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7.7: Transformaciones semejantes

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Objetivos del aprendizaje

  • Dibujar la homotecia de una figura dada.
  • Graficar la imagen de un punto cuando es proporcionado el centro y el factor de escala de la homotecia.
  • Reconocer el significado del factor de escala en una homotecia.

Introducción

Anteriormente estudiaste un grupo de transformaciones que "preservan" la longitud. Esto significa que la imagen de un segmento es un segmento congruente. Estas "'transformaciones congruentes"' son las traslaciones, las reflexiones y las rotaciones.

En esta lección, estudiarás otro tipo de transformación, la "homotecia". Homotecias no preservan las longitudes, lo que significa que el segmento de una imagen no será un segmento congruente al original. Verás que la imagen de una figura en una homotecia es similar, pero no necesariamente congruente, a la figura original.

Homotecias

Una homotecia es como una "transformación" de una foto para cambiar su tamaño. Una homotecia puede hacer a una figura más grande o más pequeña, pero con la misma forma de la original. En otras palabras, como verás más adelante, una homotecia produce una figura similar a la original.

Una homotecia es una transformación que tiene un centro y un factor de escala. El centro es un punto y el factor de escala rige cuanto una figura se estira o se encoge.

Piensa en un balón siendo inflado, y concéntrate en un punto en el punto medio del balón. El balón se estira hacia afuera de este punto de una forma uniforme. Por ejemplo, si un círculo es dibujado al rededor del punto medio de un globo, el círculo crecerá a medida que el globo se estira hacia afuera de este punto.

Una homotecia con centro en el punto P y factor de escala de k, siendok > 0

Dado un punto Q que esta a d\;\mathrm{unidades} desde el punto P. La imagen de Q para esta homotecia es el punto Q' que es colineal a P y Q y esta a kd\;\mathrm{unidades} desde el P, el centro de la homotecia.

Ejemplo 1

El centro de la homotecia es P, y tiene un factor de escala de 3.

El punto Q esta a 6\;\mathrm{unidades} desde P. Para encontrar la imagen del punto Q, nos desplazamos 3 \times 6 = 18\;\mathrm{unidades} desde P a lo largo de \overline{PQ} para ubicar Q', la imagen de Q. El punto Q' esta tres veces mas lejos (18\;\mathrm{unidades}) a partir de P ya que Q esta a (6\;\mathrm{unidades}), y P, Q, y Q' son colineales.

Nota que: El factor de escala es 3. La distancia desde P a Q' es “estirada” tres veces a lo largo de la trayectoria entre P y Q.

Ejemplo 2

El centro de una homotecia es P, y el factor de escala es \frac{1} {3}.

El punto Q esta a 6\;\mathrm{unidades} de P, como en el ejemplo 1. Para encontrar la imagen del punto Q, nos movemos \frac{1} {3} \times 6 = 2\;\mathrm{unidades} a partir de P a lo largo de \overline{PQ} para ubicar Q', la imagen de Q. El punto Q' esta \frac{1} {3}\;\mathrm{times} tan lejos (2\;\mathrm{unidades}) desde P como Q esta (6\;\mathrm{unidades}), y P, Q y Q' son colineales.

Nota que: el factor de escala es \frac{1} {3} . La distancia desde P a Q' “se encoge” a \frac{1} {3}\;\mathrm{times} a lo largo de la distancia entre P y Q.

Example 3

KLMN 'es un rectángulo. ¿Cuál es el ancho, largo, perímetro y área de KLMN?

& \text{Largo} =  KL = 12 && \text{Ancho} = KN = 8 \\& \text{Perimetro} = 12 + 8 + 12 + 8 = 40 && \text{Area} = \text{Largo} \times \text{ancho} = 12 \cdot 8 = 96

El centro de la homotecia es K, y el factor de escala es 2. ¿Cuál es el largo, ancho, perímetro y área de K'L'M'N'?

El punto K' es el mismo punto K. LL' es 12 y NN' es 8.

En K'L'M'N':

& \text{Largo} = KL' = 24 && \text{Ancho} = KN' = 16 \\& \text{Perímetro} = 24 + 16 + 24 + 16 = 80 && \text{Area} = \text{largo} \times \text{ancho} = 24 \cdot 16 = 384

Nota que: El perímetro de K'L'M'N' es 2\;\mathrm{veces} el perímetro de KLMN, pero el área de K'L'M'N' es 4\;\mathrm{veces} el área de KLMN.

Como lo muestra el siguiente diagrama, cuatro rectángulos congruentes a KLMN encajan exactamente en K'L'M'N'.

