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Figuras congruentes

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Objetivos de aprendizaje

  • Definir congruencia para triángulos.
  • Crear afirmaciones certeras de congruencia.
  • Comprender que si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo, los ángulos restantes también son congruentes.
  • Explorar propiedades sobre congruencia de triángulos.

Introducción

Los triángulos son importantes en geometría porque cualquier otro polígono puede ser transformado en triángulos cortándolos (formalmente llamamos a esto añadir lineas auxiliares). Piensa en un cuadrado: si añades una linea auxiliar tal como una diagonal, entonces este se convierte en dos triángulos rectángulos. Si comprendemos bien los triángulos, entonces podemos usar lo que sabemos sobre ellos y aplicar ese conocimiento a todos los otros polígonos. En este capitulo aprenderás acerca de triángulos congruentes y en capítulos subsecuentes usaras lo que sabes sobre triángulos para probar cosas sobre todo tipo de formas y figuras.

Definición de congruencia en triángulos

Dos figuras son congruentes si tienen exactamente el mismo tamaño y forma. Otra forma de decir esto es que si las dos figuras pueden ser perfectamente alineadas cuando una se pone sobre la otra son congruentes. Para alinearlas probablemente tendrás que rotarlas o voltearlas. Cuando se completa la alineación, los ángulos que coinciden son llamados ángulos correspondientes y los lados que coinciden son llamados lados correspondientes.

En el diagrama de arriba, los lados \overline{AC} y \overline{DE} tienen la misma longitud tal y como lo muestran las marcas. Si dos lados tienen el mismo número de marcas, significa que tienen la misma longitud. Ya que cada uno de los lados \overline{AC} y \overline{DE} tienen una marca, ambos tienen la misma longitud. Una vez hemos establecido que \overline{AC} \cong \overline{DE}, necesitamos examinar los otros lados de los triángulos. Cada uno de los lados \overline{BA} y \overline{DF} tiene dos marcas, mostrando que también son congruentes. Finalmente, como puedes ver \overline{BC} \cong \overline {EF} porque tienen tres marcas. Cada uno de estos pares son correspondientes porque son congruentes el uno al otro. Nota que los tres lados de cada triángulo no necesitan ser congruentes el uno al otro siempre y cuando sean congruentes a sus correspondientes lados en el otro triángulo.

Cuando dos triángulos son congruentes, los tres pares de ángulos correspondientes son tambien congruentes. Nota las marcas en los triángulos de abajo.

Usamos arcos dentro de los ángulos para mostrar congruencia entre ellos así como las marcas muestran congruencia en los lados. Al observar las marcas en los ángulos podemos ver que \angle {A} \cong \angle {D}, \angle {B} \cong \angle {F}, y \angle{C} \cong \angle {E}.

Por definición, si dos triángulos son congruentes, entonces sabes que todos los pares de lados correspondientes son congruentes y todos los pares de ángulos correspondientes son congruentes. Esto algunas veces es llamado PCTCC: Partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes.

Ejemplo 1

¿Son los dos triángulos de abajo congruentes?

La pregunta es si los dos triángulos en el diagrama son congruentes. Para identificar si los triángulos son o no congruentes, cada par de lados y ángulos correspondientes deben de ser congruentes.

Comienza examinando los lados. Ambos lados \overline{AC} y \overline{RI} tienen una marca, así que son congruentes. Ambos lados \overline{AB} y \overline{TI} tienen dos marcas, así que también son congruentes. Los lados \overline{BC} y \overline{RT} tienen tres marcas cada uno, así cada par de lados es congruente.

Luego examina cada ángulo. \angle{I} y \angle{A} ambos tienen un arco, así que son congruentes. \angle{T} \cong \angle{B} porque cada uno tiene dos arcos. Finalmente, \angle{R}\cong\angle{C} porque tienen tres arcos.

Podemos observar que cada ángulo en el primer triángulo coincide con su correspondiente ángulo en el segundo triángulo examinando los lados. \angle{B} corresponde con \angle{T} porque están formados por los lados con dos y tres marcas. Ya que todos los pares de lados y ángulos correspondientes son congruentes, podemos concluir que los dos triángulos son congruentes.

Creación de afirmaciones de congruencia

Ya hemos estado usando el signo de congruencia \cong cuando hablamos de lados congruentes y ángulos congruentes.

Por ejemplo, si queríamos de decir que \overline{BC} era congruente a \overline{CD}, pudiste escribir la siguientes afirmación.

\overline{BC} \cong \overline{CD}

En el capítulo 1 aprendiste que la linea de arriba BC sin flechas significa que BC es un segmento (no una linea o rayo). Si tuvieses que leer esta afirmación en voz alta, podrías decir “el segmento BC es congruente al segmento CD.”

Cuando trabajes con afirmaciones de congruencia que involucren ángulos o triángulos, puedes usar otros símbolos. Mientras que el símbolo \overline{BC} significa “segmento BC,” el símbolo \angle{B} significa “ángulo B.” De manera similar el símbolo \triangle{ABC} significa “triángulo ABC.”

