathrm{radio} = 9.
  6. El centro está ubicado en (0, 2), \mathrm{radio} = 2.
  7. El centro está ubicado en (-6, -1), \mathrm{radio} = 5.
  8. 3^2 + (4 - 4)^2 = 3^2 = 9. El punto está en el círculo.
  9. (-5 + 3)^2 + (5 + 2)^2 = 4 + 49 = 53 \neq 50. El punto no está en el círculo.
  10. (x - 2)^2 + y^2 = 16
  11. (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 81
  12. (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 100
  13. (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4
  14. x^2 + (y + 1)^2 = 9
  15. (9, -1)
  16. (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 10
  17. x^2 + (y - 4)^2 = 10
  18. (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 72
  19. El centro está ubicado en (-4, 1), \mathrm{radio} = 6.
  20. El centro está ubicado en (5, -3), \mathrm{radio} = 7.
  21. El centro está ubicado en (-10, 15), \mathrm{radio} = 12.
    1. Si
    2. No
    3. No
    4. Si

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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