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7.4: Semejanza por AA

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Objetivos de aprendizaje

  • Determinar cuándo dos triángulos son similares.
  • Comprender la reglas AAA y AA para triángulos semejantes.
  • Resolver problemas sobre triángulos semejantes.

Introducción

Tienes comprensión de que son polígonos semejantes y como reconocerlos. Dado que los triángulos son la construcciones más básicas sobre las cuales otros polígonos pueden basarse, ahora nos enfocaremos especialmente en triángulos semejantes. Encontraremos sorprendentemente que hay una regla simple para que los triángulos sean semejantes.

Ángulos en triángulos semejantes

Nota técnica - software geométrico

Usa tu software geométrico para experimentar con triángulos. Trata de hacer esto:

  1. Construir dos triángulos, \triangle ABC y \triangle MNP.
  2. Medir los ángulos de ambos triángulos.
  3. Mover los vértices hasta que las medidas de los correspondientes ángulos sean iguales en ambos triángulos.
  4. Calcular las razones de las longitudes de los lados.

\frac{AB} {MN} \frac{BC} {NP} \frac{AC} {MP}.

Repetir pasos 1-4 con diferentes triángulos. Observa que pasa en el paso 4 cada vez. Escribe tus observaciones.

¿Qué viste durante tu experimento? Debiste notar esto: cuando ajustaste los triángulos para hacer sus ángulos congruentes, automáticamente hiciste los lados proporcionales (las razones en el paso 4 son las mismas). Una vez tenemos ángulos con ángulos congruentes y lados con longitudes proporcionales, sabemos que los triángulos son semejantes.

Conclusión: Si los ángulos de un triangulo son congruentes a los correspondientes ángulos de otro triangulo, los triángulos son similares. Esta es una regla muy útil para triángulos similares— una regla basada solamente en los ángulos de los triángulos. Llamamos a esta la regla AAA.

Precaución: la regla AAA es una regla solo para triángulos. De ante mano sabemos que otros pares de polígonos pueden tener todos los ángulos correspondientes congruentes a pesar de que los polígono no sean semejantes.

Ejemplo 1

La siguiente es una afirmación falsa: si los ángulos correspondientes de dos polígonos son congruentes, entonces los polígonos son semejantes.

¿Cuál es un contra ejemplo para la afirmación falsa de arriba?

Dibuja dos polígonos que no sean semejantes, pero que tengan todos los ángulos correspondientes congruentes.

Rectángulos como los que se presentan abajo son buenos ejemplos.

Nota: todos los rectángulos tienen ángulos (rectos) congruentes. Sin embargo, vimos en una lección anterior que los rectángulos pueden tener diferentes formas—largos y delgados o cortos y similares a cuadrados. En términos generales, estos rectángulos tienen ángulos congruentes, pero las longitudes de sus lados obviamente no son proporcionales. Los rectángulos no son semejantes. Ángulos congruentes no son suficientes para asegurar semejanza de rectángulos.

La regla AA para triángulos semejantes

Algunos artistas y diseñadores aplican el principio: “menos es más.” Esta idea tiene un lugar en geometría también. Algunos geómetras creen que es más satisfactorio probar algo con la menor información posible. Triángulos semejantes son un buen ejemplo de este principio.

La regla AAA fue desarrollada previamente para triángulos semejantes. Observemos otra vez esta regla y veamos si podemos reducirla a “menos” en vez de “más.”

Supongamos que los triangulos \triangle ABC y \triangle MNP tienen dos pares de ángulos congruentes, por decir

\angle{A} \cong \angle{M} y \angle{B} \cong \angle{N}.

Pero sabemos que si los triángulos tienen dos pares de ángulos congruentes, entonces el tercer par de ángulos también son congruentes (por el teorema de la suma para triángulos).

Resumen: menos es más. La regla AAA para triángulos semejantes se reduce al postulado AA para triángulos semejantes.

El postulado AA para triángulos semejantes:

Si dos pares de ángulos correspondientes en dos triángulos son congruentes , entonces los triángulos son similares.

