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7.3: Polígonos semejantes

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Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer polígonos semejantes.
  • Identificar ángulos y lados correspondientes de polígonos semejantes de una afirmación de semejanza.
  • Calcular y aplicar factores de escala.

Introducción

Figuras semejantes, como rectángulos y triángulos, tienen la misma forma. Misma forma, sin embargo, no es un término lo suficientemente preciso para geometría. En esta lección aprenderemos una definición precisa de semejanza y la aplicaremos a las medidas de los lados y los ángulos de polígonos semejantes.

Polígonos semejantes

Observa los triángulos de abajo.

  • Los triángulos a la izquierda no son semejantes porque tienen la misma forma.
  • Los triángulos en el centro son semejantes. Todos tienen la misma forma sin importar su tamaño.
  • Los triángulos a la derecha son semejantes. Todos tienen la misma forma sin importar su posicion o su tamaño.

Observa los cuadriláteros de abajo.

  • Los cuadriláteros arriba a la izquierda no son semejantes porque no tienen la misma forma.
  • Los cuadriláteros arriba a la derecha son semejantes. Todos tienen la misma forma sin importar su tamaño.
  • Los cuadriláteros abajo a la izquierda son semejantes. Todos tienen la misma forma sin importar su posición y su tamaño.

Seriamente veamos ahora que significa que dos o más figuras sean semejantes. Los rectángulos de abajo son todos semejantes a cada uno.

Estos rectángulos son semejantes, pero no es porque sean rectángulos. El hecho de ser rectángulos garantiza que estas figuras tienen ángulos congruentes. Pero esto no es suficiente. Has vistos muchos rectángulos anteriormente, algunos son largos y delgados, y otros son más parecidos a la forma de un cuadrado.

Todos los rectángulos de arriba tienen la misma forma. Para convencerte puedes medir la longitud y el ancho de cada rectángulo. Cada rectángulo tiene una longitud que es exactamente dos veces su ancho. Así, que la razón de la longitud con respecto al ancho es 2:1 para cada rectángulo. Ahora, podemos construir una definición más formal de qué significa semejante en geometría.

Dos polígonos son semejantes si y sólo si:

  • tienen el mismo número de lados.
  • para cada ángulo en cualquier polígono hay un ángulo correspondiente en el otro polígono que es congruente
  • las longitudes de todos los lados correspondientes en los polígonos son proporcionales

Recordatorio: así como hicimos con las figuras congruentes, nombramos los polígonos semejantes de acuerdo a su partes correspondientes. El símbolo \sim es usado para representar “es similar a.” Algunas personas lo llaman “el signo de congruencia si la igualdad.”

Ejemplo 1

Supongamos que \triangle{ABC}\sim \triangle{JKL}. Basados en esta afirmación, ¿cuáles ángulos son congruentes y cuáles lados son proporcionales? Escribe afirmaciones verdaderas de congruencia y proporción.

\angle{A} \cong \angle{J}, \angle{B} \cong \angle{K}, and \angle{C} \cong \angle{L}

\frac{AB} {JK} = \frac{BC} {KL} = \frac{AC} {JL}

Recuerda que hay mucho formas equivalentes de escribir una proporción. La respuesta de arriba no es el único conjunto de proporciones verdaderas que puedes crear basado en la afirmación de semejanza dada. ¿Puedes pensar en otras?

Ejemplo 2

Dado que: MNPQ \sim RSTU

¿Cuáles son los valores de x, y, y z en el diagrama de abajo?

Construyamos una proporción para resolver para x:

\frac{x} {25} &= \frac{18} {30} \\\frac{x} {25} &= \frac{3} {5} \\5x &= 75 \\x &= 15

Ahora construyamos una proporción para resolver para y:

\frac{y} {15} &= \frac{30} {18} \\\frac{y} {15} &= \frac{5} {3} \\ 3y &= 75 \\ y &= 25

Finalmente, ya que Z es un ángulo, queremos encontrar m\angle{R}

Z = m\angle {R}=m\angle {M} = 115^\circ

Ejemplo 3

ABCD es un rectángulo con longitud 12 y ancho 8.

UVWX es un rectángulo con longitud 24 y ancho 18.

A. ¿Son congruentes los correspondientes ángulos de los rectángulos?

Si. Ya que ambos son rectángulos, todos los ángulos en ambos rectángulos son ángulos rectos congruentes.

B. ¿Son proporcionales las longitudes de los lados de los rectangulos?

No. La razón de las longitudes es 12:24 = 1:2. La razón de los anchos es 8:18 = 4:9 \ne 1:2. Por consiguiente, las longitudes de los lados no son proporcionales.

