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2.3: Razonamiento deductivo

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Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer y aplicar algunas reglas básicas de lógica.
  • Entender las diferentes partes que juegan los razonamientos inductivo y deductivo en el razonamiento lógico.
  • Usar tablas de verdad para analizar patrones de razonamiento.

Introducción

Ya comenzaste a estudiar el razonamiento deductivo, o lógico, en la sección anterior, cuando aprendiste sobre proposiciones si-entonces. Ahora, veremos que la lógica, como otros campos del conocimiento, tiene sus propias reglas. Cuando sigamos esas reglas, ampliaremos nuestra base de hechos y relaciones acerca de los puntos, las líneas y los planos. Aprenderemos dos de las reglas más útiles de la lógica en esta sección.

Razonamiento directo

Todos usamos la lógica —sin importar si la nombramos así o no— en nuestra vida diaria. Como adultos, usamos la lógica tanto en nuestro trabajo como en la muchas decisiones que tomamos en el día a día.

  • ¿Cuál producto debería comprar?
  • ¿Por quién debería votar?
  • ¿Soportará esta viga de acero el peso que le colocaste encima?
  • ¿Cuál será la ganancia de tu empresa el próximo año?

Veamos cómo el sentido común nos lleva a las dos reglas más básicas de la lógica.

Ejemplo 1

Supón que Beatriz hace la siguiente afirmación, la cual se sabe que es verdadera:

Si Central High School gana hoy, ellos irán al torneo regional.

Central High School gana hoy.

El sentido común nos dice que existe una conclusión lógica obvia si ambas afirmaciones son ciertas:

Central High School irá al torneo regional.

Ejemplo 2

Aquí hay dos proposiciones verdaderas.

5 es un número impar.

Todo número impar es el resultado de la suma de un número par y otro impar.

Basados únicamente en estas dos proposiciones verdaderas, está aquí una conclusión obvia:

5 es la suma de un número par y uno impar.

(Esto es cierto, ya que 5 = 2 + 3).

Ejemplo 3

Supón que las siguientes dos proposiciones son ciertas.

  1. Si me amas, házmelo saber; si no, entonces déjame ir (una música country clásica. Letra por John Rostill).
  2. Tú no me amas.

¿Cuál es la conclusión lógica?

Déjame ir.

Hay dos proposiciones en la primera línea. La segunda es

Si no es así (amarme), entonces déjame ir.

Se establece como cierto que tú no me amas, en la segunda línea.

Basado en esta proposición verdadera, “déjame ir” es la conclusión lógica.

Ahora, miremos la estructura de todos estos ejemplos con los símbolos p y q que usamos anteriormente.

Cada uno de los ejemplos tiene la misma forma.

& p \rightarrow q \\ & p

Conclusión: q

Una forma más compacta de este argumento (patrón lógico) es

& p \rightarrow q \\& p \\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\& q

Para diferenciar esto, podríamos decir que la proposición verdadera q procede automáticamente de las proposiciones verdaderasp \rightarrow q y p.

Este patrón de razonamiento es una de las reglas básicas de la lógica. Se llama Ley de separación.

Ley de separación

Supón que p y q son proposiciones. Entonces, dados

p \rightarrow q y p

Puedes concluir

q

Practica diciendo la ley de separación así: “Si p \rightarrow q es verdadero y p es verdadero, entonces q es verdadero”.

Ejemplo 4

Aquí hay dos proposiciones verdaderas.

Si \angle{A} y \angle{B} son un par lineal, entonces m\angle{A} + m\angle{B} = 180^\circ .

\angle{A} y \angle{B} son un par lineal.

¿Qué conclusión sacamos de estas dos proposiciones?

m \angle{A} + m \angle{B} = 180^\circ.

El siguiente ejemplo es una advertencia para no darle vuelta a la ley de separación.

Ejemplo 5

Aquí tenemos dos proposiciones verdaderas.

Si \angle{A} y \angle{B} son un par lineal, entonces m \angle{A} + m \angle{B} = 180^\circ..

m \angle{A} = 90^\circ y m \angle{B} = 90^\circ..

¿Qué conclusión podemos sacar de estas dos proposiciones?

¡Ninguna! Estas proposiciones son de la forma

p \rightarrow q

q

Si te fijas, ya que m \angle{A} = 90^\circ y m \angle{B} = 90^\circ, también sabemos que m \angle{A} + m \angle{B} = 180^\circ, pero eso no significa que sean un par lineal.

No aplica la ley de separación. Ninguna otra conclusión posterior está justificada.

Podrás estar tentado a concluir que \angle{A} y \angle{B} son pares lineales, pero si lo piensas, no estaría justificado. Por ejemplo, en el rectángulo de abajo m \angle{A} = 90^\circ y m \angle{B} = 90^\circ , m \angle{A} + m \angle{B}=180^\circ, pero \angle{A} y \angle{B} definitivamente NO son un par lineal.

