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Probando que los cuadriláteros son paralelogramos

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Objetivos de aprendizaje

  • Probar que un cuadrilátero es un paralelogramo dados sus lados opuestos congruentes.
  • Probar que un cuadrilátero es un paralelogramo dados sus ángulos opuestos congruentes.
  • Probar que un cuadrilátero es un paralelogramo dados que las diagonales se bisectan entre si.
  • Probar que un cuadrilátero es un paralelogramo si un par de sus lados es a la vez congruente y paralelo.

Introducción

Recordarás que al principio de este curso estudiante las proposiciones recíprocas. Una proposición recíporca invierte el orden de la hipótesis y de la conclusión en una proposición del tipo "si-entonces" y solo "algunas" veces resulta ser verdadera. Por ejemplo, considera la siguiente proposición: "Si estudias duro, entonces obtendrás buenas calificaciones. ¡Ojalá fuera cierto! De todos modos, la recíporca de esta proposición es "si obtienes buenas calificaciones, entonces estudias duro". Esto podría ser cierto, pero no "necesariamente" verdadero— quizás existan muchas otras razones por las cuales puedas obtener buenas calificaciones—por ejemplo, ¡La clase es realmente fácil!

Un ejemplo de una proposición que tanto ella como su recíproca son verdaderas es la siguiente: Si miro al este y entonces giro un cuarto de vuelta a la derecha, veo en dirección sur. De manera similar, si giro un cuarto de vuelta a la derecha y estoy viendo en dirección sur, entonces estaba viendo al este al principio.

También todas las definiciones geométricas tienen recíprocas que son verdaderas. Por ejemplo, si un polígono es un cuadrilátero, entonces tiene cuatro lados y si un polígono tiene cuatro lados entonces es un cuadrilátero.

Las proposiciones recíprocas son importantes en geometría. Es crucial que sepas cuáles teoremas tienen recíprocos verdaderos. En el caso de los paralelogramos, casi todos los teoremas que has estudiado tienen recíprocos verdaderos. Esta lección explora cuáles características de los cuadriláteros garantizan que ellos sean paralelogramos.

Probando que un cuadrilátero es un paralelogramos dados sus lados congruentes

En la lección pasada aprendiste que un paralelogramo tiene lados opuestos congruentes. Esto lo probamos antes y luego lo vimos en un ejemplo cuando usamos la fórmula de la distancia en un plano cartesiano para verificar que los lados opuestos de un paralelogramo tenían longitudes idénticas.

Aquí demostraremos en el plano cartesiano que la recíproca de esta proposición también es verdadera: Si un cuadrilátero tiene dos pares de lados opuestos que son congruentes, entonces es un paralelogramo.

Ejemplo 1

Demuestra que la figura en el siguiente plano es un paralelogramo.

Podemos ver que las longitudes de los lados opuestos en este cuadrilátero son congruentes. Por ejemplo, para encontrar la longitud de \overline {EF} podemos hacerlo encontrando la diferencia en las coordenas en x- (6-1 = 5) porque \overline {EF} es horizontal (generalmente es bien fácil encontrar las longitudes de los segmentos horizontales y verticales). EF = CD = 5 y CF = DE = 7. De esta manera, hemos establecido que los lados opuestos de este cuadrilátero son congruentes.

Pero, ¿es un paralelogramo? Sí. Una manera de argumentar que CDEF es un paralelogramo es notar que m \angle {CFE} = m \angle {FED} = 90^\circ. Podemos pensar que \overline {FE} como una transversal que cruza \overline {CF} y \overline {DE}. Bien, los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, así que podemos aplicar el postulado"si los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las líneas que atraviesa la transversal son paralelas.

Nota: Este ejemplo no prueba que si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. Para hacerlo, necesitas usar cualquier cuadrilátero con lados opuestos congruentes y luego te ayudas usando triángulos. Te dejaremos hacerlo como ejercicio, pero aquí está una pista básica, ¿Qué postulado de congruencia de triángulos puedes usar para demostrar que \triangle {GHI} \cong \triangle {IJG}?