Ejemplo 2

Observa el diagrama de abajo.

A. ¿Son los triangulos semejantes? Explica tu respuesta.

Si. Ambos tienen angulos rectos congruentes de 35^ \circ. Los triangulos son similares por AA.

B. Escribe una afirmacion de semejanza para los triangulos.

\triangle ABC: \triangle TRS o equivalente

C. Nombra todos los pares de ángulos congruentes.

\angle{A} \cong \angle{T}, \angle{B} \cong \angle{R}, \angle{C} \cong \angle{S}

D. Escribe ecuaciones que describan las longitudes de los lados proporcionales en los triángulos.

\frac{AB} {TR} = \frac{BC} {RS} = \frac{AC} {TS} or equivalent

Medida indirecta

Una aplicación tradicional de triángulos semejantes es medir longitudes indirectamente. La longitud a ser medida sera alguna que no es accesible a una persona fácilmente. Esta longitud puede ser:

  • en ancho de un río
  • la altura de un objeto alto
  • la distancia a través de un lago, cañón, etc.

Para medir indirectamente, una persona construiría un par de triángulos semejantes. Los triángulos tendrían tres longitudes de los lados conocidas y la longitud desconocida. Una vez que está claro que los triángulos son semejantes, la longitud desconocida puede ser calculada usando proporciones.

Ejemplo 3

Flo quiere medir la altura de un molino de viento. Ella sostiene un tubo vertical de 6\;\mathrm{pies} con su base tocando el nivel del suelo, y la sombra del tubo tiene un longitud de 10\;\mathrm{pies}. Al mismo tiempo, la sombra de la torre tiene una longitud de 85\;\mathrm{pies}. ¿Cuán alta es la torre?

Dibujar un diagrama.

Nota: no hay ningún problema en asumir que los rayos del sol tocan el suelo con el mismo ángulo. También es apropiado asumir que la torre es vertical (perpendicular al suelo).

El diagrama muestra dos triángulos rectos semejantes. Son semejantes porque cada uno tiene un ángulo recto y el ángulo donde los rayos del sol tocan el suelo es el mismo para ambos objetos. Podemos escribir una proporción con solo una incógnita, x, la altura de la torre.

\frac{x} {85} &= \frac{6} {10} \\10x &= 85 \cdot 6 \\10x &= 510 \\x &= 51

Así, la torre tiene una altura de 51\;\mathrm{pies}.

Nota: Este método es considerado una medida indirecta porque seria difícil medir directamente la altura de la torre. Imagina que difícil seria sostener un tubo para medir una torre de 51-\;\mathrm{pies}-\mathrm{de altura}.

Resumen de la lección

La forma más básica—porque esta requiere de la menor información—para asegurar que los triángulos son semejantes es mostrar que tienen dos pares de ángulos semejantes. El postulado AA dice esto: si dos triángulos tienen dos pares de ángulos congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

Una vez se sabe que los triángulos son semejantes, podemos escribir muchas proporciones verdaderas que involucren las longitudes de sus lados. Estas proporciones fueron la base para hacer una medida indirecta.

Puntos para considerar

Piensa sobre algunos triángulos rectos por un minuto. Supone que dos triángulos rectos tienen un ángulo agudo que mide 58^\circ. Entonces la razón \frac {\text{longitud del lado largo}} {\text{longitud del lado corto}} es la misma en ambos triángulos. Por cierto, esta razón, llamada “la tangente de 58^\circ ” es la misma en cualquier triangulo recto con un ángulo de 58^\circ. Como se menciono anteriormente, esta es la razón por la cuál las funciones trigonométricas para un ángulo dado son constantes sin importar el triangulo especifico involucrado.

Preguntas de repaso

Usa el diagrama de abajo para los ejercios 1-5.