Ahora veamos más adelante. Estaremos haciendo razonamientos deductivos más complejos en la medida que avancemos en geometría. En muchos casos construiremos cadenas de proposiciones si-entonces conectadas, que nos lleven a una conclusión deseada. Empieza con un ejemplo simple.

Ejemplo 6

Supón que las siguientes proposiciones son verdaderas.

1. Si Pete está retrasado, Mark se retrasará.

2. Si Mark está retrasado, Wen se retrasará.

3. Si Wen está retrasada, Karl se retrasará.

A esto agrégale una proposición verdadera más.

4. Pete está retrasado.

Una clara consecuencia es: Mark se retrasará, pero con seguridad podrás ver que también Wen y Karl lo harán.

Aquí está la forma simbólica de las proposiciones.

  1. p \rightarrow q
  2. q \rightarrow r
  3. r \rightarrow s
  4. & p \\& \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\& s

Nuestras proposiciones forman una “reacción en cadena”. Cada “entonces” se convierte en el próximo “si” en la cadena de proposiciones. Esta cadena puede consistir de cualquier cantidad de proposiciones conectadas. Una vez que agregamos una proposición que es cierta p como aquí arriba, sabemos que la conclusión (la parte "entonces") de la última proposición está justificada.

Otra forma de ver esto es imaginando una cadena de dominó. Las fichas de dominó están ligadas por proposiciones si-entonces. Una vez cae la primera ficha, golpeará a la siguiente y así sucesivamente hasta que caiga la última. p es el primer empujón a la primera ficha de dominó. La conclusión final de la última proposición si-entonces es la última ficha de dominó.

Esto es llamado la ley del silogismo. Una definición formal de esta regla es dada a continuación.

Ley del silogismo

Supón que a_1, a_2 \ldots, a_{n-1} y a_{n} son proposiciones. Una vez es dado que a_1 es verdadero y que tienes la siguiente relación:

& a_1 \ \rightarrow \ a_2\\& a_2 \ \rightarrow \ a_3\\& \vdots\\& a_{n-1} \ \rightarrow \ a_n

Entonces, puedes concluir

a_{1} \rightarrow a_{n}

Razonamientos inductivo versus deductivo

Ya has trabajado con ambos razonamientos, tanto el inductivo como el deductivo. Son diferentes, pero no opuestos. De hecho, trabajarán juntos cuando estudiemos geometría y otras matemáticas.

¿Cómo estos dos tipos de razonamiento se complementan (fortalecen) entre sí? Piensa en los ejemplos que vimos al inicio de este capítulo.

Razonamiento inductivo significa razonar mediante ejemplos. Podrás ver algunos ejemplos o muchos. Con suficientes de ellos podrías llegar a sospechar que una relación siempre es verdadera, o quizás hasta sentirte seguro de ella; pero hasta que pases la etapa inductiva, no podrás estar absolutamente seguro de que esto es siempre verdadero.

Aquí es donde entra el razonamiento deductivo a tomar las riendas. Ya tenemos un indicio al que llegamos inductivamente; entonces, aplicamos las reglas de la lógica para probar, fuera de toda duda, que la relación es siempre verdadera. Usaremos la ley de separación, la ley del silogismo y otras leyes lógicas para construir estas pruebas.

Notación simbólica y tablas de verdad

La lógica tiene sus propias reglas y símbolos. Ya hemos usado letras como p y q para representar proposiciones: para la negación (“no”), y la flecha \rightarrow para indicar si-entonces. Aquí hay dos símbolos más que podemos usar.

\land & = \text{y}\\ \lor &= \text{o}

Las Tablas de verdad son una forma de analizar proposiciones en lógica. Veamos algunas tablas de verdad simples.

Ejemplo 1

¿Cómo se relaciona lógicamente \lnot p con p? Hacemos una tabla de verdad para averiguarlo. Comienza con todos los valores verdaderos posibles de p. Esto es muy simple; p pueder ser tanto verdadero (T) como falso (F).

p
V
F

A continuación escribimos los correspondientes valores para \lnot p. \lnot p tiene el valor verdadero contrario a p. Si p es verdadero, entonces \lnot p es falso y viceversa. Completa la tabla de verdad llenando los valores en la columna \lnot p.

p \lnot p
 V F
F V

Ahora, construimos tablas de verdad para una lógica ligeramente más compleja.

Ejemplo 2

Dibuja una tabla de verdad para p y q escrito p \land q.

Comienza llenando todas las combinaciones posibles de V/F para p y q.

p q p \land q
V V
V F
F V
F F

¿Cómo pueden p y q ser ambas verdaderas? El sentido común nos dice que p y q es falso siempre que p o q es falso. Completamos la última columna en concordancia con esto.

p q

p \land q

V V V
V F F
F V F
F F F

Otra forma de darle un significado a la tabla de verdad es que p \land q es verdadero solamente cuando p es verdadero y q es verdadero.