Cuando construyas afirmaciones de congruencia para dos triángulos, el orden de las letras es muy importante. Las partes correspondientes deben ser escritas en orden. Por lo tanto, el ángulo de la primer letra del primer triángulo corresponde con el ángulo de la primer letra del segundo triángulo, los ángulos de las segundas letras son correspondientes y así sucesivamente.

En el diagrama de arriba, si tuvieses que nombrar cada triángulo individualmente, ellos serian \triangle{BCD} y \triangle{PQR}. Esos nombre parecen ser los más apropiados porque las letras están en orden alfabético. Sin embargo, si estuvieses escribiendo afirmaciones de congruencia, NO podrías decir que \triangle{BCD} \cong \triangle{PQR}. Si observas el \angle{B}, este no corresponde al \angle{P}. Por otro lado el \angle{B} corresponde al \angle{Q} (indicado por los dos arcos en los triángulos). El \angle{C} corresponde al \angle{P}, y el \angle{D} corresponde al \angle{R}. Recuerda que debes escribir las afirmaciones de congruencia de tal forma que los vertices esten alineados para congruencia. La afirmación de abajo es correcta.

\triangle{BCD} \cong \triangle{QPR}

Esta forma parece extraña en primera instancia, pero esta es la forma como deberías crear afirmaciones de congruencia en cualquier situación. Usando esta forma estándar permite que tu trabajo sea más fácil de comprender por otros, lo cual es elemento crucial en matemática.

Ejemplo 2

Escribe una afirmación de congruencia para los dos triángulos de abajo.

Para escribir una afirmacion de congruencia exacta, debes tener habilidad para identificar los pares correspondientes en los triángulos de arriba. Nota que cada uno de los ángulos \angle{R} y \angle{F} tiene un arco de marca. De manera similar, cada una de los ángulos \angle{S} y \angle{E} tiene dos arcos y los angulos \angle{T} y \angle{D} tienen tres arcos. Adicionalmente, RS = FE (o \overline{RS} \cong \overline{FE}), ST = ED, y RT = FD.

Así, los dos triángulos son congruentes y para escribir la afirmación más exacta, esta debe expresar los correspondientes vértices. Puedes escribir el primer triángulo en orden alfabético y alinear el segundo triángulo a esta estandarización.

\triangle{RST} \cong \triangle{FED}

Nota que en el ejemplo 2 no necesitas escribir los ángulos en orden alfabético, siempre y cuando las partes correspondientes coincidan. Si te sientes aventurero, también puedes expresar esta afirmación como se muestra abajo.

\triangle{DEF} \cong \triangle{TSR}

Ambas afirmaciones de congruencia son exactas porque los lados correspondientes y los ángulos correspondientes están alineados en las afirmaciones.

Teorema del tercer ángulo

Previamente, estudiaste el teorema de la suma para triángulos, el cual establece que la suma de las medidas de los ángulos interiores en un triángulo es siempre igual a 180^\circ. Esta información es útil cuando se muestra congruencia. Mientras practicas, si conoces las medidas de dos ángulos en un triangulo, solamente hay una posible medida para el tercer ángulo. Por consiguiente, si puedes probar que dos pares de ángulos correspondientes son congruentes, los ángulos del tercer par también están garantizados que son congruentes.

Teorema del tercer ángulo

Si dos ángulos en un triángulo son congruentes a dos ángulos en otro triángulo, entonces los ángulos del tercer par son también congruentes.

Esta afirmación parece algo confusa, pero usa el ejercicio de abajo para comprenderla completamente.

Ejemplo 3

Identificar si los ángulos desconocidos en el triángulo de abajo son o no congruentes.

Para identificar si los terceros ángulos son o no congruentes, primero debes identificar sus medidas. Empieza con el triángulo de la izquierda. Ya que conoces dos de los ángulos en el triángulo, puedes usar el teorema de la suma para triángulo para encontrar el ángulo desconocido. En el \triangle{WVX} sabemos que

m \angle{W} + m \angle{V} + m \angle{X} & = 180^\circ\\80^\circ + 35^\circ + m \angle{X} &= 180^\circ\\115^\circ + m \angle{X} &= 180^\circ\\m \angle{X} &= 65^\circ\\

En ángulo desconocido del triángulo de la izquierda mide 65^\circ. Repite este procedimiento para el triángulo de la derecha.

m \angle{C} + m \angle{A} + m \angle{T} & =180^\circ \\80^\circ + 35^\circ + m \angle{T} & = 180^\circ \\115^\circ + m\angle{T} &= 180^\circ \\m\angle{T} &= 65^\circ

Así, \angle{X} \cong \angle{T}. Recuerda que también puedes identificas esto sin usar el teorema de la suma para triángulos. Si dos pares de ángulos en dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos del restante par también deben ser congruentes.

Propiedades de congruencia

En cursos anteriores de matemática, has aprendido conceptos como las propiedades reflexiva o conmutativa. Estos conceptos te ayudan a resolver muchos tipos de problemas en matemática. Existen algunas propiedades relacionas con la congruencia que te ayudaran también a resolver problemas en geometría.

