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7.5: Semejanza por SSS y SAS

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Objetivos de Aprendizaje

  • Usar SSS y SAS para determinar si los triángulos son semejantes.
  • Aplicar SSS y SAS para resolver problemas sobre triángulos semejantes.

Introducción

Tú has estado usando el postulado AA para trabajar con triángulos semejantes. AA es fácil de establecer y de aplicar. Además, existen otros postulados semejantes que deberían recordarte algunos de los postulados de congruencia. Estos son los postulados de semejanza SSS y SAS. Estos postulados te proporcionarán más herramientas para reconocer triángulos semejantes y resolver problemas que los involucran.

Explorando SSS y SAS para triángulos semejantes

Usaremos software de geometría, compás y regla para explorar relaciones entre triángulos basados en longitudes de lados proporcionales y ángulos congruentes.

SSS para triángulos semejantes

Nota técnica - Software de geometría

Usar tu software de geometría para explorar triángulos con longitudes de lados proporcionales. Intenta esto.

  1. Establecer dos triángulos, \triangle ABC y \triangle MNP, con cada longitud lateral de \triangle MNP siendo k veces la longitud del lado correspondiente de \triangle ABC.
  2. Medir los ángulos de ambos triángulos.
  3. Registra los resultados en una tabla como la de abajo.
Repite los pasos 1-3 para cada valor de k en la tabla. Mantener el mismo \triangle ABC a través de la exploración.
Datos de Triángulos
AB BC AC m\angle{A} m\angle{B} m\angle{C}
MN NP MP m\angle{M} m\angle{N} m\angle{P}
k = 2
k = 5
k = 0.6
  • Primero, tú conoces que las tres longitudes laterales en los dos triángulos son proporcionales. Eso es lo que significa para cada lado en \triangle MNP ser k veces la longitud del lado correspondiente en \triangle ABC.
  • Probablemente notaste lo que pasa con la medida del ángulo en \triangle MNP. Cada vez que formas un nuevo triángulo MNP para el valor dado de k, la medida de \angle{M}, \angle{N}, y \angle{P} fueron aproximadamente los mismos que las medidas de \angle{A}, \angle{B}, y \angle{C}. Como antes cuando experimentamos las relaciones AA y AAA, hay algo “automatico” que sucede. Si las longitudes de los lados de los triángulos son proporcionales, eso “automáticamente” hace los ángulos en los dos triángulos congruentes también. Por supuesto, una vez que conocemos que los ángulos son congruentes, también sabemos que los triángulos son semejantes por AAA o AA.

Actividad práctica

Materiales: Regla, compás, transportador, papel para graficar o papel normal.

Direcciones: Trabajar con un compañero en esta actividad. Cada compañero usará herramientas para dibujar un triángulo.

Cada compañero puede trabajar en una hoja de papel para graficar o en papel normal. Elaborar los dibujos lo más preciso como sea posible. Nota que no importa que unidad de longitud uses.

  1. Compañero 1: Dibujar un triángulo 6-8-10.
  2. Compañero 2: Dibujar un triángulo 9-12-15.
  3. Compañero 1: Medir los ángulos de tu triángulo.
  4. Compañero 2: Medir los ángulos de tu triángulo.
  5. Compañero 1 y 2: Comparar los resultados.

Qué es lo que notas?

  • Primero, tú sabes que las tres longitudes laterales en los en cada uno de los dos triángulos son proporcionales. \frac{6} {9} = \frac{8} {12} = \frac{10} {15} \left (= \frac{2} {3}\right)
  • También probablemente notaste que los ángulos en los dos triángulos son congruentes. Podrías desear repetir la actividad, dibujando dos triángulos con longitudes laterales proporcionales. Tú deberías encontrar, otra vez, que los ángulos en los triángulos son automáticamente congruentes.
  • Una vez que conocemos que los ángulos son congruentes, entonces sabemos que lo triángulos son semejantes por AAA o AA.

SSS para triángulos semejantes

Conclusión: Si las longitudes de los lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. Esto se conoce como SSS para triángulos semejantes.

SAS para triángulos semejantes

SAS para triángulos semejantes

Si las longitudes de dos lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales y los ángulos incluidos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. Esto se conoce como SAS para triángulos semejantes.

Ejemplo 1

Cheryl hizo el diagrama de abajo para investigar más los triángulos semejantes.

Ella dibujó \triangle ABC primero, con AB = 40, AC = 80, y m\angle{A} = 30^\circ.

Luego Cheryl hizo lo siguiente:

Ella dibujó \overline{MN}, e hizo MN = 60.

Entonces ella dibujó cuidadosamente \overline{MP}, haciendo MP = 120 y m\angle{M} = 30^\circ.

