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Areas de Polígonos Semejantes

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Objetivos de aprendizaje

  • Comprender las relaciones entre el factor de escala de polígonos semejantes y sus áreas.
  • Aplicar el factor de escala para resolver problemas sobre áreas de polígonos semejantes.
  • Usar modelos a escala o dibujos a escala.

Introducción

Comenzaremos con una rápida revisión de algunas características importantes de polígonos semejantes. Recuerda que estudiamos figuras semejantes extensivamente en el capítulo 7. Ahí aprendiste sobre factores de escala y perímetros de polígonos semejantes. En esta sección llevaremos las figuras semejantes un paso más allá. Veremos que las áreas de figuras semejantes tienen una relación muy específica al factor de escala —pero es un poco engañoso! Envolvemos la sección con algunos pensamientos de porque las cosas vivientes son del tamaño “correcto”, y lo que la geometría tiene que hacer con eso!

Repaso - Factores de escala y perímetro

Ejemplo 1

El diagrama de abajo muestra dos rombos.

a. Son los rombos semejantes? Cómo sabes?

Si.

  • Los lados son paralelos, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.
  • Usando el Teorema de Pitágoras, podemos ver que cada lado del rombo más pequeño tiene una longitud de 10, y cada lado del rombo grande tiene una longitud de 15.
  • Entonces las longitudes de los lados son proporcionales.
  • Polígonos con ángulos correspondientes congruentes y lados proporcionales son semejantes.

b. Cual es el factor de escala relacionado al rombo?

El factor de escala relacionando el rombo más pequeño al más grande es \frac{15}{10} = \frac{3}{2}=1.5.

c. Cuál es el perímetro de cada rombo?

Respuesta

  • \text{Per\'{i}metro}\ {del}\ {rombo}\ {pequeno} = 4 \times 10 = 40
  • \text{Per\'{i}metro}\ {del}\ {rombo}\ {grande} = 4 \times 15 = 60

d. Cuál es la proporción de los perímetros?

\frac{60}{40} = \frac {3}{2}=1.5

e. Cuál es el área de cada rombo?

\text{Area del rombo m\'{a}s peque\~{n}o} & = \frac{d_1d_2}{2}=\frac {{12}\times{16}}{2}= 96 \\\text{Area del rombo m\'{a}s grande} & = \frac{d_1d_2}{2}=\frac {{18}\times{24}}{2}= 216

Qué notas en este ejemplo? Los perímetros tienen la misma proporción que el factor de escala.

Pero que hay sobre las áreas? La proporción de las áreas ciertamente no es la misma que el factor de escala. Si lo fuera, el área del rombo más grande sería 96 \times 1.5 = 144, pero el área del rombo más grande es en realidad 216.

Cual ES la proporción de las áreas?

La proporción de las áreas es \frac{216}{96} = \frac {9}{6}=2.25. Nota que \frac{9}{4}=\left ( \frac{3}{2} \right)^2 o en decimales, 2.25 = (1.5)^2.

Así que al menos en este caso vemos que la proporción de las áreas es el cuadrado del factor de escala.

Factores de escala y areas

Lo que pasó en el Ejemplo 1 no es accidente. De hecho, esta es la relación básica para las áreas de polígonos semejantes .

Areas de Polígonos Semejantes

Si el factor de escala relacionando a los lados de dos polígonos semejantes es k, entonces el área del polígono más grande es k^2 veces el área del polígono más pequeño. En símbolos, dejar que el área de los polígonos más pequeños sea A_1 y el área de los polígonos más grandes sea A_2. Entonces:

A_2 = k^2 A_1

Piensa a cerca del área de un polígono. Imagina que tu observas a un cuadrado con un área de exactamente de 1 \;\mathrm{unidad\ cuadrada}. Por supuesto, los lados del cuadrado tienen 1 \;\mathrm{unidad} de longitud. Ahora piensa en otro polígono que es semejante al primero con un factor de escala de k. Cada 1-por-1 cuadrado en el primer polígono tiene un k-por-k cuadrado correspondiente en el segundo polígono, y el área de cada uno de estos k-por-k cuadrados es k^2. Extendiendo este razonamiento, cada 1 \;\mathrm{unidad\ cuadrada} de área en el primer polígono tiene un correspondiente k^2 unidades de área en el segundo polígono. Entonces el área total del segundo polígono es k^2 veces el área del primer polígono.

