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Objetivos de aprendizaje

  • Proveer un diagrama que corresponde con un problema o prueba.
  • Interpretar un diagrama dado.
  • Reconocer lo que puede asumirse a partir de un diagrama y lo que no.
  • Usar las etiquetas normadas para los segmentos y ángulos en los diagramas.

Introducción

La geometría trata sobre objetos como puntos, líneas, segmentos, rayos, planos y ángulos. Si tenemos que resolver problemas sobre estos objetos, nuestro trabajo se simplifica mucho cuando los podemos representar en diagramas. De hecho, para la mayoría de nosotros, los diagramas son absolutamente esenciales para resolver los problemas de geometría.

Postulados básicos: otra mirada

Así como los términos indefinidos son los bloques constructivos sobre los que se construyen otras definiciones, los postulados son los bloques constructivos de la lógica. Ahora ya estamos listos para replantear algunos de estos postulados básicos en términos ligeramente más formales y usar diagramas.

Postulado 1: Existe una y solo una línea que atraviesa dos puntos diferentes cualesquiera.

Comentario: Dos puntos cualesquiera son colineales.

Postulado 2: Existe uno y sólo un plano que contiene tres puntos no colineales cualesquiera.

Comentario: Algunas veces esto se expresa como: “Tres puntos no colineales determinan un plano”.

Postulado 3: Si dos puntos están en un mismo plano, entonces toda la línea que atraviesa a dichos puntos también está contenida en el plano.

Postulado 4: Si dos diferentes líneas se intersectan, entonces la intersección se da exactamente en un solo punto.

Comentarios: Algunas líneas se intersectan, otras no. Sí dos líneas se intersectan, lo hacen en un único punto; si no es así, una o ambas “líneas” tendrían que curvarse, cosa que no hacen las líneas rectas.

Postulado 5: Si dos planos diferentes se intersectan, entonces lo hacen en una y solo una línea.

Comentarios: Algunos planos se intersectan, otros no. Piensa en el piso y el techo como modelos de planos que no se intersectan. Si se intersectan, entonces lo hacen en una línea. Piensa en el borde de una caja (una línea) la cual se forma a partir de dos lados de la caja (planos) que se encuentran.

Postulado 6: El postulado de la regla: Pueden asignárseles números reales a una línea, de manera que para cualquier par de puntos, uno corresponde a 0 y el otro corresponde a un número real diferente de cero.

Comentarios: Esta es la manera como una línea numerada y una regla funcionan. Esto también significa que podemos medir cualquier segmento.

Postulado 7: El postulado de adición de segmentos: Los puntos P, Q y R son colineales si y solo si PQ + QR = PR.

Comentario: Si P, Q y R no son colineales, entonces PQ + QR > PR. Vemos ejemplos de este hecho en las primeras secciones de este capítulo.

Postulado 8: Postulado del transportador: Si los rayos en un plano tienen un extremo común, se puede asignar el 0 a un rayo y un número entre 0 y 180 a cada uno de los otros rayos.

Comentario: Esto significa que cualquier ángulo tiene una medida (en grados).

Postulado 9: El postulado de la adición de ángulos: Hagamos que P, Q, R y S sean puntos en un plano. S está en el interior de \angle{PQR} si y solo si m\angle{PQR} + m\angle{SQR} = m\angle{PQR}.

Comentario: Si un ángulo está conformado por otros ángulos, las medidas de los ángulos que los componen pueden sumarse para obtener la medida del ángulo “grande”.

Postulado 10: El postulado del centro: Cada segmento de línea tiene uno y solo un centro.

Comentarios: Si M es un punto en \overline{AB} y AM = MB , no hay ningún otro punto en \overline{AB}, por decir N, que cumpla que AN = NB. El centro de un segmento es único.

Postulado 11: El postulado del ángulo bisector: Cada ángulo tiene uno y solo un bisector.