Notación de coordenadas para las homotecias

Podemos trabajar con homotecias en el plano de coordenadas; pero para simplificar nuestro trabajo, estudiaremos homotecias que tienen como centro el origen del plano de coordenadas.

El triángulo ABC en el diagrama de abajo esta transformado con un factor de escala de 2.

El triángulo A'B'C' es la imagen de \triangle {ABC}.

Nota que cada lado del \triangle{A' B' C'} es 2\;\mathrm{veces} más largo que su lado correspondiente en el \triangle {ABC}. También nota que A , A', y el origen son colineales; entonces, es también verdadero que B , B' y el origen, y C , C' y el origen son colineales.

Esto nos lleva a la siguiente generalización

Generalización: los puntos P , P' (la imagen de P), y el origen son colineales para cualquier punto de P en la homotecia. Podrás comprobar la generalización en la sección de ejercicios.

Pero, ¿Como sabemos que una homotecia es una transformación semejante? Para ello tenemos que establecer que las longitudes de los segmentos son proporcionales y que los ángulos son congruentes. Vamos a abordar estos requisitos a través de las fórmulas de distancia y las pendientes.

Sea A(m, n) , B(p, q), and C(r, s) puntos en el plano de coordenadas. Sea una homotecia con centro en el origen y un factor de escala k.

Parte 1: Longitudes de lados proporcionales

Veamos las longitudes de dos segmentos, \overline{AB} y \overline{A'B'}.

De acuerdo a la fórmula de distancia,

AB = \sqrt{(p - m)^2 + (q - n)^2}

y

A'B' &= \sqrt{(kp - km)^2 + (kq - kn)^2} \\&= \sqrt{(k(p - m))^2 + (k(q - n))^2} \\&= \sqrt{k^2(p - m)^2 + k^2(q - n)^2} \\&= \sqrt{k^2((p - m)^2 + (q - n)^2)} \\&= k\sqrt{(p - m)^2 + (q - n)^2)} \\&= kAB

¿Qué nos dice esto de los segmentos y de sus imágenes en la homotecia? Nos dice que la imagen de un segmento es otro segmento k\;\mathrm{veces} la longitud del segmento original. Así, si un polígono tiene varios lados, cada lado del polígono imagen sería k\;\mathrm{veces} la longitud de su lado correspondiente en el polígono original.

Conclusión: Si un polígono es transformado con una homotecia, los lados correspondientes de la imagen y el polígono original son proporcional. Así, mitad de la tarea esta completada.

Parte 2: Angulos congruentes

Veamos las pendientes de los lados de los ángulos, \angle{CAB} y \angle{C}' A' B'.

\mathrm{la\ pendiente\ de}\ \overline{AC} = \frac{s - n} {r - m}

\mathrm{la\  pendiente\ de}\ \overline{AB} = \frac{q - n} {p - m}

\mathrm{la\  pendiente\ de}\ \overline{A'C'} = \frac{ks - kn} {kr - km} = \frac{k(s - n)} {k(r - m)} = \frac{s - n} {r - m}

\mathrm{la\  pendiente\ de}\ \overline{A'B'} = \frac{kq - kn} {kp - km} = \frac{k(q - n)} {k(p - m)} = \frac{q - n} {p - m}

Considerando que \overline{AC} y \overline{A'C'} tienen la misma pendiente, ellas son paralelas. Lo mismo se aplica para \overline{AB} y \overline{A'B'}. Sabemos que si los lados de los dos ángulos son paralelos, entonces los ángulos serán congruentes. Esto nos da que: \angle{CAB} \cong \angle{C}' A' B'

Conclusión: Si un polígono se transforma con una homotecia, los ángulos correspondientes de la imagen del polígono y el polígono original son congruentes. Con esto, nuestra tarea esta terminada.

Conclusión final: si un polígono se transforma con una dilatación, el polígono original y la imagen del polígono son semejantes, porque ellos tienen lados proporcionales y ángulos congruentes. Entonces, una homotecia es una transformación semejante.

Resumen de la lección

Homotecias complementan nuestro estudio sobre transformaciones. A diferencia de las traslaciones, los giros y las reflexiones, las homotecias no son transformaciones congruentes. Las homotecias son transformaciones semejantes, así, si una homotecia se aplica a un polígono, la imagen es semejante al polígono original.

Puntos a considerar

Limitamos nuestro estudio sobre homotecias a aquellas transformaciones que tienen un factor de escala positivo. Para explorar a más profundidad este tema, tú deberías experimentar son factores de escala "negativos".

Nota tecnológica - Software de Geometría

Usa software de geometría para explorar las homotecias con factores de escala negativos.

