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2.6: Pruebas de dos-columnas

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Objetivos de aprendizaje

  • Dibujar un diagrama que ayude a plantear una prueba de dos-columnas.
  • Identificar la información dada y la proposición a ser probada en la prueba de dos-columnas.
  • Escribir una prueba de dos-columnas.

Introducción

Has realizado algunas pruebas informales en las primeras secciones. Ahora subiremos el nivel de formalidad un poco más. En esta sección, aprenderás a escribir pruebas formales de dos-columnas. Necesitarás dibujar un diagrama, identificar los datos dados, probar y escribir una cadena lógica de proposiciones. Cada proposición tendrá una razón, como por ejemplo una definición, un postulado o un teorema probado previamente, que la justifique.

Datos dados, prueba y diagrama

Ejemplo 1

Escribe una prueba de dos-columnas para lo siguiente:

Si A, B, C y D son puntos en una línea, en el orden dado y AB = CD, entonces AC = BD.

Comentarios: La parte "si" de la proposición contiene los datos dados. La parte "entonces" es la sección que debes probar. Un diagrama mostraría los hechos dados.

Comenzaremos con los datos dados, la prueba y un diagrama.

  • Dados: A, B, C y D son puntos de una líneas en el orden dado AB = CD.
  • Prueba: AC = BD.

4 puntos en la línea: AB = CD.

Ahora es tiempo de comenzar con los datos dados; luego, usamos el razonamiento lógico para alcanzar la proposición que deseamos probar. Frecuentemente (no siempre), la prueba comienza con la información dada.

En el formato de dos columnas, las proposiciones van del lado izquierdo y las razones en el lado derecho. Las razones generalmente son definiciones, postulados y proposiciones previamente probadas (llamadas teoremas).

Proposición Razón
1. AB = CD Dado

2. A, B, C y D son colineales en el orden dado

Dado

3. BC = BC

Reflexiva

4. AC = AB + BC y BD = CD + BC

Postulado de adición de segmentos

5. AB + BC = CD + BC

Propiedad aditiva de la igualdad

6. AC = BD

Sustitución

AC = BD es lo que se nos dio a probar y ya lo hicimos.

Ejemplo 2

Escribe una prueba de dos columnas para lo siguiente:

  • Dado: \overrightarrow{B F} bisecta \angle{ABC}; \angle{ABD} \cong \angle{CBE}
  • Probar: \angle{DBF} \cong \angle{EBF}

Proposición Razón
1. \overrightarrow{B F} bisecta \angle{ABC}

Dado

2. m\angle{ABE}= m\angle{CBF}

Definición de ángulo bisector

3. m\angle{ABF}= m\angle{ABD} + m\angle{DBF} Postulado de adición de ángulos
4. m\angle{CBF}= m\angle{CBE} + m\angle{EBF} Postulado de adición de ángulos
5. m\angle{ABD} + m\angle{DBF} = m\angle{CBE} + m\angle{EBF} Sustitución
6. \angle{ABD} \cong \angle{CBE} Dado
7. m\angle{CBE}+ m\angle{DBF}= m\angle{CBE}+ m\angle{EBF} Sustitución
8. m\angle{DBF}= m\angle{EBF}

restando m\angle{CBE} a ambos lados

(Recordatorio: Las medidas de los ángulos son números reales, así que aplican las propiedades de igualdad.)

9. \angle{DBF} \cong \angle{EBF} Definición de ángulos congruentes

Este es el final de la prueba. La última proposición es el requisito hecho en la prueba inicial. Esta es la señal de que la prueba ha terminado.

Resumen de la lección

En esta sección has visto dos ejemplos que ilustran el formato de la prueba de dos-columnas. El formato de la prueba de dos-columnas es el mismo, sin importar cuáles sean los detalles específicos. La geometría se originó hace varios siglos usando el mismo tipo de prueba de razonamiento deductivo.

Puntos a considerar

Verás y escribirás varias pruebas de dos-columnas en las futuras lecciones. La armazón permanecerá igual, pero los detalles serán diferentes. Algunas de las proposiciones que probamos son lo suficientemente importantes como para ser identificadas por sus nombres. Aprenderás sobre varios teoremas y a usarlos en pruebas y para resolver problemas.

Preguntas de repaso

Usa el diagrama de abajo para responder las preguntas de la 1 a la 10.

¿Cuáles de los siguientes pueden ser asumidos como verdaderos, según diagrama? Responde sí o no.

  1. \overline{AD}\ \cong\ \overline{BC}
  2. \overline{AB}\ \cong\ \overline{CD}
  3. \overline{CD}\ \cong\ \overline{BC}
  4. \overline{AB}\ \| \ \overline{CD}
  5. \overline{AB}\ \perp\ \overline{AD}
  6. \overrightarrow{A C} bisecta \angle{DAB}
  7. m\angle{CAB} = 45^\circ
  8. m\angle{DCA} = 45^\circ
  9. ABCD es un cuadrado.
  10. ABCD es un rectángulo.

Usa el diagrama de abajo para responder a las preguntas 11-14.

Dado: X bisecta \overline{WZ},\ Y es el centro de \overline{XZ} y WZ=12.

  1. ¿Cuántos segmentos tienen dos de los puntos dados como extremos? ¿Cuánto vale cada uno de los siguientes?
  2. WY
  3. XZ
  4. ZW
  5. Escribe una prueba de dos-columnas para lo siguiente:

Dado: \overrightarrow{A C} bisecta \angle{DAB}.

Probar: m\angle{BAC} = 45.

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. No.
  2. No.
  3. Sí.
  4. No.
  5. Sí.
  6. No.
  7. No.
  8. No.
  9. No.
  10. No.
  11. 6.
  12. 9.
  13. 6.
  14. 12.
  15. Proposición Razón
    1. \overrightarrow{A C} bisecta \angle{DAB} Dado
    2. m\angle{DAC} = m\angle{BAC} Definición de ángulo bisector
    3. m\angle{DAC} + m\angle{BAC} = m\angle{DAB} Postulado de adición de ángulos
    4. \overline{AD} \perp \overline{AB} Dado
    5. m\angle{DAB} = 90 Definición de segmentos perpendiculares
    6. m\angle{BAC} + m\angle{BAC} = 90 Sustitución
    7. 2 m\angle{BAC}= 90 Álgebra (propiedad distributiva)
    8. m\angle{BAC} = 45 Propiedad multiplicativa de la igualdad

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