Advertencia: En la resolución de problemas es fácil olvidar que no siempre usas el factor de escala. Usa el factor de escala en problemas sobre longitudes. Pero usa el cuadrado del factor de escala en problemas sobre área!

Ejemplo 2

Wu y Tomi están pintando murales en paredes rectangulares. La longitud y el ancho de las paredes de Tomi son 3 veces la longitud y ancho de la pared de Wu.

a. La longitud total del borde de la pared de Tomi es 120 \;\mathrm{pies}. Cuál es la longitud total del borde de la pared de Wu ?

Esta es una pregunta sobre longitudes, así que usas el factor de escala por sí mismo. Todos los lados de la pared de Tomi tienen 3 veces la longitud del lado correspondiente de la pared de Wu, entonces el perímetro de la pared de Tomi es también 3 veces el perímetro de la pared de Wu.

La longitud total del borde (perímetro) de la pared de Wu \frac{120}{3} = 40 \;\mathrm{pies}.

b. Wu puede cubrir su pared con 6 cuartos de pintura. Cuántos cuartos de pintura necesitará Tomi para cubrir su pared?

Esta pregunta es sobre área, ya que el área determina la cantidad de pintura necesaria para cubrir las paredes. La proporción de las cantidades de pintura es la misma que la proporción de las áreas (la cual es el cuadrado del factor de escala). Dejar que x sea la cantidad de pintura que Tomi necesita.

\frac{x}{6} & = k^2=3^2=9 \\x & = 6 \times 9 = 54

Tomi necesitaría 54 cuartos de pintura.

Resumen de las Relaciones de Area y Longitud para Polígonos Semejantes

Si dos polígonos semejantes se relacionan por un factor de escala de k, entonces:

  • Longitud: Las longitudes de las partes correspondientes tienen la misma proporción, k. Nota que esto aplica a los lados, *Area: La proporción de las áreas es k^2. Nota que esto aplica a las áreas, y cualquier aspecto de un objeto que

Nota: Tú podrías ser capaz de hacer una buena conjetura sobre los volúmenes de sólidos semejantes, figuras (3-D) . Tú verás más sobre eso en el Capítulo 11.

Dibujos a escala y modelos a escala

Una aplicación importante de figuras semejantes es el uso de dibujos a escala y modelos a escala. Estos son en dos dimensiones (dibujos a escala) o en tres dimensiones (modelos a escala) representaciones de objetos reales. el dibujo o modelo es semejante al objeto actual.

Los dibujos y modelos a escala son ampliamente usados en diseño, construcción, manufactura y muchos otros campos. Algunas veces una escala es mostrada, como “1\;\mathrm{pulgada}= 5\;\mathrm{millas}” en un mapa. Otras veces la escala podría ser calculada, Si es necesario, desde información sobre el objeto que está siendo modelado.

Ejemplo 3

Jake tiene un mapa para un tour en bicicleta. La escala es 1\;\mathrm{pulgada} = 5\;\mathrm{millas}. El estimó que dos lugares escénicos en el tour estaban alrededor de 3\frac{1}{2}\;\mathrm{pulgadas} alejados en el mapa. Qué tan alejados están estos lugares en la realidad?

Cada pulgada en el mapa representa una distancia de 5\;\mathrm{millas}. Los lugares están alrededor de 3\frac{1}{2}\times 5 =17.5\;\mathrm{millas} aparte.