En este punto, Cheryl ha dibujado dos segmentos (\overline{MN} y \overline{MP}) con longitudes que son proporcionales a las longitudes de los lados correspondientes de \triangle ABC, y ella ha hecho el ángulo incluido \angle{M}, congruente al ángulo incluido (\angle{A}) en \triangle ABC.

Luego Cheryl midió los ángulos. Ella encontró que:

  • \angle{B} \cong \angle{N}
  • \angle{C} \cong \angle{P}

Que podría concluir Cheryl? Otra vez aquí tenemos resultados automáticos. Los otros ángulos son automáticamente congruentes, y los triángulos son semejantes por AAA o AA. El trabajo de Cheryl apoya el postulado SAS para triángulos semejantes.

Resumen de triángulos semejantes

Hemos explorado extensivamente triángulos semejantes en varias lecciones. Vamos a resumir las condiciones que hemos encontrado que garantizan que dos triángulos sean semejantes.

Dos triángulos son semejantes Si y sólo si:

  • los ángulos en los triángulos son congruentes.
  • las longitudes de los lados correspondientes en los polígonos son proporcionales.

AAA: Si los ángulos de un triángulo son congruentes a los ángulos correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

AA: Si dos pares de ángulos correspondientes en dos triángulos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

SSS para triángulos semejantes: Si las longitudes de los lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

SAS para triángulos semejantes: Si las longitudes de dos lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales y los ángulos incluidos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

Puntos a considerar

Has hecho alguna vez un cohete a escala? Has visto un dibujo a escala? Conoces personas que utilizan planos? Aumentas o disminuyes las fotografías en tu computadora? Todos estos son ejemplos de objetos semejantes en dos o tres dimensiones.

Ejercicios de Repaso

El triángulo 1 tiene lados con longitudes 3\;\mathrm{pulgadas} , 3\;\mathrm{pulgadas}, y 4\;\mathrm{pulgadas}.

El triángulo 2 tiene lados con longitudes 3\;\mathrm{pies} , 3\;\mathrm{pies} , y 4\;\mathrm{pies}.

  1. Son los triángulos 1 y 2 congruentes? Explica tu respuesta.
  2. Son los triángulos 1 y 2 semejantes? Explica tu respuesta.
  3. Cual es el factor de escala del triángulo 1 al triángulo 2?
  4. Por qué no estudiamos un postulado de semejanza ASA?

Usa la tabla de abajo para los ejercicios 4-4e.

Deben \triangle ABC y \triangle MNP ser semejantes?

m\angle{A} m\angle{B} m\angle{C} AB BC AC m\angle{M} m\angle{N} m\angle{P} MN NP MP
4a. 3 5 6 6 3 5
4b. 50^\circ 40^\circ 100^\circ 80^\circ
4c. 8 4 10 10 6 12
4d. 63^\circ 100 150 63^\circ 20 30
4e. 100^\circ 24 15 110^\circ 32 20
4f. 30.0 20.0 32.0 22.5 15.0 24.0
  1. Actividad Práctica

Materiales: Regla, compás, transportador, papel para graficar o papel normal.

Direcciones: Trabajar con un compañero en esta actividad. Cada compañero usará herramientas para dibujar un triángulo.

Cada compañero puede trabajar en una hoja de papel para graficar o en papel normal. Elaborar los dibujos lo más preciso como sea posible. Nota que no importa que unidad de longitud uses.

Compañero 1: Dibujar \triangle ABC con AB = 20, m\angle{A} = 40^\circ, y AC = 30

Compañero 2: Dibujar \triangle MNP con MN = 30, \angle{M} = 40^\circ, y MP = 45.

A. son los lados \overline{AB}, \overline{AC}, \overline{MN}, y \overline{MP} proporcionales? \frac{20} {30} = \frac{30} {45} = \frac{2} {3}

Compañero 1: Medir los otros ángulos de su triángulo.

Compañero 2: Medir los otros ángulos de su triángulo.

Compañeros 1 y 2: Comparar los resultados.

B. Son los otros ángulos de los dos triángulos (aproximadamente) congruentes?

C. Son los triángulos semejantes? Si lo son, escribir un enunciado similar y explicar cómo sabes que los triángulos son semejantes. \triangle ABC: \triangle MNP.

Respuestas

  1. No. Uno es mucho más grande que el otro.
  2. Si, SSS. Las longitudes laterales son proporcionales.
  3. 12
  4. No hay necesidad. Con las partes A y A de ASA tenemos triángulos con dos ángulos congruentes. Los triángulos son semejantes por AA. 4a. Si 4b. No 4c. No 4d. Si 4e. No 4f. Si
    1. Si
    2. Si
    3. Si. Los tres pares de ángulos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes por AAA o AA.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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