Probando que un cuadrilátero es un paralelogramo dado sus ángulos opuestos congruentes

Muy parecido a las proposiciones recíprocas que has estudiado sobre las longitudes de lados opuestos, si puedes probar que los ángulos opuestos en un cuadrilátero son congruentes, entonces puedes decir que la figura es un paralelogramo.

Ejemplo 2

Completa la siguiente prueba de dos columnas.

  • Dado: El cuadrilátero DEFG con \angle {D} \cong \angle {F} y \angle {E} \cong \angle {G}
  • Probar: DEFG es un paralelogramo

Proposición

Razón

1. DEFG es un cuadrilátero con \angle {D} \cong \angle {F} y \angle {E} \cong \angle {G}

1. Dado

2. m \angle {D} + m \angle {E} + \angle {F} + m \angle {G} = 360^\circ

2. La suma de los ángulos en un cuadrilátero es 360^\circ

3. m \angle {D} + m \angle {E} + \angle {D} + m \angle {E} = 360^\circ

3. Sustitución (\angle {D} \cong \angle {F} y \angle {E} \cong \angle {G})

4. 2 ( m \angle {D}) + 2 (m \angle {E}) = 360^\circ

4. Combinando términos semejantes

5. 2 ( m \angle {D} + m \angle {E}) = 360^\circ

5. Factorando

6. m \angle {D} + m \angle {E} = 180^\circ

6. Propiedad divisoria de la igualdad (dividiendo ambos lados entre dos)

7. \overline {DG} \| \overline {EF}

7. Si los ángulos interiores de un mismo lado de una transversal son suplementarios, entonces las líneas que cruza la transversal son paralelas

8. m \angle {D} + m \angle {G} = 180^\circ

8. Sustituyendo en la línea 6 ( \angle {E} \cong \angle {G})

9. \overline {DE} \| \overline {FG}

9. La misma razón del paso 7
10. DEFG es un paralelogramo 10. Definición de un paralelogramo\blacklozenge

Probando que un cuadrilátero es un paralelogramo dado sus diagonales que se bisectan

En la lección anterior, aprendiste que las diagonales se bisectan entre si en un paralelogramo. Esto puede convertirse en una proposición recíproca. Si tienes un cuasrilátero en el cual las diagonales se bisectan entre si, entonces la figura es un paralelogramo. Mira si puedes seguir la siguiente prueba en la se muestra la explicación.

Ejemplo 3

Completa la siguiente prueba de dos columnas.

  • Dado: \overline {QV} \cong \overline {VS} y \overline {TV} \cong \overline {VR}
  • Probar: QRST es un paralelogramo

Proposición

Razón

1. \overline {QV} \cong \overline {VS}

1. Dado

2. \overline {TV} \cong \overline {VR}

2. Dado

3. \angle {QVT} \cong \angle {RVS}

3. Ángulos opuestos por el vértice son congruentes

4. \triangle {QVT} \cong \triangle {SVR}

4. SAS \cong SAS

Si dos lados y el ángulo entre ellos son congruentes, los dos triángulos con congruentes

5. \overline {QT} \cong \overline {RS}

5. Las partes correspondientes de triángulos son congruentes son también congruentes

6. \angle {TVS} \cong \angle {RVQ}

6. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes

7. \triangle {TVS} \cong \triangle {RVQ}

7. SAS \cong SAS

Si dos lados y el ángulo entre ellos son congruentes, los dos triángulos con congruentes

8. \overline {TS} \cong \overline {RQ}

8. Las partes correspondientes de triángulos son congruentes son también congruentes

9. QRST is a parallelogram

9. Si dos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, la figura es un paralelogramo \blacklozenge

De esta forma, si sólo conoces la información que las diagonales se bisectan entre si, puedes probar que la forma es un paralelogramo.

Probando que un cuadrilátero es un paralelogramos dado un par de lados congruentes y paralelos

La última forma en la que puedes probar que una forma es un paralelogramo involucra solamente un par de lados.

La prueba es muy similar a las anteriores que has hecho en esta sección, así que te la dejaremos a ti a manera de ejercicio para que lo completes. Para plantear la prueba (lo cual ES el paso más difícil), dibuja lo siguiente:

  • Dado: El cuadrilátero ABCD with \overline {DA} \| \overline {CB} y \overline {DA} \cong \overline {CB}
  • Probar: ABCD es un paralelogramo

Ejemplo 4

Examina el cuadrilátero en el siguiente plano cartesiano. ¿Puedes demostrar que es un paralelogramo?