C. ¿Son similares los rectángulos?

No. Los ángulos correspondientes son congruentes, pero las longitudes de los lados no son proporcionales.

Ejemplo 4

Probar que todos los cuadrados son similares.

Nuestra prueba se describe en los siguientes párrafos:

Dados dos cuadrados.

  • Todos los ángulos de ambos cuadrados son ángulos rectos, así que todos los ángulos de ambos cuadrados son congruentes—y esto incluye ángulos correspondientes.
  • Sea la longitud de cada lado de un cuadrado k, y la longitud de cada lado del otro cuadrado m. Entonces la razón de la longitud de cualquier lado del primer cuadrado y la longitud de cualquier lado del segundo cuadrado es k: m. Así las longitudes de los lados son proporcionales.
  • Los cuadrados satisfacen la definición de polígonos semejantes: ángulos congruentes y longitud de los lados proporcionales - así que son similares.

Factores de escala

Si dos polígonos son similares, sabemos que las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales. Si k es la longitud de un lado en un polígono, y m es la longitud del lado correspondiente en el otro polígono, entonces la razón \frac{k} {m} es llamada el factor de escala que relaciona el primer polígono al segundo. Otra forma de decir esto es:

La longitud de cada lado del primer polígono es \frac{k} {m} veces la longitud del lado correspondiente del otro polígono.

Ejemplo 5

Observa el diagrama de abajo, donde ABCD y AMNP son rectángulos similares.

A. ¿Cuál es el factor de escala?

Ya que ABCD \sim  AMNP, entonces AM y AB son lados correspondientes. Ya que ABCD es un rectángulo, sabes que AB = DC = 45.

El factor de escala es la razón de las longitudes de cualesquiera dos lados correspondientes.

Así que el factor de escala (que relaciona ABCD con AMNP) es \frac{45} {30} = \frac{3} {2} = 1.5. Sabemos que la longitud de cada lado de ABCD es 1.5\;\mathrm{veces} la longitud del lado correspondiente en AMNP.

Comentario: podemos “invertir” la relación y hablar del factor de escala que relacione AMNP con ABCD. Este factor de escala es justamente \frac{30} {45} = \frac{2} {3}, el cual es el reciproco del factor de escala que relaciona ABCD con AMNP.

B. ¿Cuál es la razón de los perímetros de los rectángulos?

ABCD es un rectangulo de 45 por 60. Su perimetro es 45 + 60 + 45 + 60 = 210.

AMNP es un rectangulo de 30 por 40. Su perimetro es 30 + 40 + 30 + 40 = 140.

La razón de los perímetros de ABCD y AMNP es \frac{210} {140} = \frac{3} {2}.

Comentario: Puedes ver en este ejemplo la razón de los perímetros de los rectángulos es la misma que el factor de escala. Esta relación para los perímetros es verdadera en general para cualesquiera polígonos semejantes.

Razón de los perímetros de polígonos semejantes

Probemos el teorema que sugiere el ejemplo 5.

Razón de los perímetros de polígonos semejantes:

Si P y Q son dos polígonos semejantes, cada uno con n lados y el factor de escala de los polígonos es s, entonces la razón de los perímetros de los polígonos es s.

  • Dado que: P y Q son dos poligonos similares, cada uno con n lados:

el factor de escala de los polígonos es s.

  • Probar que: La razón de los perímetros de los polígonos es s.
Afirmación Razón
1. P y Q son polígonos similares, cada una con n lados 1. Dado
2. El factor de escala de los polígonos es s 2. Dado
3. Sean p_1 , p_2 ,\ldots, p_n y q_1 , q_2 ,\ldots, q_n las longitudes de los lados correspondientes de P y Q 3. Dado (cada polígono tiene n lados)
4. p_1 = sq_1,\;p_2 = sq_2 ,\;\ldots\;, p_n = sq_n 4. Definicion del factor de escala
5. Perimetro de P = p_1 + p_2 + \ldots + p_n 5. Definicion de perimetro
6. = sq_1 + sq_2 + \ldots + sq_n 6. Sustitucion
7. = s \left(q_1 + q_2 + \ldots + q_n\right) 7. Propiedad distributiva
8. = s, el perímetro de Q 8. Definición de perímetro \blacklozenge

Comentario: la razón de los perímetros de cualesquiera dos polígonos similares es la misma que el factor de escala. Por cierto, la razón de cualesquiera dos correspondientes medidas lineales en figuras semejantes es la misma que el factor de escala. Esto aplica a lados correspondientes, perímetros, diagonales, medianas, semirectas, altitudes, etc.

Como veremos en la siguiente lección, esto no es definitivamente verdadero para las áreas de polígonos semejantes. La razón de las áreas de polígonos semejantes (que no son congruentes) no es la misma que el factor de escala.