Comentarios: El bisector de un ángulo en un rayo. Si \overrightarrow{B P} bisecta a \angle{ABC}. no hay ningún otro ángulo que lo bisecte. El (rayo) bisector de un ángulo es único.

Usando diagramas

Ahora aplicamos nuestras definiciones y postulados a una figura geométrica. Cuando nos dan las medidas en una figura, podemos asumir que estas son correctas. También podemos asumir que:

  • Los puntos que aparentan estar colineales son colineales.
  • Las líneas, rayos o segmentos que aparentan intersectarse lo hacen.
  • Un rayo que aparenta estar en el interior de un ángulo está el interior del ángulo.

No podemos asumir lo siguiente de un diagrama:

  • Que las líneas, segmentos, rayos o planos son paralelos o perpendiculares.
  • Que los segmentos o ángulos son congruentes.

Esto debe estar establecido o indicado en el diagrama.

El diagrama a continuación muestra algunas medidas de segmento y ángulo.

Ejemplo 1

A. ¿EsM el centro de \overline{AB}? Explica tu respuesta.

No. M está en \overline{AB}, pero AM \neq MB.

B. ¿Es Q el centro de \overline{AD}? Explica tu respuesta.

Sí. Q está en \overline{AD} y AQ = QD.

C. Nombra un ángulo bisector y el ángulo que bisecta.

\overrightarrow{P N} bisecta \angle{MPC}.

D. Completa los espacios en blanco: m\angle{AMP} = m\angle{AMQ} + m\angle _______.

QMP

E. ¿Es \overrightarrow{M Q} el bisector de \angle{AMP}? Explica tu respuesta.

No. Si \overrightarrow{M Q} bisectara a \angle{AMP}, entonces m\angle{AMQ} sería 45^\circ. Eso haría que AQ = AM, pero AQ \neq AM.

Algunas veces utilizamos marcas especiales en los diagramas. Las marcas de rayas nos muestran segmentos congruentes. Las marcas de arco nos muestran ángulos congruentes. Las marcas de ángulo recto nos indican que los ángulos son rectos y las líneas y segmentos son perpendiculares.

Cuando son usados estos signos, las relaciones que representan son para la información dada por un problema.

Ejemplo 2

Las ruedas azules son puntos y las marcas de arco dobles y sencillas muestran ángulos iguales.

Basado en las marcas que aparecen en el diagrama, sabemos que:

  • BE = CH (marca de raya sencilla).
  • BC = FG (marca de doble raya).
  • m\angle{BEF} = m\angle{CHG} (marca de arco sencilla).
  • m\angle{ABE} = m\angle{DCH} (marcas de arco dobles).
  • \overline{BF} \perp \overline{EF}.

Resumen de la lección

A medida que nos movemos en dirección a un razonamiento más formal, hemos revisado los postulados básicos y los hemos expresado más formalmente. Vemos que la mayoría de las situaciones geométricas involucran diagramas. En los diagramas podemos asumir algunos hechos, pero otros no.

Puntos a considerar

En las siguientes lecciones organizarás tu patrón de razonamiento en pruebas de dos columnas. Este es un patrón tradicional que funciona todavía muy bien. Nos da un formato claro y directo y usa las reglas básicas de la lógica que vimos en las lecciones del principio. Probaremos varias relaciones geométricas importantes llamadas teoremas, a lo largo del resto del curso de geometría.

Preguntas de repaso

Usa el diagrama para contestar las preguntas de la 1 a la 8.