Para demostrar que esta forma es un paralelogramo, podrías encontrar todas las longitudes para luego comparar los respectivos lados opuestos. De todas formas, también puesdes estudiar un par de lados. Si ambos son congruentes y paralelos, entonces la figura es un paralelogramo.

Comienza demostrando que dos lados son congruentes. Usa la fórmula de la distancia para hacerlo.

Encuentra la longitud de \overline{FG}. Usa (-1,5) para F y (3,3) para G.

FG &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\&= \sqrt{(3 - (-1))^2 + (3 - 5)^2} \\&= \sqrt{(4)^2 + (-2)^2} \\&= \sqrt{16 + 4} \\&= \sqrt{20}

A continuación, encuentra la longitud del lado opuesto, \overline{JH}. Usa (2,-2) para J y (6, -4) para H.

JH &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\&= \sqrt{(6 - 2)^2 + ((-4)-(-2))^2} \\&= \sqrt{(4)^2 + (-2)^2} \\&= \sqrt{16 + 4} \\&= \sqrt{20}

Así, FG = JH =\sqrt{20}; tienen longitudes iguales. Ahora necesitas demostrar que \overline{FG} y \overline{JH} son paralelos. Puedes hacerlo encontrando sus pendientes. Recuerda que dos líneas tienen la misma pendiente, son paralelas.

\text{Pendiente de }\overline{FG} &= \frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\\&=\frac{3-5} {3-(-1)} \\&=\frac{-2} {4} \\&=-\frac{1}{2}

Así, la pendiente de \overline{FG}= -\frac{1}{2}. Ahora, revisa la pendiente de \overline{JH}.

\text{Slope of }\overline{JH} &= \frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\\&=\frac{(-4)-(-2)} {6-2} \\&=\frac{-2} {4} \\&=-\frac{1}{2}

Así, la pendiente de \overline{JH}=-\frac{1}{2}. Como las pendientes de \overline{FG} y \overline{JH} son las mismas, los dos segmentos son paralelos. Ahora que has demostrado que los segmentos opuestos son paralelos y congruentes puedes identificar que la forma es un paralelogramo.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos los paralelogramos. Específicamente hemosaprendimos:

  • Cómo probar que un cuadriláero es un paralelogramo dados sus lados opuestos congruentes.
  • Cómo probar que un cuadriláero es un paralelogramo dado sus ángulos opuestos congruentes.
  • Cómo probar que un cuadriláero es un paralelogramo dado que sus diagonales se bisectan entre si.
  • Cómo probar que un cuadriláero es un paralelogramo si un para de lados es a la ve congruente y paralelo.

Es muy útil es ser capaz de probar que ciertos cuadriláteros son paralelogramos. Serás capaz de usar esta información de varias formas.

Preguntas de repaso

Usa el siguiente diagrama para los ejercicios 1-3.

  1. Encuentra cada uno de los siguientes ángulos:
    1.  m \angle FBC =
    2.  m \angle FBA =
    3.  m \angle ADC =
    4.  m \angle BCD =
  2. Si  AB = 4.5 \;\mathrm{m} y  BC = 9.5 \;\mathrm{m}, encuentra cada una de las siguientes longitudes:
    1.  AD =
    2.  DC =
  3. Si  AC = 8.1 \;\mathrm{m} y  BF = 6 \;\mathrm{m}, encuentra cada una de las siguientes longitudes:
    1.  AF =
    2.  BD =

Usa la siguiente figura para los ejercicios 4-7.

  1. Supón que A (1, 6), B (6, 6) y C (3, 2) son tres de cuatro vértices (esquinas) de un paralelogramo. Da dos posibles ubicaciones del cuarto vértice  D, si sabes que la coordenada en  y-de  D es 2.
  2. Dependiendo en dónde hayas escogido poner tu punto  D en el ejercicio 4, el nombre del paralelogramo que dibujes cambiará. Bosqueja un dibujo para mostrar porqué.
  3. Si sabes que un paralelogramo es llamado ABDC, ¿Cuál es la pendiente del lado paralelo a  AC?
  4. De nuevo, asumiendo que el paralelogramo es llamado ABDC, ¿Cuál es la longitud de  \overline{BD}?
  5. Probar: Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Dado: ABCD con  \overline{AB} \cong \overline{DC} y  \overline{AD} \cong \overline{BC}

Probar:  \overline{AB} \| \overline{DC} y  \overline{AD} \| \overline{BC} (por ejemplo, ABCD es un paralelogramo).

