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1.8: Resolviendo problemas de geometría

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Objetivos de aprendizaje

  • Leer y entender las situaciones dadas en un problema.
  • Usar varias representaciones para establecer situaciones de problemas.
  • Identificar planes de solución de problemas.
  • Resolver problemas de la vida real usando estrategias de planeación.

Introducción

Una de las cosas más importantes que esperamos que aprendas en la escuela es saber cómo resolver problemas. En la vida real, solucionar problemas usualmente no es tan fácil como en la escuela. Muchas veces, ejecutar una operación o hacer una medida puede ser una tarea sencilla. Saber qué medir o qué operar puede ser el reto más grande para resolverlo. Esta lección te ayudará a desarrollar las habilidades necesarias para convertirte en un buen solucionador de problemas.

Entendiendo las situaciones planteadas en el problema

Cada vez que tengas que enfrentarte a un problema complicado, el primer paso que debes dar es tratar de simplificarlo. Esto significa identificar la información necesaria y encontrar el valor deseado. Comienza haciéndote a ti mismo una pregunta sencilla: ¿Qué pide este problema?

Si el problema tiene sólo una pregunta, ¿cuál sería? Esto te ayuda a identificar cómo deberías responder al final.

Después, debes encontrar la información que necesitas para resolver el problema. Hazte otra pregunta: ¿Qué necesito saber para encontrar la respuesta?

Esta pregunta te ayudará a examinar la información presentada para ver cuál puede serte útil con el problema.

Usa estas preguntas básicas para simplificar el siguiente problema. No trates de resolverlo todavía, sólo comienza este proceso con el cuestionamiento.

Ejemplo 1

Ehab dibujó un rectángulo PQRS en la pizarra. PQ era 8 \;\mathrm{cm} y QR era 6 \;\mathrm{cm}. Si Ehab dibujara la diagonal \overline{QS}, ¿cuál sería su longitud?

Comienza a entender este problema haciéndote dos preguntas:

1. ¿Qué te pregunta el problema?

La pregunta te pide la longitud de la diagonal \overline{QS}.

2. ¿Qué debo conocer para encontrar la respuesta?

Necesitas saber tres cosas:

  • Los ángulos de un rectángulo son todos iguales a 90^\circ.
  • Las longitudes de los lados del rectángulo son 8 \;\mathrm{cm} y 6 \;\mathrm{cm}.
  • El teorema de Pitágoras puede usarse para encontrar el tercer lado del triángulo rectángulo.

Responder a estas preguntas es el primer paso para tener éxito resolviendo este problema.

Dibujando representaciones

Hasta este punto, el análisis de un problema simple puede manejarse únicamente con palabras. Es importante extraer la información básica del problema, pero hay diferentes formas de lograrlo a partir de aquí. Muy a menudo, las representaciones visuales pueden ser muy útiles para entender los problemas. Haz un dibujo simple que represente lo que se está discutiendo. Por ejemplo, una bandeja con seis galletas puede representarse como el diagrama de abajo.

Te toma sólo segundos hacer el dibujo, pero puede ayudarte a visualizar información importante. Recuerda que hay diferentes maneras de presentar la información. Mira la manera en la que un segmento de línea de seis pulgadas de largo se muestra en el dibujo de abajo.

Cuando abordas un problema, piensa en la mejor manera de representar la información para que sea más útil. Continuemos trabajando con el problema del ejemplo, pero ahora ayudándonos con dibujos.

Regresemos al ejemplo.

Ejemplo 1 (repetido)

Ehab dibujó un rectángulo PQRS en la pizarra. PQ era 8 \;\mathrm{cm} y QR era 6 \;\mathrm{cm}. Si Ehab dibujara la diagonal \overline{QS}, ¿cuál sería su longitud?

Piensa en las diferentes maneras en las que podrías dibujar la información de este problema. La idea más simple es dibujar un rectángulo rotulado. Asegúrate de rotularlo con la información que se te presenta en el problema. Esto incluye los nombres de los vértices y las longitudes de sus lados.

Como en la mayoría de situaciones que encontrarás, hay más de una forma correcta de dibujar esta figura. Sigue con dos posibilidades más.

El primer ejemplo muestra la estructura interna de un rectángulo, como si se dividiera en centímetros cuadrados. El segundo ejemplo muestra al rectángulo situado en un plano cartesiano. Fíjate que rotamos la figura 90^\circ en el segundo dibujo. Un cuadrito de la cuadrícula equivale a un centímetro cuadrado.

Identificando tu estrategia

En este punto, has simplificado el problema haciéndote preguntas sobre él y creado diferentes representaciones de la información relevante. Ahora, viene el momento de establecer un plan formal de ataque. Este es un paso crucial en el proceso de resolución de problemas, ya que aquí yacen los fundamentos de tu solución.

