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9.2: Líneas Tangentes

Difficulty Level: At Grade Created by: CK-12
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Objetivos de aprendizaje

  • Encontrar la relación entre un radio y una tangente al círculo.
  • Encontrar la relación entre dos tangentes procedentes desde el mismo punto.
  • Circunscribir un círculo.
  • Encontrar ecuaciones de círculos concéntricos.

Introducción

En esta sección discutiremos varios teoremas sobre líneas tangentes a círculos y las aplicaciones de estos teormas sobre líneas tangentes a círculos y la aplicación de estos teoremas a problemas de geometría. Recuerda que una tangente a un círculo es una línea que intercepta el círculo exactamente en un punto y que este punto de intersección es llamado punto de tangencia.

Tangente a un círculo

Teorema de Tangencia a un Círculo:

Una línea tangente está siempre en ángulos rectos al radio del círculo en el punto de tangencia.

Prueba. Probaremos este teorema por contradicción.

Comenzamos haciendo un dibujo. \begin{align*}\overline{AB}\end{align*} es el radio del círculo . \begin{align*}A\end{align*} es el centro del círculo y \begin{align*}B\end{align*} es el punto de intersección entre el radio y la línea tangente.

Asumir que la línea tangente no es perpendicular al radio.

Debe haber otro punto \begin{align*}C\end{align*} en la línea tangente tal que \begin{align*}\overline{AC}\end{align*} sea perpendicular a la línea tangente. Por lo tanto, en el triángulo recto \begin{align*}ACB, \overline{AB}\end{align*} es la hipotenusa y \begin{align*}\overline{AC}\end{align*} es un lado del triángulo. Sin embargo, esto no es posible porque \begin{align*}AC > AB\end{align*}. (Nota que \begin{align*}AC =\;\mathrm{longitud \ del \ radio} + DC\end{align*}).

Ya que nuestra suposición nos conduce a una contradicción, esto implica que nuestra suposición era incorrecta. Por lo tanto, la línea tangente debe ser perpendicular al radio del círculo. \begin{align*}\blacklozenge\end{align*}

Ya que la tangente al círculo y el radio del círculo forman un ángulo recto entre sí, podemos usar con frecuencia el Teorema de Pitágoras con el fin de encontrar la longitud de los segmentos de línea que faltan.

Ejemplo 1

En la figura, \begin{align*}\overline{CB}\end{align*} es tangente al círculo. Encontrar \begin{align*}CD\end{align*}.

Ya que \begin{align*}\overline{CB}\end{align*} es tangente al círculo, entonces \begin{align*}\overline{CB}\perp\overline{AB}\end{align*}.

Esto significa que \begin{align*}\triangle ABC\end{align*} es un triángulo recto y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de \begin{align*}\overline{AC}\end{align*}.

\begin{align*}(AC)^2 &= (AB)^2 + (BC)^2\\ (AC)^2 &= 25 + 64 = 89\\ AC &= \sqrt{89} \approx 9.43\ \text{pulg}\\ CD &= AC - AD \approx 9.43 - 5 \approx 4.43\ \text{pulg}\end{align*}

Ejemplo 2

Mark está parado en la cima del Monte Whitney, el cual tiene \begin{align*}14,500\;\mathrm{pies}\end{align*} de altura. El radio de la tierra es aproximadamente \begin{align*}3,960\;\mathrm{millas.}\end{align*} (Hay \begin{align*}5,280\;\mathrm{pies}\end{align*} en una milla.) Que tan lejos puede ver Mark el horizonte?

Comenzamos dibujando la figura de abajo.

La distancia al horizonte esta dada por el segmento de línea \begin{align*}CB\end{align*}.

Permítenos convertir la altura de la montaña de pies a millas.

\begin{align*}14500\ \text{pies} \times \frac {1\ \text{milla}}{5280\ \text{pies}} = 2.75\ \text{millas}\end{align*}

Ya que \begin{align*}\overline{CB}\end{align*} es tangente a la tierra, \begin{align*}\triangle{ABC}\end{align*} es un ángulo recto y podemos usar el Teorema de Pitágoras.

\begin{align*}(AC)^2 &= (CB)^2 + (AB)^2\\ (3960+2.75)^2 &= (CB)^2 + 3960^2\\ CB &= \sqrt{3962.75^2 - 3960^2} \approx 147.6\ \text{millas}\end{align*}

Inversa de una Tangente a un Círculo

Teorema de la Inversa de una Tangente a un Círculo

Si una línea es perpendicular al radio de un círculo en su punto final exterior, entonces la línea es tangente al círculo .

