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9.7: Angulos de Cuerdas, Secantes, y Tangentes

Difficulty Level: At Grade Created by: CK-12

Objetivos de aprendizaje

  • Encontrar las medidas de los ángulos formados por cuerdas, secantes, y tangentes

Medición de un Angulo entre una Cuerda y una Tangente

Teorema La medida de un ángulo formado por una cuerda y una tangente que intercepta en el círculo es igual a la mitad de la medida del arco interceptado.

En otras palabras:

\begin{align*}m\angle{FAB} = \frac{1}{2}m\widehat{ACB}\end{align*} y

\begin{align*}m\angle{EAB} = \frac{1}{2}m\widehat{ADB}\end{align*}

Prueba

Dibujar el radio del círculo a los puntos \begin{align*}A\end{align*} y \begin{align*}B\end{align*}.

\begin{align*}\triangle{AOB}\end{align*} es isósceles, por lo tanto

\begin{align*}m\angle{BAO}= m\angle{ABO} = \frac{1}{2}(180^\circ-m\angle{AOB})=90^\circ-\frac{1}{2}m\angle{AOB}.\end{align*}

También sabemos que, \begin{align*}m\angle{BAO}+m\angle{FAB}=90^\circ\end{align*} porque \begin{align*}FE\end{align*} es tangente al círculo.

Obtenemos \begin{align*}90^\circ -\frac{1}{2}m\angle{AOB}+m\angle{FAB} =90^\circ \Rightarrow m\angle{FAB}=\frac{1}{2}m\angle{AOB}.\end{align*}

Ya que \begin{align*}\angle{AOB}\end{align*} es un ángulo central que corresponde a \begin{align*}\widehat{ADB}\end{align*} entonces, \begin{align*}m\angle{FAB} = \frac{1}{2}m \widehat{ADB}\end{align*}.

Esto completa la prueba. \begin{align*}\blacklozenge\end{align*}

Ejemplo 1

Encontrar los valores de \begin{align*}a, b\end{align*} y \begin{align*}c\end{align*}.

Primero encontramos el ángulo \begin{align*}a: 50^\circ + 45^\circ + \angle{a}=180^\circ \Rightarrow m\angle{a}=85^\circ.\end{align*}

Usando la medida según el Teorema de la Cuerda Tangente concluimos que:

\begin{align*}m\widehat{AB}=2(45^\circ)=90^\circ\end{align*}

y

\begin{align*}m\widehat{AC}=2(50^\circ)=100^\circ\end{align*}

Por lo tanto,

\begin{align*}m\angle{b} =\frac{1}{2}10^\circ=50^\circ \\ m\angle{c} =\frac{1}{2}90^\circ=45^\circ\end{align*}

Angulos dentro de un círculo

Teorema La medida de un ángulo formado por dos cuerdas que se interceptan dentro de un círculo es igual a la mitad de la suma de la medida de sus arcos interceptados. En otras palabras, la medida del ángulo es el promedio (media) de las medidas de los arcos interceptados.

En esta figura , \begin{align*}m\angle{a}=\frac{1}{2}(m\widehat{AB}+m\widehat{DC}).\end{align*}

Prueba

Dibujar un segmento para conectar los puntos \begin{align*}B\end{align*} y \begin{align*}C\end{align*}.

\begin{align*}m\angle{DBC} & = \frac{1} {2} m\widehat{DC} && \text{Angulo Inscrito}\\ m\angle{ACB} &= \frac{1} {2} m\widehat{AB} && \text{Angulo Inscrito}\\ m\angle{a} &= m\angle{ACB} + m\angle{DBC} && \text{La medida de un \'{a}ngulo exterior en un tri\'{a}ngulo es igual a}\\ &&& \text{la suma de las medidas de los \'{a}ngulos interiores distantes.}\\ m\angle{a} &= \frac{1} {2} m\widehat{DC} + \frac{1} {2} m\widehat{AB} && \text{Sustituci\'{o}n}\\ m\angle{a} &= \frac{1} {2} \left(m\widehat{DC} + m\widehat{AB}\right) \blacklozenge && \end{align*}

Ejemplo 2

Encontrar \begin{align*}m\angle{DEC}\end{align*}.

\begin{align*}m\angle{AED} &= \frac{1} {2} \left(m\widehat{AD} + m\widehat{BC}\right) = \frac{1} {2} \left(40^\circ + 62^\circ\right) = 51^\circ\\ m\angle{DEC} &= 180^\circ -m\angle{AED}\\ m\angle{DEC} &= 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ\end{align*}

Angulos fuera de un círculo

Teorema La medida de un ángulo formado por dos secantes dibujadas desde un punto fuera del círculo es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

En otras palabras: \begin{align*}m\angle{a} = \frac{1} {2} (y^\circ - x^\circ).\end{align*}

Este teorema también aplica para un ángulo formado por dos tangentes al círculo dibujadas desde un punto fuera del círculo y para un ángulo formado por una tangente y una secante dibujadas desde un punto fuera del círculo.

