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6.8: Cometas

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Objetivos de aprendizaje

  • Identificar la relación existente entre las diagonales de las cometas.
  • Identificar la relación entre los ángulos opuestos de las cometas.

Introducción

Entre todos los cuadriláteros que ya has estudiado, las cometas son quizás las más inusuales. Las cometas no tienen lados paralelos pero sí congruentes. Las cometas están definidas por dos pares de lados congruentes que son adyacentes entre si, en lugar de opuestos entre si.

Un ángulo de vértice está entre los dos lados congruentes y un ángulo de no-vértice está entre los lados de longitudes diferentes.

Las cometas tiene algunas propiedades especiales que pueden ser probadas y analizadas tal como lo hiciste con los demás cuadriláteros que ya has estudiado. Esta lección explora esta propiedades.

Las diagonales de las cometas

Es importante de entender la relación entre las diagonales de las cometas. Las diagonales no son congruentes entre si, pero siempre son perpendiculares. Dicho en otras palabras, las diagonales de una cometa siempre se intersectarán en ángulo recto.

Teorema: Las diagonales de una cometa son perpendiculares

Esto puede ser examinado en un plano cartesiano, encontrando la pendiente de las diagonales. Los segmentos y las líneas son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocamente opuestas entre si..

Ejemplo 1

Examina la cometa RSTV del siguiente plano cartesiano. Demuesta que las diagonales son perpendiculares.

Para saber si las diagonales en un diagrama son perpendiculares, encuentra la pendiente de cada segmento y luego compáralas. Las pendientes deberían de ser recíprocamente opuestas entre si.

Comienza encontrando la pendiente de \overline {RT}. Recuerda que la pendiente es el cambio en la coordenada y sobre el cambio de la coordenada en x.

\text{pendiente de }\overline{RT} &= \frac{(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}\\&= \frac{(2 - 3)} {(3 - 2)}\\&= \frac{-1}{1}\\&=-1

La pendiente de \overline {RT} es -1. También puedes encontrar la pendiente de \overline {VS} usando el mismo método.

\text{pendiente de }\overline{VS} &= \frac{(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}\\&= \frac{(4 - (-1))} {(4 - (-1))}\\&= \frac{5}{5}\\&= 1

La pendiente de \overline {VS} es 1. Si piensas en ambos números como si fueran fracciones, -\frac{1} {1} y \frac{1} {1}, puedes decir que son recíprocamente opuestos entre si. En consecuencia, los dos segmentos de línea son perpendiculares.

Probar esta propiedad de manera general requiere que use triángulos congruentes (¡Sorpresa!). Haremos esta prueba en dos partes. Primero, probaremos que una diagonal (la que conecta los ángulos de vértice) bisecta los ángulos de la cometa.

Parte 1:

  • Dada: La cometa PART con \overline {PA} \cong \overline {PT} y \overline {AR} \cong \overline {RT}
  • Probar: \overline {PR} bisecta \angle {APT} y \angle {ART}

Proposición

Razón

1. \overline {PA} \cong \overline {PT} y \overline {AR} \cong \overline {RT}

1. Dado

2. \overline {PR} \cong \overline {PR}

2. Propiedad reflexiva

3. \triangle {PAR} \cong \triangle {PTR}

3. SSS Postulado de congruencia

4. \angle {APR} \cong \angle {TPR}

4. Las partes correspondientes en triángulos congruentes son también congruentes

5. \angle {ARP} \cong \angle {TRP}

5. Las partes correspondientes en triángulos congruentes son también congruentes

6. \overline {PR} bisecta \angle {APT} y \angle {ART}

6. Definición de ángulo bisector \blacklozenge

Ahora necesitamos probar que las diagonales son perpendiculares.

Parte 2:

  • Dado: La cometa PART con \overline {PA} \cong \overline {PT} y \overline {AR} \cong \overline {RT}
  • Prove: \overline {PR} \perp \overline {AT}

Proposición

Razón

1. La cometa PART con \overline {PA} \cong \overline {PT} y \overline {AR} \cong \overline {RT}

1. Dado

2. \overline {PY} \cong \overline {PY}

2. Propiedad reflexiva de \cong

3. \angle {APR} \cong \angle {TPR}

3. Según la parte 1 de arriba: La diagonal entre los ángulo de vértice bisecta los ángulos

4. \triangle {PAY} \cong \triangle {PTY}

4. SAS Postulado de congruencia

5. \angle {AYP} \cong \angle {TYP}

5. Las partes correspondientes en triángulos congruentes son también congruentes

6. \angle {AYP} y \angle {TYP} son suplementarios

6. Postulado de par lineal

7. \angle {AYP} y \angle {TYP} son ángulos rectos

7. Los ángulos suplementarios son ángulos rectos

8. \overline {PR} \perp \overline {AT}

8. Definición de perpendicularidad \blacklozenge

Los ángulos opuesto en cometas

En adición a la propiedad bisectriz, otra propiedad de las cometas es que los ángulos de no-vértice son congruentes.