Prueba.

Probaremos este teorema por contradicción. Ya que la línea es perpendicular al radio en su punto final exterior, debe tocar el círculo en el punto \begin{align*}B\end{align*}. Para que esta línea sea tangente al círculo, debe tocar únicamente al círculo en este punto y en ningún otro.

Asumir que la línea también intercepta el círculo en el punto \begin{align*}C\end{align*}.

Ya que ambos \begin{align*}\overline{AB}\end{align*} y \begin{align*}\overline{AC}\end{align*} son radios del círculo, \begin{align*}\overline{AB} \cong \overline{AC}\end{align*}, y \begin{align*}\triangle ABC\end{align*} es isósceles.

Esto significa que \begin{align*}m\angle{ABC} = m\angle{ACB} = 90^\circ\end{align*}.

Es imposible tener dos ángulos rectos en el mismo triángulo.

LLegamos a una contradicción entonces nuestra suposición debe ser incorrecta. Concluimos que la línea \begin{align*}BC\end{align*} es tangente al círculo en el punto \begin{align*}B\end{align*}. \begin{align*}\blacklozenge\end{align*}

Ejemplo 3

Determinar si \begin{align*}\overline{LM}\end{align*} es tangente al círculo.

\begin{align*}\overline{LM}\end{align*} es tangente al círculo si \begin{align*}\overline{LM} \perp\overline{NM}\end{align*}.

Para mostrar que \begin{align*}\triangle{LMN}\end{align*} es un ángulo recto usamos el inverso del Teorema de Pitágoras:

\begin{align*}(LM)^2 + (MN)^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2\end{align*}

Las longitudes de los lados del triángulo satisfacen el Teorema de Pitágoras, entonces \begin{align*}\overline{LM}\end{align*} es perpendicular a \begin{align*}\overline{MN}\end{align*} y es por lo tanto tangente al círculo.

Segmentos de la tangente desde un punto externo común

Teorema de Segmentos de la Tangente desde un Punto Externo Común

Si dos segmentos desde el mismo punto exterior son tangentes al círculo, entonces ellos son congruentes.

Prueba.

La figura de arriba muestra un diagrama de la situación.

  • Dado: \begin{align*}\overline{AC}\end{align*} es tangente al círculo y \begin{align*}\overline{BC}\end{align*} es tangente al círculo
  • Probar: \begin{align*}\overline{AC} \cong \overline{BC}\end{align*}
Enunciado Razón
1. \begin{align*}\overline{AB}\end{align*} es tangente al círculo 1. Dado
2. \begin{align*}\overline{AC} \perp\overline{OA}\end{align*} 2. Teorema de Tangencia a un Círculo
3. \begin{align*}\overline{BC}\end{align*} es tangente al círculo 3. Dado
4. \begin{align*}\overline{BC} \perp\overline{OB}\end{align*} 4. Teorema de Tangencia a un Círculo
5. \begin{align*}\overline{OA} \cong \overline{OB}\end{align*} 5. Radios del mismo círculo
6. \begin{align*}\overline{OC} \cong \overline{OC}\end{align*} 6. Misma línea
7. \begin{align*}\triangle AOC \cong \triangle BOC\end{align*} 7. Congruencia de la Hipotenusa-Lado
8. \begin{align*}\overline{AC} \cong \overline{BC}\end{align*} 8. Partes Congruentes de Triángulos Congruentes son Congruentes \begin{align*}\blacklozenge\end{align*}

Ejemplo 4

Encontrar el Perímetro del Triángulo.

Todos los lados del triángulo son tangentes al círculo.

