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7.2: Propiedades de las proporciones

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Objetivos de aprendizaje

En esta lección aprenderás a:

  • Probar teoremas de proporciones.
  • Reconocer proporciones válidas (verdaderas).
  • Utilizar teoremas de proporciones en resolución de problemas.

Introducción

El teorema de la multiplicación cruzada constituye la propiedad básica y definitoria de las proporciones. Siempre que dudes sobre la validez de una proporción, puedes comprobarla mediante la multiplicación cruzada. Adicionalmente, existe un número de “sub-teoremas” sobre proporciones que resultan útiles para resolver problemas. En cada caso, el sub-teorema es de fácil comprobación a través del uso de la multiplicación cruzada.

Propiedades de las proporciones

Técnicamente hablando, los teoremas que se presentan en esta lección no se llaman sub-teoremas. El término formal es corolario. La palabra corolario es vagamente definida en matemáticas. Básicamente, un corolario es un teorema que se obtiene rápida, fácil y directamente a partir de otro teorema — para nuestro caso, a partir del teorema de la multiplicación cruzada.

Los corolarios en esta sección no son absolutamente esenciales — tú podrías recurrir siempre a la multiplicación cruzada, pero habrá ocasiones cuando los corolarios harán tu trabajo más rápido o fácil. Por tanto, es bueno tenerlos presentes cuando sea necesario.

Corolarios de la multiplicación cruzada

Abajo se presentan tres corolarios que son resultados inmediatos del teorema de multiplicación cruzada y de las leyes fundamentales del álgebra.

Corolarios 1, 2 y 3 del teorema de la multiplicación cruzada

Si a \ne 0, b \ne 0, c \ne 0,, d \ne 0, y\frac{a} {b} = \frac{c} {d}, entonces ....

  1. \frac{a} {c} = \frac{b} {d}.
  2. \frac{d} {b} = \frac{c} {a}.
  3. \frac{b} {a} = \frac{d} {c}.

En palabras.

  1. Una proporción válida (verdadera) lo continúa siendo si “intercambias” los (términos) “medios.”
  2. Una proporción válida (verdadera) lo continúa siendo si “intercambias” los (términos) “extremos.”
  3. Una proporción válida (verdadera) lo continúa siendo si “la volteas”, es decir, si intercambias numerador por denominador, y viceversa, en cada miembro de la ecuación.

Ejemplo 1

Observa el diagrama siguiente.

Supón que \frac{10} {6} = \frac{15} {9} = \frac{x} {y}.

Sabemos que \frac{10} {6} = \frac{15} {9}, puesto que 10 \cdot 9 = 6 \cdot 15 = 90

He aquí otras proporciones que también deben ser válidas según los corolarios 1-3.

\frac{15} {x} & = \frac{9} {y} \\\frac{y} {6} & = \frac{x} {10} \\\frac{15} {9} & = \frac{x} {y} \\\frac{15} {10} & = \frac{9} {6} \\\frac{x} {15} & = \frac{y} {9}

Dos corolarios adicionales al teorema de la multiplicación cruzada

Presentamos dos corolarios adicionales al teorema de la multiplicación cruzada. Dado que la parte “Si” de estos teoremas es idéntica a la mencionada arriba, entonces la información dada o proporcionada, en cada prueba, se mantiene igual también.

Corolario 4:

Si a \ne 0, b \ne 0, c \ne 0, d \ne 0, y\frac{a} {b} = \frac{c} {d}, entonces

\frac{a + b} {b} = \frac{c + d} {d}.

Prueba.

Proposición Justificación
1. a \ne 0, b \ne 0, c \ne 0, d \ne 0 y \frac{a} {b} = \frac{c} {d} 1. Dado que
2. ad = bc 2. Teorema de multiplicación cruzada
3. (a + b) \times d = ad + bd 3. Propiedad distributiva
4. b(c + d) = bc + bd 4. Propiedad distributiva
5. b(c + d) = ad + bd 5. Sustitución
6. (a + b) \times d = b(c + d) 6. Sustitución
7. \frac{a + b} {b} = \frac{c + d} {d} 7. Teorema de multiplicación cruzada \blacklozenge

El segundo teorema que sigue es casi igual al anteriror,

Corolario 5:

Si a \ne 0, b \ne 0, c \ne 0,, d \ne 0, y \frac{a} {b} = \frac{c} {d}, entonces

\frac{a - b} {b} = \frac{c - d} {d}.