Prueba

Dibujar una línea para conectar los puntos \begin{align*}A\end{align*} y \begin{align*}B\end{align*}.

\begin{align*}m\angle{DBA} & = \frac{1} {2} x^\circ && \text{Angulo inscrito}\\ m\angle{BAC} & = \frac{1} {2} y^\circ && \text{Angulo Inscrito}\\ m\angle{BAC} & = m\angle{DBA} + m\angle{a} && \text{La medida de un \'{a}ngulo exterior en un tri\'{a}ngulo es igual a }\\ &&& \text{la suma de las medidas de los \'{a}ngulos interiores distantes.}\\ \frac{1} {2} y^\circ & = \frac{1} {2} x^\circ + m\angle{a} && \text{Sustituci\'{o}n}\\ m\angle{a} & = \frac{1} {2} (y^\circ - x^\circ) \blacklozenge &&\end{align*}

Ejemplo 3

Encontrar la medida del ángulo \begin{align*}x\end{align*}.

\begin{align*}m\angle{x} = \frac{1} {2} \left(220^\circ - 54^\circ\right) = 83^\circ\end{align*}

Resumen de la lección

En esta sección aprendimos sobre como encontrar la medida de ángulos formados por cuerdas, secantes, y tangentes. Observamos las relaciones entre la medida del arco y los ángulos formados por cuerdas, secantes y tangentes.

Ejercicios de repaso

  1. Encontrar el valor de la variable.
  2. Encontrar la medida de los siguientes ángulos:
    1. \begin{align*}m\angle{OAB}\end{align*}
    2. \begin{align*}m\angle{COD}\end{align*}
    3. \begin{align*}m\angle{CBD}\end{align*}
    4. \begin{align*}m\angle{DCO}\end{align*}
    5. \begin{align*}m\angle{AOB}\end{align*}
    6. \begin{align*}m\angle{DOA}\end{align*}
  3. Encontrar la medida de los siguientes ángulos:
    1. \begin{align*}m\angle{CDE}\end{align*}
    2. \begin{align*}m\angle{BOC}\end{align*}
    3. \begin{align*}m\angle{EBO}\end{align*}
    4. \begin{align*}m\angle{BAC}\end{align*}
  4. Cuatro puntos en un círculo lo dividen en cuatro arcos, cuyos tamaños son \begin{align*}44^\circ, 100^\circ, 106^\circ\end{align*}, y \begin{align*}110^\circ\end{align*}, en orden consecutivo. Los cuatro puntos determinan dos intersecciones de cuerdas. Encontrar los tamaños de los ángulos formados por las intersecciones de las cuerdas .

Respuestas

    1. \begin{align*}102.5^\circ\end{align*}
    2. \begin{align*}21^\circ\end{align*}
    3. \begin{align*}100^\circ\end{align*}
    4. \begin{align*}40^\circ\end{align*}
    5. \begin{align*}90^\circ\end{align*}
    6. \begin{align*}60^\circ\end{align*}
    7. \begin{align*}30^\circ\end{align*}
    8. \begin{align*}25^\circ\end{align*}
    9. \begin{align*}100^\circ\end{align*}
    10. \begin{align*}a = 60^\circ, b = 80^\circ, c = 40^\circ\end{align*}
    11. \begin{align*}a = 82^\circ, b = 56^\circ, c = 42^\circ\end{align*}
    12. \begin{align*}45^\circ\end{align*}
    13. \begin{align*}x = 35^\circ, y = 35^\circ\end{align*}
    14. \begin{align*}x = 60^\circ, y = 25^\circ\end{align*}
    15. \begin{align*}20^\circ\end{align*}
    16. \begin{align*}50^\circ\end{align*}
    17. \begin{align*}60^\circ\end{align*}
    18. \begin{align*}45^\circ\end{align*}
    1. \begin{align*}45^\circ\end{align*}
    2. \begin{align*}80^\circ\end{align*}
    3. \begin{align*}40^\circ\end{align*}
    4. \begin{align*}50^\circ\end{align*}
    5. \begin{align*}90^\circ\end{align*}
    6. \begin{align*}110^\circ\end{align*}
    1. \begin{align*}90^\circ\end{align*}
    2. \begin{align*}110^\circ\end{align*}
    3. \begin{align*}55^\circ\end{align*}
    4. \begin{align*}20^\circ\end{align*}
  1. \begin{align*}75^\circ\end{align*} y \begin{align*}105^\circ\end{align*}

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