El teorema de Segmentos de la Tangente desde un Punto Externo Común nos dice que:

\begin{align*}& CE = FC = 7\ \text{cm} &&\\ & FA = AD = 8\ \text{cm} &&\\ & DB = BE = 12\ \text{cm} &&\\ & \text{El per\'{i}metro del tri\'{a}ngulo} && = AF + FC + CE + EB + BD + AD \\ &&& = 8\ \text{cm} + 7\ \text{cm} + 7\ \text{cm} + 12\ \text{cm} + 12\ \text{cm} + 8\ \text{cm} = 54\ \text{cm}\end{align*}

Ejemplo 5

Un triángulo recto isósceles está circunscrito sobre un círculo con diámetro de \begin{align*}24\;\mathrm{pulgadas}\end{align*}. Encontrar la hipotenusa del triángulo.

Vamos a comenzar haciendo un esquema.

Ya que \begin{align*}\overline{EO}\end{align*} y \begin{align*}\overline{DO}\end{align*} son radios del círculo y \begin{align*}\overline{AC}\end{align*} y \begin{align*}\overline{AB}\end{align*} son tangentes al círculo,

\begin{align*}\overline{EO} \perp\overline{AC}\end{align*} y \begin{align*}\overline{DO} \perp\overline{AB}\end{align*}.

Por lo tanto, el cuadrilátero, \begin{align*}ADOE\end{align*} es un cuadrado.

Por lo tanto, \begin{align*}AE = AD = 12 \;\mathrm{pulg.}\end{align*}

Podemos encontrar la longitud del lado \begin{align*}\overline{ED}\end{align*} usando el Teorema de Pitágoras.

\begin{align*}(ED)^2 &= (AE)^2 + (AD)^2\\ (ED)^2 &= 144 + 144 =288\\ (ED) &= 12\sqrt{2}\ \text{pulg.}\end{align*}

\begin{align*}\triangle{ADE}\end{align*} y \begin{align*}\triangle{ABC}\end{align*} son ambos triángulos isosceles, por lo tanto \begin{align*}\triangle ADE\end{align*} \begin{align*}\sim \end{align*} \begin{align*}\triangle ABC\end{align*} y todos los lados correspondientes son proporcionales :

\begin{align*}\frac{AE} {AC} = \frac{AD} {AB} = \frac{ED} {CB}\end{align*}

Podemos encontrar la longitud de \begin{align*}\overline{EC}\end{align*} usando una de las relaciones de arriba:

\begin{align*}\frac{AE} {AC}= \frac{ED} {CB} \Rightarrow \frac{12} {12+x} = \frac{12 \sqrt{2}} {2x}\end{align*}

Multiplicación en cruz para obtener:

\begin{align*}24x &= 144\sqrt{2} + 12\sqrt{2}x\\ 24x - 12\sqrt{2}x &= 144\sqrt{2}\\ 12x(2 - \sqrt{2}) &= 144\sqrt{2}\\ x &= \frac{144\sqrt{2}}{12(2 - \sqrt{2})} = \frac{12 \sqrt{2}} {2 - \sqrt{2}}\end{align*}

Racionalizar los denominadores:

\begin{align*}x &= \frac{12 \sqrt{2}} {2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}} {2 + \sqrt{2}} = \frac{24 \sqrt{2} + 24}{2}\\ x &= (12\sqrt{2} + 12) \;\text{ pulg}\end{align*}

La longitud de la hipotenusa es \begin{align*}\overline{BC} = {2}{x} = 24 \sqrt{2} + 24 \;\text{ pulg} \approx 58 \;\text{ pulg}\end{align*}

Corolario al teorema de segmentos de la tangente

Un segmento de línea desde un punto externo al centro de un círculo bisecta el ángulo formado por los segmentos de la tangente empezando en el mismo punto externo.

Prueba.

  • Dado:
    • \begin{align*}\overline{AC}\end{align*} es una tangente al círculo
    • \begin{align*}\overline{BC}\end{align*} es una tangente al círculo
    • \begin{align*}O\end{align*} es el centro del círculo
  • Probar
    • \begin{align*}\angle{ACO} \cong \angle{BCO}\end{align*}

Prueba.

Usaremos una figura semejante a la que usamos para probar el teorema de los segmentos de la tangente (ilustración de arriba).

\begin{align*}\triangle AOC \cong \triangle BOC\end{align*} por \begin{align*}HL\end{align*} congruencia.