La propiedad reflexiva de congruencia establece que cualquier figura es congruente asimisma. Esto parecerá obvio, pero en una prueba geométrica, necesitas identificar cada posibilidad para ayudarte a resolver un problema. Si dos ángulos comparten un segmento de linea, puedes probar su congruencia usando la propiedad reflexiva.

En el diagrama de arriba, puedes decir que el lado compartido por los triángulos es congruente dada la propiedad reflexiva. En otras palabras, \overline{AB} \cong \overline{AB}.

La propiedad simetrica de congruencia que la congruencia funciona de adelante hacia atrás y viceversa, o en símbolos, si \angle{ABC} \cong \angle{DEF} entonces \angle{DEF} \cong \angle{ABC}.

La propiedad transitiva de congruencia establece que si dos figuras son congruentes a un tercera, también estas son congruentes la una a la otra. En otras palabras, si \triangle{ABC} \cong \triangle{JLM}, y \triangle{JLM} \cong \triangle{WYZ}, entonces \triangle{ABC} \cong \triangle{WYZ}. Esta propiedad es muy importante para identificar congruencia entre diferentes figuras.

Ejemplo 4

¿Cuál propiedad puede ser usada para probar las siguientes afirmaciones?

Si el \triangle{MNO} \cong \triangle{PQR} y el \triangle{PQR} \cong \triangle{XYZ}, entonces \triangle{MNO} \cong \triangle{XYZ}.

A. propiedad reflexiva de congruencia

B. propiedad de identidad de congruencia

C. propiedad transitiva de congruencia

D. propiedad simétrica de congruencia

La propiedad transitiva es la que que te puede permitir transmitir congruencia a diferentes figuras. La propiedad reflexiva establece que si dos triángulos son congruentes a un tercer triangulo, entonces ambos triángulos deben ser congruentes el uno al otro. La respuesta correcta es C.

Resumen de la lección

En esta lección, exploramos figuras congruentes. Específicamente, hemos aprendido:

  • Como definir congruencia de triángulos.
  • Como construir afirmaciones exactas de congruencia.
  • Comprender que si dos ángulos de un triángulo son congruentes a otros dos ángulos de otro triángulo, los restantes ángulos también serán congruentes.
  • Como usar las propiedades de congruencia para triángulos.

Estas habilidades te ayudaran a comprender mejor problemas que involucren congruencia de triángulos. Siempre busca triángulos en diagramas, mapas y otras representaciones matemáticas.

Puntos para considerar

Ahora que comprendes los problemas inherentes en la congruencias de triángulos, crearas tu primera prueba de congruencia.

Preguntas de repaso

Usar el diagrama de abajo para el problema 1.

  1. Escribe una afirmación de congruencia para los dos triángulos de arriba.

Para los ejercicios 2-3 usa el siguiente diagrama.

  1. Supone que los dos triángulos de arriba son congruentes. Escribe una afirmación de congruencia para estos dos triángulos.
  2. Explica como se sabes si dos triángulos son congruentes, entonces  \angle{B} \cong \angle{Y}.

Usa el diagrama de abajo para los ejercicios 4-5.

  1. Explica como sabemos que  \angle{K} \cong \angle {W}.
  2. ¿Son estos dos triángulos congruentes? Explica porque (nota, “parecidos” no es una razón suficiente).
  3. Si quieres saber las medidas de todos los ángulos en un triangulo, ¿cuántos ángulos necesitas medir con tu transportador? ¿Por qué?

Usar el siguiente diagrama para los ejercicios 7-10.

  1. ¿Cuál es la relacion entre el  \angle{FGH} y el  \angle{FGI}? ¿Cómo lo sabes?
  2. ¿Cuál es  m \angle{FGH} ? ¿Cómo los sabes?
  3. ¿Cuál propiedad nos dice que  \overline{FG} \cong \overline{FG}?
  4. Escribe una afirmación de congruencia para estos triángulos.

Respuestas a los ejercicios de repaso

  1.  \triangle PQR \cong \triangle NML
  2.  \triangle BCD \cong \triangle YWX (Nota que el orden de las letras es importante)
  3. Si los dos triángulos son congruentes, entonces  \angle{B} corresponde con  \angle{Y} y por consiguientes son congruentes el uno al otro por la definición de congruencia.
  4. El teorema del tercer ángulo establece que si dos pares de ángulos son congruentes en dos triángulos, entonces los ángulos del tercer par deben de ser congruentes
  5. No.  \overline{KL} corresponde con  \overline{WX} pero no tienen la misma longitud
  6. Solo necesitas medir dos ángulos. El teorema de la suma para triángulos te ayudara a encontrar la medida del tercer ángulo
  7. El  \angle{FGH} y el  \angle{FGI} son suplementarios ya que son un par lineal
  8.  m\angle{FGH} = 90^\circ
  9. La propiedad reflexiva de congruencia
  10.  \triangle{IGF} \cong \triangle{HGF}

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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