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7.6: Relaciones de proporcionalidad

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Objetivos de aprendizaje

  • Identificar segmentos proporcionales cuando dos lados de un triángulo son cortados por un segmento paralelo al tercer lado.
  • Dividir un segmento en cualquier número de partes congruentes.

Introducción

Finalizaremos nuestro estudio de triángulos semejantes en esta sección. También extenderemos algunos hechos básicos sobre triángulos semejantes y segmentos que los dividen.

Dividiendo proporcionalmente los lados de un triángulo

Piensa sobre un segmento medio de un triángulo. Un segmento medio es paralelo a uno de los lados de un triángulo, y que divide los otros dos lados en mitades congruentes, (porque el segmento medio conecta los puntos medios de esos dos lados). Entonces el segmento medio divide esos dos lados proporcionalmente.

Ejemplo 1

Explica el significado de "el segmento medio divide los lados de un triángulo proporcionalmente."

Vamos a suponer que cada mitad de un lado del triángulo tiene x\;\mathrm{unidades} de largo, y cada mitad del otro lado tiene y\;\mathrm{unidades} de largo.

Un lado es dividido en la proporción x: x, el otro lado en la proporción y: y Ambas de estas proporciones son equivalentes a 1:1 y entre sí.

Observamos que un segmento medio divide dos lados de un triángulo proporcionalmente. Pero que hay sobre algún otro segmento?

Nota Técnica - Software de Geometría

Usa tu software de geometría para explorar triángulos donde una línea paralela a un lado intercepta los otros dos lados. Intenta esto:

1. Establecer \triangle ABC.

2. Dibujar una línea que es paralela a \overline{AC} y que intercepta los otros lados de \triangle ABC.

3. Llamar al punto de intersección en \overline{AB} como D; llamar al punto de intersección en el punto en \overline{CB} como E.

Tu triángulo debería verse como esto:

DE paralelo a AC

4. Medir las longitudes y calcular las siguientes proporciones.

\frac{AD} {DB} = ______ y \frac{CE} {EB} = ______

5. Comparar tus resultados con aquellos de los otros estudiantes.

Diferentes estudiantes pueden comenzar con diferentes triángulos. Ellos pueden dibujar diferentes líneas paralelas a \overline{AC}. Pero en cada caso las dos proporciones,\frac{AD} {DB} y \frac{CE} {EB}, son aproximadamente las mismas. Esta es otra forma de decir que los dos lados del triángulo están divididos proporcionalmente. Podemos probar este resultado como un teorema.

Teorema de proporcionalidad de triángulo: si una línea paralela a un lado de un triángulo intercepta los otros dos lados, luego divide esos lados en segmentos proporcionales.

Prueba.

  • Dado: \triangle ABC con \overline{DE}: \overline{AC}
  • Prueba: \frac{AD} {DN} = \frac{CE} {EB}

Enunciado Razón
1. \overline{DE}: \overline{AC} 1. Dado
2. \angle{1} \cong \angle{3},\angle{2} \cong \angle{4} 2. Angulos correspondientes son congruentes
3. \triangle ABC: \triangle DBE 3. Postulado de Semejanza AA
4. AD + DB = AB,CE + EB = CB 4. Postulado de Adición de segmento
5. \frac{AD} {DB} = \frac{CE} {EB} 5. Longitudes de lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales
6. \frac{AD + DB} {DB} = \frac{CE + EB} {EB} 6. Sustitución
7. \frac{AD + DB} {DB} = \frac{AD} {DB} + \frac{DB} {DB} = \frac{AD} {DB} + 1
\frac{CE + EB} {EB} = \frac{CE} {EB} + \frac{EB} {EB} = \frac{CE} {EB} + 1
7. Algebra
8. \frac{AD} {DB} + 1 = \frac{CE} {EB} + 1 8. Sustitución
9. \frac{AD} {DB} = \frac{CE} {EB} 9. Addition property of equality \blacklozenge

Puedes ver por qué escribimos la proporción en esta forma, en vez de \frac{DB} {AD + DB} = \frac{EB} {CE + EB}, que es también una proporción verdadera?

Es porque \frac{x + y} {z} = \frac{x} {z} + \frac{y} {z}, pero no hay una forma semejante para simplificar \frac{r} {s + t}.

Nota: Lo contrario a este teorema es también verdadero. Si una línea divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, entonces la línea es paralela al tercer lado del triángulo.

Ejemplo 2

En el diagrama de abajo, UV : NP = 3:5.

Cual es la expresión en términos de x para la longitud de \overline{MN}?

Acorde al teorema de proporcionalidad del triángulo,

\frac{3} {5} & = \frac{MU} {MU+3x} \\3MU+9x & = 5MU \\2MU & = 9x \\MU & = \frac{9x} {2} = 4.5x \\MN & = MU + UN = 4.5x + 3x \\MN & = 7.5x

Existen algunos corolarios muy interesantes al teorema de proporcionalidad del triángulo. Uno podría ser llamado el Corolario del cuaderno de papel rayado!

Líneas paralelas y transversales

Ejemplo 3

Observa al diagrama de abajo. Podemos elaborar un corolario al teorema previo.

k,\;m,\;n,\;p,\;r son etiquetas para líneas

a,\;b,\;c,\;d son longitudes de segmentos

k,\;m,\;n son paralelos pero no igualmente espaciados

Se nos ha dado que las líneas k,m, y n son paralelas. Podemos observar que las líneas paralelas cortan las líneas p y r (transversales). Un corolario al teorema de proporcionalidad del triángulo establece que las longitudes de los segmentos en una transversal son proporcionales a las longitudes de los segmentos en la otra transversal.