Ejemplo 6

\triangle{ABC}\sim\triangle{MNP}. El perímetro de \triangle{MNP} es 150.

¿Cuál es el perímetro de \triangle{ABC}?

El factor de escala que relaciona \triangle{ABC} con \triangle{MNP} es \frac{32} {48} = \frac{2} {3}. De acuerdo al teorema de la razón del perímetro, el perímetro de \triangle{ABC} es \frac{2} {3} del perímetro de \triangle{MNP}. Por consiguiente, el perímetro de \triangle{ABC} es \frac{2} {3} \cdot 150 = 100.

Resumen de la lección

Similar tiene un significada muy especifico en geometría. Los polígonos son semejantes si y sólo si las longitudes de sus lados son proporcionales y sus correspondientes ángulos son congruentes. Esto es misma figura traducido en términos geométricos.

La razón de las longitudes de los lados correspondientes en polígonos similares es llamada factor de escala. Las longitudes de otras medidas lineales correspondientes como el perímetro, diagonales, etc. tienen el mismo factor de escala.

Punto para considerar

Los factores de escala muestran la relación entre medidas lineales correspondientes de polígonos similares. La historia no es así de simple para la relación entre las áreas o volúmenes de polígonos semejantes y poliedros (figuras en tres dimensiones). Estudiaremos estas relaciones en futuras lecciones.

Triángulos semejantes son la base para el estudio de trigonometría. El resultado de que las razones de las longitudes de lados correspondientes en triangulo rectos dependan solamente de la medida del ángulo, no del tamaña del triangulo, convierte la funciones trigonométricas en las propiedades de un ángulo, como estudiaras en el capítulo 8.

Preguntas de repaso

¿Verdadero o falso?

  1. Todos los triángulos equiláteros son similares.
  2. Todos los triángulos isósceles son similares.
  3. Todos los rectángulos son similares.
  4. Todos los rombos son similares.
  5. Todos los cuadrados son similares.
  6. Todos los polígonos congruentes son similares.
  7. Todos los polígonos similares son congruentes.

Use el siguiente diagrama para los ejercicios 8-11.

Dada la relación para los rectángulos: ABCD:AMNP.

¿Cuál es el valor de la cada expresión?

  1. AB
  2. BC
  3. MB
  4. PD
  5. Dado que \triangle ABC \cong \triangle MNP, ¿cuál es el factor de escala de los triángulos?

Use el diagrama de abajo para los ejercicios 13-16.

Dado que: \overline{PQ}: \overline{ST}

  1. ¿Cuál es el perímetro de \triangle {PQR}?
  2. ¿Cuál es el perimetro de \triangle {TSR}?
  3. ¿Cuál es la razón del perímetro de \triangle {PQR} con el perímetro de \triangle {TSR}?
  4. Probar: :PQR: TSR. [Escribe una prueba de flujo.]
  5. M es el punto medio de \overline{AB} y N es el punto medio de \overline{AB} en \triangle {ABC}.
    1. Nombra un par se segmentos paralelos.
    2. Nombra dos pares de ángulos congruentes.
    3. Escribe una afirmación de semejanza para dos triángulos.
    4. Si el perímetro del triangulo grande en c es p, ¿cuál es el perímetro del triangulo pequeño?
    5. Si el área de \triangle {ABC} es 100, ¿cuál es el área del cuadrilátero AMNC?

Respuestas

  1. Verdadero
  2. Falso
  3. Falso
  4. Falso
  5. Verdadero
  6. Verdadero
  7. Falso
  8. 45
  9. 60
  10. 15
  11. 20
  12. 1: 1, 1, o 1.0
  13. 8
  14. 16
  15. 1: 2, \frac{1} {2}, 0.5 o equivalente
  16. PQ: TS = QR: SR = PR: TR = 1:2 , así todos los lados son proporcionales. & \angle{PRQ} \cong \angle{TSR} && \text{(ángulos verticales) }\\& \angle{RPQ} \cong \angle{RTS}, \angle{RQP} \cong \angle{RST} && \text{(lineas paralelas, ángulos interiores alternantes son congruentes)}\\& \triangle{PQR}: \triangle{TSR} && \text{(definición de polígonos semejantes: ángulos son congruentes},\\&&& \text{las longitudes de los lados son proporcionales)}
    1. \overline{MN}, \overline{AC}
    2. \angle{BMN} \cong \angle{BAC} \angle{BNM} \cong \angle{BCA}
    3. \triangle{BAC}: \triangle{BMN}
    4. \frac{1} {2}p, \frac{p} {2} o equivalente
    5. 75

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