  1. Nombra el ángulo recto.
  2. Nombra dos líneas perpendiculares (no segmentos).
  3. Dado que EF = GH, ¿es verdadero que EG = FH? Explica tu respuesta completamente.
  4. Dado que \overleftrightarrow{BC} \| \overleftrightarrow{FG}, ¿es BCGF un rectángulo? Explica tu respuesta informalmente (Nota: Esta es una nueva pregunta. No asumas que lo dado en una pregunta anterior está incluido en esta).
  5. Completa los espacios en blanco: m\angle{ABF} =  m\angle{ABE} +  m\angle{\underline{\;\;\;\;\;}}. ¿Por qué? m\angle{DCG} = m\angle{DCH} +  m\angle{\underline{\;\;\;\;\;}}. ¿Por qué?
  6. Competa los espacios en blanco: AB + \underline{\;\;\;\;\;} & = AC \\\underline{\;\;\;\;\;} + CD & = BD
  7. Dado que \angle{EBF}\cong\angle{HCG}, prueba \angle{ABF}\cong\angle{DCG}.
  8. Dado que AB = CD, prueba: AC = BD.

¿Cuáles objetos geométricos te dan a entender los modelos de la vida real?

  1. Modelo: Las dos vías del tren.
  2. Modelo: Un piso y un techo.
  3. Modelo: Dos líneas en un pedazo de papel para graficar.
  4. Modelo: Los brazos del árbitro cuando indica un "touchdown".
  5. Modelo: La letra mayúscula L.
  6. Modelo: El lomo de un libro donde las cubiertas de adelante y atrás se juntan.

Respuestas de la preguntas de repaso

  1. \angle{BFG}
  2. \overleftrightarrow{BF} y \overleftrightarrow{EH}
  3.  EF & = GH\ \text{Dado} \\ EF + FG & = EF + FG\ \text{Reflexiva} \\ EF + FG & = GH + FG\ \text{Sustituci}\acute{o}\text{n} \\ EF + FG & = EG , GH + FG = FH\ \text{Postulado de adici}\acute{o}\text{n}\text{ de segmentos} \\EG & = FH\ \text{Sustituci}\acute{o}\text{n}
  4. Sí. Está dado que \overline{BC}\ \cong\ \overline{FG} (así que BC = FG). Ya que \overleftrightarrow{BC}\ \|\ \overleftrightarrow{FG} y \overline{FG}\ \perp\ \overline{BF}, entonces \overline{BC}\ \perp\ \overline{BF}\ CG tiene que ser igual a BF, y esto haría que BCGF fuera un rectángulo.
  5. & EBF.\\& HCG.
  6. & BC.\\& BC.
  7. & \angle{EBF}\ \cong\ \angle{HCG}\ \text{Dado} \\ &\angle{ABE}\ \cong\ \angle{DCH}\ \text{Dado} \\&m\angle{ABE}\  = m\angle{ABE}\ +\ m\angle{EBF}\ \text{Postulado de adici}\acute{o}\text{n de }\acute{a}\text{ngulos} \\&m\angle{DCG}\ = m\angle{DCH}\ +\ m\angle{HCG}\ \text{Postulado de adici}\acute{o}\text{n de }\acute{a}\text{ngulos} \\&m\angle{ABF}\ = m\angle{DCH}\ +\ m\angle{HCG}\ \text{Sustituci}\acute{o}\text{n} \\&m\angle{ABF}\ = m\angle{DCG}\ \text{Sustituci}\acute{o}\text{n}\ \\&\angle{ABF}\ \cong\ \angle{DCG}\ \text{Definici}\acute{o}\text{n}\text{ de }\acute{a}\text{ngulos congruentes}
  8. AB &= CD\ \text{Dado} \\AB + BC & = AB + BC\ \text{Reflexiva} \\AB + BC & = CD + BC\ \text{Sustituci}\acute{o}\text{n} \\ AB + BC & = AC, CD + BC = BD\ \text{Postulado de Adici}\acute{o}\text{n de Segmentos} \\AC & = BD\ \text{Sustituci}\acute{o}\text{n}
  9. Líneas paralelas.
  10. Planos paralelos.
  11. Líneas paralelas o perpendiculares.
  12. Líneas o segmentos paralelos.
  13. Segmentos perpendiculares.
  14. Planos intersectándose.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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