Para organizar tus pensamientos, imagina que tus conocimientos de geometría son una caja de herramientas. Cada vez que aprendes una nueva estrategia, técnica o concepto, la agregas a tu caja. Luego, cuando necesitas resolver un problema, puedes escoger la herramienta adecuada para usarla.

De momento, dale un vistazo a las representaciones dibujadas para el problema del ejemplo, para identificar las herramientas que podrías necesitar y, así, identificar claramente tu estrategia.

Ejemplo

Ehab dibujó un rectángulo PQRS en la pizarra. PQ era 8 \;\mathrm{cm} y QR era 6 \;\mathrm{cm}. Si Ehab dibujara la diagonal \overline{QS}, ¿cuál sería su longitud?

En la primera representación, hay un rectángulo simple con una diagonal. Aunque existe una manera de resolverlo usando este diagrama, aún no la hemos visto en este libro, sino que lo haremos más adelante. En este caso, todavía no tienes las herramientas para resolverlo.

El segundo diagrama muestra los bloques de construcción que componen un rectángulo. La diagonal corta los bloques, pero presenta los mismos retos que el primer diagrama. Aquí, tampoco tienes las herramientas para resolverlo.

El tercer diagrama muestra un plano cartesiano con un rectángulo dibujado en él. La diagonal tiene dos extremos con sus pares coordenados. En este capítulo, aprendiste a encontrar la longitud en un plano cartesiano usando la fórmula de la distancia. Esta es la herramienta que necesitas para resolver el problema.

Tu estrategia para este problema es identificar los dos extremos de QS en la cuadrícula como (x_1,y_1) y (x_2,y_2). Usa la fórmula de la distancia para encontrar la longitud. El resultado será la solución de este problema.

Haciendo cálculos

El último paso para cualquier situación de resolución de problemas es usar tu estrategia para encontrar la respuesta. Asegúrate de usar los valores correctos que identificaste como información relevante. Cuando ejecutes las operaciones, usa lápiz y papel para llevar un registro de tu trabajo. Resultan muchos errores por descuido al hacer cálculos mentales. Lleva registro de cada paso de todo tu camino recorrido.

Finalmente, cuando ya encontraste la respuesta, hay todavía dos preguntas que te debes hacer:

1. ¿Logré dar la información que pedía el problema?

Regresa a las primeras etapas del problema. Verifica que hayas respondido todas las partes de la pregunta.

2. ¿Tiene sentido mi respuesta?

Tu respuesta debería tener sentido dentro del contexto del problema. Si el valor de tu respuesta es anormalmente grande o pequeño, revisa tu trabajo.

Ejemplo

Ehab dibujó un rectángulo PQRS en la pizarra. PQ era 8 \;\mathrm{cm} y WR era  6 \;\mathrm{cm}. Si Ehab dibujara la diagonal \overline{QS}, ¿cuál sería su longitud?

En este punto, hemos examinado el problema, creado múltiples representaciones del escenario e identificado la estrategia deseada. Es tiempo de resolverlo.

El diagrama a continuación muestra el rectángulo en el plano cartesiano.

Para encontrar la longitud de \overline{QS}, debes identificar los extremos en la cuadrícula. Estos son (1,1) y (9,7). Usa la fórmula de la distancia y sustituye 1 por x_1, 1 por y_1, 9 por x_2 y 7 por y_2.

\text{distancia} & = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\\\text{distancia} & = \sqrt{{(9 - 1)}^2 + {(7 - 1)}^2}\\\text{distancia} & = \sqrt{(8)^2 + (6)^2}\\\text{distancia} & = \sqrt{64 + 36}\\\text{distancia} & = \sqrt{100}\\\text{distancia} & = 10

QS es 10 \;\mathrm{cm}.

Finalmente, asegúrate de preguntarte dos cosas más para verificar tu respuesta.

1. ¿Di la información que pedía el problema?

El problema te pedía identificar la longitud de \overline{QS}. Esta es la información que dimos con nuestra solución.

2. ¿Tiene sentido la respuesta?

El valor de 10 \;\mathrm{cm} es ligeramente mayor que 6 \;\mathrm{cm} o 8 \;\mathrm{cm}, pero es lo que se espera en este escenario. Ciertamente, tiene sentido. Una respuesta de 80 \;\mathrm{cm} o 0.08 \;\mathrm{cm} no sería razonable.

Ahora, tu trabajo en este problema está completo. La respuesta final es 10 \;\mathrm{cm}.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos estrategias para la resolución de problemas. Específicamente, aprendimos:

  • Cómo leer y entender las situaciones dadas en un problema.
  • Cómo usar y representar diferentes formas para plantear las situaciones del problema.
  • Cómo identificar planes de resolución de problemas.
  • Cómo resolver problemas de la vida real usando las estrategias de planificación.

Estas habilidades son útiles para cualquier tipo de problema, sin importar si es o no de geometría. Practica analizando problemas de otros aspectos de tu vida usando estas técnicas. Hacer planes y usar estrategias te ayudará de muchas diferentes maneras.