  1. Probar: Si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos, entonces es un paralelogramo.
  2. Fíjate que en el ejercicio 9 los lados paralelos también deben ser lados congruentes para que el teorema funcione. Bosqueja un contra ejemplo para demostrar que si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos y un par de lados congruentes (los cuales no son los lados paralelos) entonces la figura resultante no necesariamente es un paralelogramo. ¿Qué clase de cuadrilátero puedes hacer con este arreglo?

Respuestas de las preguntas de repaso

  1.  m \angle FBC = 20^\circ
  2.  m \angle {FBA} = 46^\circ
  3.  m \angle ADC = 66^\circ
  4.  m \angle BCD = 114^\circ (Nota: necesitas encontrar casi todas las medidas de los ángulos del diagrama para responder esta pregunta)
  1.  AD = 9.5\;\mathrm{m}, DC = 4.5 \;\mathrm{m}
  1.  AF = 4.35 \;\mathrm{m},
  2.  BD = 12 \;\mathrm{m}
  1.  D puede ser cualquiera de los dos: (-2,2) o (8,2)
  2. Si  D está en (-2,2), el paralelogramo debería llamarse ABCD (está en rojo en la siguiente ilustración). Si  D está en (8,2) , entonces el paralelogramo tomará el nombre de ABDC.
  3.  BD debería tener una pendiente de -2.
  4.  BD = \sqrt{20}
  5. Dado: ABCD con  \overline{AB} \cong \overline{DC} y  \overline{AD} \cong \overline{BC} probar:  \overline{AB} \| \overline{DC} y  \overline{AD} \| \overline{BC} (por ejemplo, ABCD es un paralelogramo)
  6. Proposición

    Razón

    1.  \overline{AB} \cong \overline{DC}

    1. Dado

    2.  \overline{AD} \cong \overline{BC}

    2. Dado

    3. Agregando la línea auxiliar  \overline{AC}

    3. Postulado de línea

    4.  \overline{AC} \cong \overline{AC}

    4. Propiedad reflexiva

    5.  \triangle ACD \cong \triangle CAB

    5. SSS Postulado de congruencia

    6.  \angle 2 \cong \angle 3

    6. Definición de ángulos congruentes

    7.  \overline{AD} \| \overline{BC}

    7. Recíproco del postulado de ángulos alternos internos

    8.  \angle 4 \cong \angle 1

    8. Definición de triángulos congruentes

    9.  \overline{AB} \| \overline{DC}

    9. Recíproco del postulado de ángulos alternos internos
  7. Primero, reescribe el teorema en forma de proposiciones de información dada y prueba: Dado: ABCD con  \overline{AB} \| \overline{CD} y  \overline{AB} \cong \overline{CD} Probar:  \overline{BC} \| \overline{AD}
  8. Proposición

    Razón

    1.  \overline{AB} \cong \overline{CD}

    1. Dado

    2.  \overline{AB} \| \overline{CD}

    2. Dado

    3.  \angle{4} \cong \angle{1}

    3. Teorema de ángulos alternos internos

    4. Agregando un línea auxiliar  \overline{AC}

    4. Postulado de línea

    5.  \overline{AC} \cong \overline{AC}

    5. Propiedad reflexiva

    6.  \triangle ABC \cong \triangle CDA

    6. SAS Postulado de congruencia de triángulos

    7.  \angle BCA \cong \angle DAC

    7. Definición de triángulos congruentes

    8.  \overline{BC} \| \overline{AD}

    8. Recíproco del teorema de ángulos alternos internos
  9. Si los lados congruentes no son paralelos, puedes formar ya sea un paralelogramo (en negro) o un trapezoide isósceles (en rojo:

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Feb 23, 2012

Last Modified:

Apr 29, 2014
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