La prueba de este corolario se deja en la sección de ejercicios.

Ejemplo 2

Supón que, de nuevo, \frac{10} {6} = \frac{15} {9} = \frac{x} {y}, como en el ejemplo 1.

He aquí otras proporciones que deben ser válidas también. También se presentan los teoremas que garantizan su validez.

\frac{16} {6} & = \frac{24} {9} && \text{Corolario}\ 4\\\frac{4} {6} & = \frac{6} {9}  && \text{Corolario}\ 5\\\frac{24} {9} & = \frac{x + y} {y} && \text{Corolario}\ 4 \ \blacklozenge

Resumen de la lección

La proporciones probablemente no te resultaron desconocidas en esta lección. Pudiste haberlas estudiado en cursos previos. Lo que probablemente resulta nuevo para tí es la gran estructura de teoremas y corolarios que sirven como herramientas para trabajar con las proporciones.

El hecho más básico acerca de las proporciones es el teorema de la multiplicación cruzada.

\frac{a} {b} = \frac{c} {d} \Leftrightarrow ad = bc

asumiendo que a,\ b,\ c, y que d \ne 0. Los corolarios de ésta lección son, justamente, variaciones del teorema de la multiplicación cruzada. Ellos pueden ser útiles en la solución de problemas, pero siempre podríamos recurrir al teorema de la multiplicación cruzada si tenemos que hacerlo.

Algunas personas gustan de trabajar con proporciones porque existe un sinnúmero de formas diferentes—y correctas—de escribir una proporcion dada, tal como lo observaste en los corolarios. Más aún, algunas veces pareciera que ¡Realmente debes trabajar duro para escribir una proporción que no sea equivalente a la proporción que se te ha dado riginalmente!

Puntos a considerar

A medida que avancemos encontraremos conceptos importantes que requiren el uso de las razones y proporciones. Las proporciones son imprescindibles para entender el significado de semejante (similar). Más adelante, cuando trabajemos con transformaciones y factores de escala, las razones también nos serán de gran utilidad.

Finalmente, una prueba del teorema de Pitágoras se basa en el concepto de proporciones.

Ejercicios de repaso

Dado que \frac{10} {6} = \frac{15} {d} = \frac{x} {y}, x \ne 0, y \ne 0. En cada uno de los siguientes casos, escribe “verdadera” si la proporcion debe serlo. En caso contrario, escribe“falsa.”

  1. \frac{10} {y} = \frac{x} {6}
  2. \frac{10} {15} = \frac{6} {9}
  3. \frac{10} {y} = \frac{6} {x}
  4. \frac{y} {6} = \frac{x} {10}
  5. \frac{9} {15} = \frac{6} {10}
  6. \frac{6} {x} = \frac{10} {y}
  7. \frac{25} {15} = \frac{x} {y}
  8. \frac{10} {16} = \frac{x} {x + y}
  9. \frac{33} {9} = \frac{x + 2y} {y}
  10. \frac{4} {6} = \frac{y - x} {y}
  11. Prueba: Si \frac{a} {b} = \frac{c} {d}, b \ne 0, d\ne0, entonces \frac{a} {a + b} = \frac{c} {c + d}.
  12. Prueba el corolario 5 del teorema de la multiplicación cruzada.

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1. Falsa
  2. Verdadera
  3. Falsa
  4. Verdadera
  5. Verdadera
  6. Falsa
  7. Verdadera
  8. Verdadera
  9. Verdadera
  10. Falsa
  11. Proposición Justificación
    A. \frac{a} {b} = \frac{c} {d}, b\ne0, d\ne0 A. Dado que
    B. ad = bc B. Teorema de la multiplicación cruzada
    C. a(c + d) = ac + ad C. Propiedad distributiva
    D. a(c + d) = ac + bc D. Sustitución
    E. a(c + d) = (a + b) c E. Propiedad distributiva
    F. \frac{a} {a + b} = \frac{c} {c + d} F. Teorema de la multiplicación cruzada.
  1. Proposición Justificación
    A. \frac{a} {b} = \frac{c} {d}, b\ne0, d\ne0 A. Dado que
    B. ad = bc B. Teorema de la multiplicación cruzada
    C. (a - b) d = ad - bd C. Propiedad distributiva
    D. (a - b) d = bc - bd D. Sustitución
    E. (a - b) d = (c - d) b E. Propiedad distributiva
    F. \frac{a - b} {b} = \frac{c - d} {d} F. Teorema de la multiplicación cruzada.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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