Puntos a considerar

Este capítulo se enfoca en los postulados básicos, en el vocabulario y en la notación utilizada, más comunes en geometría. El siguiente capítulo se centrará en las habilidades de lógica, razonamiento y prueba. Revisa el material de este capítulo cuanta vez sea necesario para mantener tu comprensión de los principios básicos de geometría. Estos serán necesarios para continuar con tus estudios.

Preguntas de repaso

  1. Supón que una línea es dibujada en un plano. ¿Cuántas regiones del plano son creadas?
  2. Supón que dos líneas se intersectan en un plano. ¿En cuántas regiones se divide el plano? Dibuja un diagrama con tu respuesta.
  3. Ahora, imagina tres líneas coplanares que se intersectan en el mismo punto de un plano. ¿En cuántas regiones se divide el plano? Dibuja un diagrama con tu respuesta.
  4. Haz una tabla para tabular los casos de 4, 5, 6 y 7 líneas coplanares que se intersectan en un punto.
  5. Generaliza tu respuesta para el número 4. Si  n líneas coplanares se intersectan en un punto, el plano se divide en __________ regiones.
  6. Bindi vive a doce millas al sur de Cindy. Mari vive a cinco millas al este de Bindi. ¿Cuál es la distancia entre la casa de Cindy y la de Mari?
    1. Modela este problema dibujándolo en un plano cartesiano. Pon la casa de Bindi en el origen, (0,0). Rotula con la letra  B la casa de Bindi, con  M la de Mari y con  C la de Cindy.
    2. ¿Cuáles son las coordenadas de las casas de Cindy y Mari?
    3. Usa la fórmula de la distancia para encontrar la distancia entre ellas.
  7. Supón que una campista está parada a 100\;\mathrm{metros} al norte de un río que corre de este a oeste en perfecta línea recta (¡Tenemos que asumir algo para poder modelarlo geométricamente!). Su tienda de acampar está a 25\;\mathrm{metros} al norte del río, pero a 300\;\mathrm{metros} corriente abajo (mira el diagrama a continuación).

¡La campista mira que su tienda está en llamas! Afortunadamente lleva con ella un balde, así que puede agarrar agua del río para apagar el fuego. La campista correrá desde su posición hacia el río, recogerá agua en el balde y luego correrá a apagar las llamas (mira la línea azul del diagrama). Pero, ¿qué tan lejos deberá correr en la dirección del río (distancia  x en el diagrama) para recoger el agua si ella quiere minimizar la distancia total que debe correr? Resuelve esto mediante cualquier medio que se acomode, como el uso de un modelo a escala, la fórmula de la distancia o cualquier otro método geométrico.

  1. ¿Tiene sentido que la campista del problema 7 quiera minimizar la distancia total que debe correr? Plantea un argumento en contra de esta asunción (¡Fíjate como encontrar la “mejor” solución a los problemas de la vida real no siempre es sencillo!).

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. Mira la tabla a continuación
  5. Número de líneas coplanares que se intersectan en un punto Número de regiones en las que se divide el plano
    1 2
    2 4
    3 6
    4 8
    5 10
    6 12
    7 14
  6. Cada número en la columna de la derecha es el doble del número de la columna de la izquierda; entonces, la afirmación general es: “Si  n líneas coplanares se intersectan en un punto, el plano se divide en 2n regiones”.
    1. Casa de Cindy: (0,12); casa de Mari: (5,0)
    2. 13\;\mathrm{miles}
  7. Una manera de resolver esto es usando un modelo a escala y una regla. Haz 1 \;\mathrm{cm} = 100 \;\mathrm{m}. Entonces, puedes dibujar una figura y medir la distancia que la campista tiene que correr para diferentes ubicaciones del punto donde recoge el agua. ¡Sé cuidadoso usando la escala!

Ahora, haz una tabla para colocar todas las medidas que encuentres y, así, escoger la mejor, que es la más corta o menor de la distancia total.

x\;\mathrm{(metros)} Distancia al agua (m) Distancia del agua a la tienda de acampar (m) Distancia total (m)
0 100 301 401
25 103 276 379
50 112 251 363
100 141 202 343
125 160 177 337
150 180 152 332
175 202 127 329
200 224 103 327
225 246 79 325
250 269 56 325
275 293 35 328
300 316 25 341

El mejor lugar para recoger el agua aparenta estar entre 225 y 250\;\mathrm{metros}. Basados en otros métodos (algunos los aprenderás luego en geometría y otros cuando aprendas cálculo), podemos probar que la mejor distancia está cuando ella avanza 240\;\mathrm{metros} corriente abajo para recoger el agua.

  1. Las respuestas pueden variar. Un argumento por el cual no es lo mejor minimizar la distancia total es porque ella podría correr más lento con el balde lleno de agua, así que habría que tomar en cuenta esta distancia.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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