Exploración 1

  • Grafica dos puntos.
  • Selecciona uno de los puntos como centro de la homotecia.
  • Usa 2 como factor de escala.
  • Encuentra la imagen del otro punto.

Repite el ejercicio, pero un factor de escala diferente.

¿Qué es lo que parece ser verdadero sobre las dos imágenes?

Exploración 2

  • Dibuja un trángulo.
  • Selecciona un punto como el centro de la homotecia. Usa uno de los vértices del triángulo o dibuja otro punto para el centro.
  • Usa un factor de escala de 2.
  • Encuentra la imagen del triángulo.
  • Repite el ejercicio, pero esta vez usa un factor de escala diferente.

¿Qué es lo que parece verdadero para las dos imágenes?

Puedes experimentar mas con diferentes figuras, centros y factores de escala.

¿Puedes concluir algo sobre ambas imágenes cuando el factor de escala es negativo?

Puedes notar que si el punto A se dilata, el centro se dilata B y el factor de escala es k , k > 0, entonces la imagen de A esta en el mismo lado que B como A esta. Si el factor de escala es -k entonces, la imagen de A esta en el lado opuesto de B. Tú puedes haber notado también que una homotecia con un factor de escala negativo es equivalente a a una homotecia con un factor de escala positivo seguida por una "reflexión en un punto", donde el punto es el centro de la homotecia.

Esta lección nos lleva al estudio casi completo de figuras semejantes, pero estudiaremos más sobre figuras semejantes en el capítulo 10 donde analizaremos el perímetro y área de polígonos semejantes. Algunos escritores han usado conceptos de semejanza para explicar por que seres vivientes tienen el "tamaño correcto" y, por ejemplo, ¡Por que no hay seres humanos gigantes que midan 20\;\mathrm{pies}-\mathrm{de\ alto}!

Preguntas de repaso

Usa el diagrama de abajo para los ejercicios 1 - 10.

AB = BC = 30 y CD = DE = EF = 20

Una homotecia tiene los centros y factores de escala indicados. Completa la tabla.

Centro Factor de escala Punto dado Imagen del punto dado
C 2 B ?
A 0.5 C ?
C 3 D ?
E 2 ? C
F \frac{1}{3} C ?
B 1 ? A
C \frac{2}{3} F ?
C ? E D
C ? A Midpoint of \overline{AB}
F \frac{5}{6} ? Midpoint of \overline{CD}
  1. Copia el cuadrado de abajo. Dibuja la imagen de del cuadrado con una homotecia con centro en la intersección de \overline{AC} y \overline{BD} y factor de escala 2.
  2. Una homotecia dada es una transformación "congruente". ¿Cuál es el factor de escala de la homotecia?
  3. Imagina una homotecia con factor de escala de 0. Describe la imagen de un punto dado para esta homotecia.
  4. Sean A(m, n) y B(km, kn) dos puntos en un plano de coordenadas, m \neq 0 . Prueba que A y B son colineales.
  5. Una homotecia tiene su centro en el origen y un factor de escala de 3. Sea A un punto. Si A' es la imagen de A y A'' es la imagen de A' ¿ Cuáles son las coordenadas de A''?

Respuestas a las preguntas de repaso

Centro Factor de escala Punto dado Imagen del punto dado Answer
C 2 B ? A
A 0.5 C ? B
C 3 D ? F
E 2 ? C D
F \frac{1}{3} C ? E
B 1 ? A A
C \frac{2}{3} F ? E
C ? E D 0.5 or \frac{1}{2}
C ? A Midpoint of \overline{AB} 0.75 or \frac{3}{4}
F \frac{5}{6} ? Midpoint of \overline{CD} C
  1. Un pequeño cuadrado centrado en un cuadrado grande, cada lado del cuadrado grande es 2\;\mathrm{veces} la longitud del lado del triángulo pequeño
  2. 1
  3. La imagen de cualquier punto es el centro de la homotecia.
  4. Sea O el origen (0, 0).
  5. & \text{La\ pendiente\ de}\ \overline{OA} = \frac{n-0}{m-0} = \frac{n}{m} \\& \text{La\ pendiente\ de}\ \overline{OB} = \frac{kn-0}{km-0} = \frac{kn}{km} = \frac{n}{m} \\& \text{La\ pendiente\ de}\ \overline{AB} = \frac{kn-n}{km-m} = \frac{n(k-1)}{m(k-1)} = \frac{n}{m}, k \neq 1
  6. Considerando que los segmentos tienen puntos finales comunes y la misma pendiente, ellos son colineales.
  7. (45, -18)

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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