Conclusión: \frac{a} {b} = \frac{c} {d} and \frac{a} {c} = \frac{b} {d}

Ejemplo 4

El corolario en el ejemplo 3 puede ser ampliado a cualquier número de líneas paralelas que cortan cualquier número de transversales. Cuando esto sucede, todos los segmentos correspondientes de la transversal son proporcionales!

El diagrama de abajo muestra varias líneas paralelas , k_1 , k_2 , k_3 y k_4, que cortan varias transversales t_1 , t_2, y t_3.

k las líneas son todas paralelas.

Ahora tenemos muchos segmentos proporcionales.

Por ejemplo:

\frac{a} {b} = \frac{d} {e} , \frac{a} {c} = \frac{g} {i} , \frac{b} {h} = \frac{a} {g} , \frac{c} {f} = \frac{b} {e} , y muchos más.

Este corolario se extiende a más líneas paralelas cortando más transversales.

Corolario del cuaderno de papel rayado

Piensa en una hoja de cuaderno de papel rayado. Una hoja tiene numerosos segmentos paralelos horizontales igualmente espaciados; estas son las líneas en las que una persona puede escribir. Y hay un segmento vertical que va hacia abajo en el lado izquierdo de las hojas. Este es el segmento que establece el margen, así que tú no escribes hasta el borde del papel.

Ahora vamos a suponer que dibujamos un segmento inclinado en la hoja de papel rayado.

Ya que el segmento del margen vertical está dividido en partes congruentes, entonces el segmento inclinado también está divido también en segmentos congruentes. Este es el corolario del cuaderno de papel rayado.

Lo que hemos hecho aquí es dividir el segmento inclinado en cinco partes congruentes. Al colocar el segmento inclinado en diferente forma podríamos dividirlo en cualquier número de partes congruentes.

Nota de Historia

En tiempos antiguos, los matemáticos estaban interesados en dividir en dos y en tres los ángulos y los segmentos. Dividir en dos no era un problema. Eran capaces de usar geometría básica para dividir ángulos y segmentos.

Pero que hay sobre la división de un ángulo o segmento en tres partes congruentes exactas? Esto era un verdadero reto! En efecto, los geómetras griegos antiguos probaron que un ángulo no puede ser divido en tres usando solamente un compás y una regla.

Con el corolario del cuaderno de papel rayado, sin embargo, tenemos una forma fácil de dividir en tres un segmento dado.

Ejemplo 5

Dividir en tres el segmento de abajo.

Dibujar lineas horizontales igualmente espaciadas como las de un cuaderno de hojas rayadas. Luego coloca el segmento en las líneas horizontales así sus puntos finales están en dos líneas horizontales que están tres espacios aparte.

  • El segmento inclinado tiene la misma longitud que el segmento del diagrama de arriba
  • Los puntos finales están en los segmentos horizontales mostrados
  • El segmento inclinado está dividido en tres partes congruentes

Las líneas horizontales ahora dividen el segmento en tres. Podríamos usar el mismo método para dividir un segmento en cualquier número requerido de segmentos más pequeños.

Resumen de la lección

En esta lección comenzamos con los hechos básicos sobre triángulos semejantes la definición y las propiedades SSS y SAS. Luego construimos en aquellos para crear relaciones proporcionales numerosas. Primero examinamos lados proporcionales en triángulos, luego extendimos ese concepto dividiendo a los segmentos en partes proporcionales. Hemos finalizado esas ideas con una propiedad del papel de cuaderno que nos proporciono una forma para dividir un segmento en cualquier número dado de partes iguales.

Puntos a considerar

Antes en este libro estudiaste transformaciones congruentes. Estas son transformaciones en las cuales la imagen es congruente a la figura original. tú encontraste que las traslaciones (deslizamientos), rotaciones (vueltas), y reflejos (volteo) son todas transformaciones congruentes. en la próxima lección estudiaremos transformaciones de semejanza en las cuales la imagen es semejante a la figura original. Nos enfocaremos en dilataciones. Estas son figuras que disminuimos o aumentamos. La idea es bastante similar a aumentar o encoger una foto antes de imprimirla.

Ejercicios de repaso

Usar el diagrama de abajo para los ejercicios 1-5.

Dado que \overline{DB}: \overline{EC}

  1. Name similar triangles.

Completar la proporción.

  1. \frac{AB} {BC} = \frac{?} {DE}
  2. \frac{AB} {AD} = \frac{?} {DE}
  3. \frac{AB} {AC} = \frac{AD} {?}
  4. \frac{AC} {AE} = \frac{BC} {?}

Las líneas k, m, y n son paralelas.

  1. Cuál es el valor de x?

Las líneas k, m, y n son paralelas, y AB = 30.

  1. Cual es el valor dex?
  2. Cual es el valor de y?
  3. Explica cómo dividir un segmento en siete segmentos congruentes usando el corolario del cuaderno de papel rayado.

Respuestas

  1. \triangle ABD: \triangle ACE o equivalente
  2. AD
  3. BC
  4. AE
  5. DE
  6. 22.5
  7. 11.25
  8. 18.75
  9. Colocar el segmento original de forma que un punto final este en la línea horizontal superior. Inclinar el segmento de forma que la otra punta este en la séptima línea por debajo de la línea superior. Estas ocho líneas horizontales dividen el segmento original en siete segmentos congruentes más pequeños.

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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