Ejemplo 4

El equipo de diseño de Cristy construyó un modelo de una nave espacial para ser construida. Su modelo tiene una escala de 1:24. La nave espacial real tendrá 180\;\mathrm{pies} de largo. Qué tan largo debería ser el modelo?

Dejar que x sea la longitud del modelo.

\frac{1}{24}& =\frac {x}{180} \\24x & = 180 \\x & = 7.5

El modelo debería tener 7.5 \;\mathrm{pies} de largo.

Ejemplo 5

Tasha está haciendo modelos de varios edificios para su proyecto de último año. Los modelos están todos hechos con la misma escala. Ella ha comenzado el cuadro a continuación.

a. Cuál es la escala de los modelos?

1250 \div 20 = 62.5

La escala es 1\;\mathrm{pulgada} = 62.5\;\mathrm{pies}.

b. Completa el cuadro a continuación.

Edificio Altura Actual (pies) Altura del Modelo (pulgadas)

Torre Sears

(Chicago)

? 23.2

Edificio Empire State

(Ciudad de New York)

1250 20

Centro Columbia

(Seattle)

930 ?

Torre Sears : 23.2 \times 62.5 = 1450 . Tiene 1450\;\mathrm{pies} de alto.

Centro Columbia : \mathrm{Dejar}\ x = \mathrm{como\ la \ altura\ del\ modelo}.

\frac{1250}{20}& =\frac {930}{x} \\1250x & = 20 \times 930 \\x & =\frac{{20}\times{930}}{1250}\thickapprox 14.9

El modelo debería tener alrededor de 14.9\;\mathrm{pulgadas} de alto.

Por qué no existen los gigantes de 12 pies de altura

Por qué no existen los gigantes de 12 \mathrm{pies} de altura ? Una explicación para esto es una cuestión de figuras semejantes.

Vamos a suponer que existe un humano de 12 \;\mathrm{pies}  de altura. Compara este gigante (?) a una persona de 6 \;\mathrm{pies } de altura. Ahora vamos a aplicar algunos hechos sobre figuras semejantes.

El factor de escala relacionando a estas dos personas hipotéticas es \frac{12}{6}=2 . Aquí hay algunas consecuencias de este factor de escala:

  • Todas las dimensiones lineales del gigante serían 2 veces las dimensiones correspondientes de la persona real. Esto incluye altura, longitud de hueso, etc.
  • Todas las medidas de área del gigante serían 2^2 = 4 veces las medidas de área correspondiente de la persona real. Esto incluye respiración(respirar ) y metabolismo (convirtiendo los nutrientes a materiales utilizables y energía) rates, Porque estos procesos toman lugar a lo largo de superficies en los pulmones, intestinos, etc. Esto también incluye la fuerza de los huesos, la cuál depende del área de la sección transversal del hueso.
  • Todas las medidas de volúmen, del gigante serían 2^3 = 8 veces las medidas del volúmen correspondiente de la persona real. (Tú aprenderás porque en el Capítulo 11.) El volúmen de un organismo generalmente determina su peso y su masa.

Qué tipo de problemas vemos para nuestro gigante? Aquí hay dos severos:

  1. El gigante tendría huesos que son 4 veces tan fuertes, pero esos huesos tienen que cargar un peso corporal que es 8 veces más. Los huesos no estarían preparados parar hacer la tarea. De hecho parece que el propio peso del gigante podría romper sus huesos.
  2. El gigante tendría 8 veces el peso, número de células, etc. de una persona real, pero sólo 4 veces la habilidad para abastecer el oxígeno, nutrición, y energía necesaria.

Conclusión: No existen gigantes de 12 \;\mathrm{pies} , y algunas de las razones no son más o menos que la geometría de figuras semejantes.

Para lectura adiconal : Siendo del Tamaño Correcto, por J. B. S. Haldane, también disponible en http://irl.cs.ucla.edu/papers/right-size.html.