Hagamos lo mismo para p o q. Antes de hacerlo, necesitamos aclarar qué significa “o” en matemáticas. En el lenguaje común, "o" es usado algunas veces para significar “esto o aquello, pero no ambos”. Esto es llamado el o exclusivo (excluye o mantiene ambos). En matemática, "o" significa “esto, aquello o ambos, esto y aquello”. Esto es llamado el o inclusivo. Saber que "o" es inclusivo hace a la tabla de verdad un trabajo sencillo.

Ejemplo 2

5 = 2 + 3 ó 5 > 6 es verdadero porque 5 = 2 + 3 es verdadero.

5 < 6 ó 6 < 5 es verdadero porque 5 < 6 es verdadero.

5 = 2 + 3 ó 5 < 6 es verdadero porque 5 = 2 + 3 es verdadero y 5 < 6 es verdadero.

5 = 2 + 4 ó 5 > 6 es falso porque 5 = 2 + 4 es falso y 5 > 6 es falso.

Ejemplo 3

Dibuja una tabla de verdad para p o q, el cual se escribe p \lor q.

Comienza llenando todas las combinaciones de V/F posibles para p y q. Teniendo en mente la definición de "o" de arriba (inclusiva), llena la tercera columna. p o q solamente será falso cuando ambos p y q son falsos; de cualquier otra forma, es verdadero.

p q p \lor q
V V V
V F V
F V V
F F F

Resumen de la lección

¿Nos hicimos ya una versión propia de lo que es lógico? Esperemos que no. ¡No podríamos ponernos de acuerdo en lo que es o no lógico! Para evitar esto, están las reglas acordadas para la lógica, como si fueran las reglas del juego. Las dos reglas más básicas de la lógica que estaremos usando en nuestros estudios son la ley de separación y la ley de silogismo.

Puntos a considerar

Las reglas de la lógica son universales, ya que aplican a todos los campos del conocimiento. A nosotros, las reglas nos dan un método poderoso para probar nuevos hechos que ya se han insinuado en nuestras exploraciones de puntos, líneas, planos y cosas así. Las estructuraremos en un formato, la prueba de dos-columnas, para probar estos nuevos hechos. En las lecciones venideras escribirás pruebas de dos-columnas. Los hechos o las relaciones que probamos son llamados teoremas.

Preguntas de repaso

¿La tercera proposición TIENE que ser verdadera si las primeras dos son verdaderas? Explica tu respuesta.

  1. Las personas que votan por Jane Wannabe son personas inteligentes.

Yo soy una persona inteligente.

Votaré por Jane Wannabe.

  1. Si Rae es hoy el conductor, entonces María es la conductora de mañana.

Ann es la conductora de hoy.

María no es la conductora de mañana.

  1. Todos los triángulos equiángulos son equiláteros.

\triangle ABC es equiángulo.

\triangle ABC es equilátero.

¿Qué proposición adicional TIENE que ser verdadera si las proposiciones dadas son verdaderas?

  1. Si el Oeste gana, entonces el Este pierde. Si el Norte gana, entonces el Oeste gana.
  2. Si x > 5, entonces x > 3. Si x > 3, entonces y > 7. x = 6.

Completa las siguientes tablas de verdad.

p \lnot p p \land \lnot p
V
F
p \lnot p p \lor \lnot p
V
F
p q \lnot p \lnot q

\lnot p \land \lnot q

V V
V F
F V
F F
p q \lnot q q \lor \lnot q

p \land (q \lor \lnot q)

V V
V F
F V
F F
  1. ¿Cuándo es p \lor\ q \lor\ r verdadero?
  2. ¿Para cuáles valores de x es verdadera la siguiente proposición?

x \ge 2 o x^2<4

  1. ¿Para cuáles valores de x es verdadera la siguiente proposición?

x \ge 2 o x^2<4

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. No (error recíproco).
  2. No (error inverso).
  3. Sí.
  4. Si el Norte gana, entonces el Este pierde.
  5. y > 7 (también x > 3).
  6. p \lnot p p \land \lnot p
    T F F
    F T F
  7. Fíjate que
  8. p \land \lnot p
  9. nunca
  10. es verdadera.
  11. p \lnot p p \lor \lnot p
    V F V
    F V V
  12. Fíjate que
  13. p \lor \lnot p
  14. es verdadera
  15. siempre
  16. .
  17. p q \lnot p \lnot q \lnot p \land \lnot q
    V V F F F
    V F F V F
    F V V F F
    F F V V V
  18. Fíjate que
  19. \lnot p \land \lnot q
  20. es verdadero solamente cuando
  21. p
  22. y
  23. q
  24. son
  25. ambos
  26. falsos.
  27. p q  \lnot q q \lor \lnot q p\land (q \lor \lnot q)
    V V F V V
    V F V V V
    F V F V F
    F F V V F
  28. p \lor q \lor r es verdadero simpre excepto cuando p,\ q y r son todos falsos.
  29. x > -2.
  30. Ninguno \emptyset.

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