Por lo tanto, \begin{align*}\angle{ACO} \cong \angle{BCO}\end{align*}. \begin{align*}\blacklozenge\end{align*}

Ejemplo 6

Mostrar que la línea \begin{align*}y=5-2x\end{align*} es tangente al círculo \begin{align*}x^2 + y^2 = 5\end{align*}. Encontrar una ecuación para la línea perpendicular a la línea tangente en el punto de tangencia. Mostrar que esta línea pasa a través del centro del círculo.

Para revisar que la línea es tangente al círculo, sustituir la ecuación de la línea en la ecuación para el círculo.

\begin{align*}x^2 + (5 - 2x)^2 &= 5\\ x^2 + 25 - 20x + 4x^2 &= 5\\ 5x^2 - 20x + 20 &= 0\\ x^2 - 4x + 4 &= 0\\ (x - 2)^2 &= 0\end{align*}

Esta tiene una raíz doble en \begin{align*}x = 2\end{align*}. Esto significa que la línea intercepta al círculo en solamente un punto \begin{align*}(2, 1)\end{align*}.

Una línea perpendicular a la línea tangente tendría una pendiente que es el recíproco negativo de la línea tangente o \begin{align*}m = \frac{1} {2}\end{align*}.

La ecuación de la línea puede ser escrita: \begin{align*}y = \frac{1} {2} x + b\end{align*}.

Encontramos el valor de \begin{align*}b\end{align*} introduciendo el punto de tangencia: \begin{align*}(2, 1).\end{align*}

\begin{align*}1 = \frac {1} {2} (2) + b \Rightarrow b = 0\end{align*}

La ecuación es \begin{align*}y = \frac{1} {2} x\end{align*} y sabemos que pasa a través del origen ya que el intercepto en \begin{align*}y\end{align*} es cero.

Esto significa que el radio del círculo es perpendicular a la tangente al círculo.

Resumen de la lección

En esta sección aprendimos sobre tangentes y su relación con el círculo. Encontramos que una línea tangente toca al círculo en un punto, el cual es el punto final de un radio del círculo. El radio y la línea tangente son perpendiculares entre sí. Encontramos que si dos segmentos son tangentes a un círculo, y comparten un punto final de un radio del círculo, el radio y la línea tangente son perpendiculares entre sí. Encontramos que si dos segmentos son tangentes a un círculo, y comparten un punto final común fuera del círculo; los segmentos son congruentes.

Ejercicios de repaso

  1. Determinar si cada segmento es tangente al círculo dado:
  2. Encontrar la medida del ángulo \begin{align*}x\end{align*}.
  3. Encontrar la longitud faltante:
  4. Encontrar los valores de las variables faltantes
  5. Encontrar el perímetro del pentágono:
  6. Encontrar el perímetro del paralelogramo:
  7. Encontrar el perímetro del triángulo recto:
  8. Encontrar el perímetro del polígono:
  9. Dibujar la línea \begin{align*}y = {3}{x} + 10\end{align*} y el círculo \begin{align*}x^2 + y^2 = 10\end{align*}. Mostrar que estos gráficos tocan en un solo punto.

Encontrar la pendiente del segmento que une este punto al centro del círculo, y compara tu respuesta con la pendiente de la línea \begin{align*}y = 3x + 10\end{align*}.

Respuestas

    1. Si
    2. Si
    3. No
    1. \begin{align*}25^\circ\end{align*}
    2. \begin{align*}10^\circ\end{align*}
    3. \begin{align*}72^\circ\end{align*}
    1. \begin{align*}12.6\end{align*}
    2. \begin{align*}10.67\end{align*}
    3. \begin{align*}8.1\end{align*}
    1. \begin{align*}3.9\end{align*}
    2. \begin{align*}9.6\end{align*}
    3. \begin{align*}12.8\end{align*}
  1. \begin{align*}128\end{align*}
  2. \begin{align*}112\end{align*}
  3. \begin{align*}48\end{align*}
  4. \begin{align*}76\end{align*}
  5. \begin{align*}x^2 + (3x+10)^2 = 10\end{align*} resolver para \begin{align*}x\end{align*} para obtener la raíz doble \begin{align*}(-3, 1)\end{align*}.

La pendiente de la línea desde \begin{align*}(0, 0)\end{align*} a \begin{align*}(-3, 1) = -1/3\end{align*}, la cual es el recíproco negativo de la pendiente de la línea.

Esto significa que la línea tangente y el radio son perpendiculares.

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