Dado que \overline{AB} : \overline{DC}

  1. Nombra dos triángulos semejantes.
  2. Explica cómo sabes que los triángulos que nombraste en el ejercicio 1 son semejantes.
  3. Escribe una proporción verdadera.
  4. Nombra dos triángulos que no podrían ser semejantes.
  5. Si AB = 10, AE = 7, y DC = 22, ¿cuál es la longitud de \overline{AC}?
  6. Dado que AB = 8, TR= 6, y BC = k en el diagrama de abajo

Escribe una expresión para RS en función de k.

  1. Prueba el siguiente teorema:

Si un ángulo agudo de un triangulo recto es congruente con otro ángulo agudo perteneciente a otro triangulo recto, entonces los triángulos son congruentes.

Escribe una prueba de flujo.

Usa el siguiente diagrama para los ejercicios 8-12.

En una competencia real de geometría, los equipos deben estimar el ancho del río mostrado en el diagrama. Esto fue lo que hicieron.

  • Anna, Bela, y Carlos en la rivera de arriba del río.
  • Darryl y Eva pedalearon a través de la rivera de abajo del río.
  • Carlos puso una marca en C.
  • Darryl puso una marca directamente en frente de Carlos en D.
  • Bela camino 50\;\mathrm{pies} de regreso a la rivera en una linea con las marcas en C y D y puso una marca en B.
  • Anna camino 30\;\mathrm{pies} sobre una trayectoria perpendicular a \overline{BD} y puso una marca en A.
  • Eva se movió a lo largo de la rivera de abajo hasta que se alineo con A y C, y puso una marca en E.

\overline{AB}, \overline{BC}, y \overline{DE} están sobre la tierra, así que pueden ser medidas fácilmente. DE fue medida y se obtuvieron 80\;\mathrm{pies}.

  1. Nombra dos triángulos semejantes.
  2. Explica cómo sabes que los triángulos del ejercicio 8 son semejantes.
  3. Escribe una proporción en la cual la única medida desconocida sea CD.
  4. ¿Cuán ancho es el río?
  5. Discute si los triangulo usados para responder los ejercicios 8-11 son o no son buenos modelos para un río y sus riveras.

Respuesta a los ejercicios de repaso

  1. \triangle ABE, \triangle CDE o equivalente
  2. Los triangulos tienen dos pares de angulos internos alternos congruentes y un par de angulos verticales congruentes. Son semejante por AAA y AA.
  3. Cualquier proporcion obtenida de \frac{AB} {CD} = \frac{BE} {DE} = \frac{AE} {CE}
  4. \triangle AED, \triangle BEC o \triangle ABD, \triangle BAC por ejemplo
  5. \frac{AB} {CD} & = \frac{AE} {CE} \\\frac{10} {22} & = \frac{7} {CE} \\CE & = \frac{7 \times 22} {10} = \frac{154} {10} = 15.4 \\AC & = AE + CE = 7 + 15.4 = 22.4
  6. RS = \frac{3} {4} k, RS = \frac{3k} {4}
  7. Un ángulo agudo en cada triangulo es congruente a un ángulo agudo en el otro triangulo. También, ya que son triángulos rectos, ambos triángulos tienen un ángulo recto, y estos ángulos rectos son congruentes. Los triángulos son congruentes por AA.
  8. \triangle ABC: \triangle EDC
  9. \angle{B} y \angle{D} son ángulos rectos congruentes. \overline{AB}:\overline{DE}, así que \angle{A} y \angle{E} son ángulos interiores alternos congruentes. Los triángulos son semejantes por AA.
  10. & \frac{AE} {BC} = \frac{DE} {CD} \\& \frac{30} {50} = \frac{80} {CD}
  11. \frac{30} {50} & = \frac{80} {CD} \\30 \times CD  & = 50 \times 80 = 4000 \\CD  & = \frac{4000} {30} \approx 133
  12. El río tiene un ancho aproximado de
  13. 133\;\mathrm{pies}
  14. .
  15. Este parece ser un buen modelo. Las riveras son los suficientemente rectas para ser lineas. Las riveras aparecen aproximadamente paralelas. Si podemos aceptar que lineas rectas paralelas adecuadamente representan las riveras del río, entonces el modelo es bueno.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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