Resumen de la lección

En esta lección nos enfocamos en un punto principal: Las áreas de polígonos semejantes tienen una relación que es el cuadrado del factor de escala. También usamos ideas sobre figuras semejantes para analizar dibujos a escala y modelos a escala, los cuales son en realidad representaciones semejantes de objetos reales .

Puntos a considerar

Ahora tú has aprendido un poco sobre las longitudes de los lados y áreas de polígonos. A continuación vamos a basar conocimientos sobre polígonos para llegar a una conclusión sobre el “perímetro” del “ultimo polígono,” la cual es el círculo.

Supongamos que construimos polígonos regulares que están inscritos en el mismo círculo.

  • Piensa en polígonos que tienen más y más lados.
  • Cómo cambiaría el perímetro de los polígonos a medida que el número de lados se incrementa?

Las respuestas a estas preguntas nos conducirán a un entendimiento de la fórmula para la circunferencia (perímetro) de un círculo.

Ejercicios de repaso

La figura a continuación esta hecha de pequeños triángulos equiláteros congruentes .

4 pequeños triángulos congruentes encajan entre sí para hacer un triángulo semejante más grande.

  1. Cuál es el factor de escala de los triángulos grande y pequeño?
  2. Si el área del triángulo grande es 20\;\mathrm{unidades\ cuadradas }, cuál es el área del triángulo pequeño? Los cuadrados más pequeños en el diagrama de abajo son congruentes.
  3. Cuál es el factor de escala de los cuadros sombreados y el cuadrado más grande?
  4. Si el área del cuadrado sombreado es 50\;\mathrm{unidades\ cuadradas}, cuál es el área del cuadrado más grande?
  5. Frank dibujó dos triángulos equiláteros. Cada lado de uno de los triángulos es 2.5 veces tan largo que un lado del otro triángulo. El perímetro del triángulo más pequeño es 40\;\mathrm{cm}. Cuál es el perímetro del triángulo más grande ? En el diagrama de abajo, .\overline{M N}: \overline{P Q}.
  6. Cuál es el factor de escala del triángulo pequeño y el triángulo grande ?
  7. Si el perímetro del triángulo grande es 42, cual es el perímetro del triángulo pequeño?
  8. Si el área del triángulo pequeño es A, escribir una expresión para el área del triángulo grande .
  9. Si el área del triángulo pequeño es K, escribir una expresión para el área del trapezoide .
  10. El área de un cuadrado en un juego de mesa es exactamente el doble el área de otro cuadrado. Cada lado del cuadrado grande tiene 50\;\mathrm{mm} de largo. Qué tan largo es cada lado del cuadrado pequeño?
  11. La distancia desde Charleston a Morgantown es 160\;\mathrm{millas}. La distancia desde Fairmont a Elkins es 75\;\mathrm{millas}. Charleston y Morgantown están 5\;\mathrm{pulgadas} alejadas en un mapa. Que tan alejadas están Fairmont y Elkins en el mismo mapa?

Marlee está haciendo modelos de locomotoras históricas (tren a motor). Ella usa el mismo factor de escala para todos sus modelos.

  • La locomotora S1 tenía 140 \;\mathrm{pies} de largo. El modelo tiene 8.75 \;\mathrm{pulgadas} de largo.
  • La locomotora clásica 520 tenía 87\;\mathrm{pies} de largo.
  1. Cuál es la escala de los modelos de Marlee?
  2. Qué tan largo es el modelo de la locomotora clásica 520 ?

Respuestas

  1. 2
  2. 5
  3. \frac{4}{9} ó 4: 9
  4. 112.5
  5. 100\;\mathrm{cm}
  6. \frac{2}{3}
  7. 28
  8. \frac{9}{4}A ó \frac{9A}{4}
  9. \frac{5}{4}K ó \frac{5K}{4}
  10. 35.4\;\mathrm{mm}
  11. 2.3\;\mathrm{pulgadas}
  12. 1\;\mathrm{pulgada}= 16\;\mathrm{pies} ó equivalente
  13. 5.4\;\mathrm{pulgadas}

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