De esta manera, en la cometa de arriba PART, \angle {PAR} \cong \angle {PTR}.

Ejemplo 2

Completa la prueba de dos columnas a continuación.

  • Dado: \overline {PA} \cong \overline {PT} y \overline {AR} \cong \overline {RT}
  • Probar: \angle {PAR} \cong \angle {PTR}

Proposición

Razón

1. \overline {PA} \cong \overline {PT} 1. Dado

2. \overline{AR} \cong \overline {RT}

2. Dado

3. _____________

3. Propiedad reflexiva

4. ______________

4. SSS \cong SSS

Si dos triángulos tiene tres pares de lados congruentes, los triángulos son congruentes.

5. \angle {PAR} \cong \angle {PTR}

5. ____________________________

Dejaremos que completes los espacios en blanco tu sol, pero una pista para esta prueba es que es casi idéntica a la primera de esta sección.

De esta forma, has probado exitosamente que los ángulos entre los lados congruentes de una cometa son congruentes.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos las cometas. Específicamente aprendimos:

  • Identificar la relación entre las diagonales de las cometas.
  • Identificar la relación entre los ángulos de las cometas.

Es útil ser capaz de identificar las propiedades específica de las cometas. Serás capaz de usar esta información de varias maneras diferentes.

Puntos a considerar

Ahora que ya has aprendido sobre diferentes tipos de cuadriláteros, es importantes que aprendas más sobre las relaciones entre formas. El siguiente capítulo trata sobre la similitud entre formas.

Preguntas de repaso

Para los ejercicios 1-5, usa la cometa KITEde abajo con las medidas dadas.

  1. m \angle KIT = \underline{\;\;\;\;\;\;\;}
  2. m \angle TEI =\underline{\;\;\;\;\;\;\;}
  3. m \angle EKI =\underline{\;\;\;\;\;\;\;}
  4. m \angle KCE =\underline{\;\;\;\;\;\;\;}
  5.  KC =\underline{\;\;\;\;\;\;\;}

Para los ejercicios 6-10, completa los espacios en blanco de cada oración referente a la cometa ABCD de abajo:

  1. Los ángulos de vértice de la cometa ABCD son _________ y __________.
  2. ___________ es la bisectriz perpendicular de _______________.
  3. La diagonal ___________ bisecta a \angle ________ y \angle _______.
  4. \angle\ \underline{\;\;\;\;\;\;\;}\ \cong\ \angle\underline{\;\;\;\;\;\;\;}, \angle\underline{\;\;\;\;\;\;\;}\ \cong\ \angle _______ y \angle\underline{\;\;\;\;\;\;\;}\ \cong\ \angle\underline{\;\;\;\;\;\;\;}.
  5. La línea de simetría de la cometa se encuentra a los largo del segmento __________.
  6. ¿Pueden ser congruentes entre si las diagonales de una cometa? ¿Por qué sí o por qué no?

Respuestas de las preguntas de repaso

  1. 160^\circ
  2. 28^\circ
  3. 72^\circ
  4. 90^\circ
  5. 4.1 \;\mathrm{cm}
  6. Los ángulos de vértice de la cometa ABCD son \angle DAB y \angle BCD.
  7. \overline{AC} es la bisectriz perpendicular de \overline{DB}.
  8. La diagonal \overline{AC} bisecta a \angle DAB y \angle BCD.
  9. Existen varias respuestas posibles: \angle ADC \cong ABC, \angle BAC \cong \angle DAC, \angle BCA \cong \angle DCA, \angle ABD \cong \angle ADB, \angle CDB \cong \angle CBD
  10. \overline{AC} es la línea de reflexión. Abajo se encuentra la cometa ABCD completamente denotada con todas las marcas geométricas.
  11. No, si las diagonales fueran congruentes entonces la “cometa” sería un cuadrado. Como los dos pares de lados congruentes no pueden ser congruentes entre si (deben ser distintos), las diagonales tendrán diferentes longitudes.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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